高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.3 映射的概念自主訓(xùn)練 蘇教版必修1

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1、 2.3 映射的概念 自主廣場(chǎng) 我夯基 我達(dá)標(biāo) 1.在從集合A到集合B的映射中，下列說(shuō)法正確的是( ) A.B中的某一個(gè)元素b的原象可能不止一個(gè) B.A中的某一個(gè)元素a的象可能不止一個(gè) C.A中的兩個(gè)不同元素所對(duì)應(yīng)的象必不相同 D.B中的兩個(gè)不同元素的原象可能相同 思路解析：映射在法則f的作用下，集合A中的任何一個(gè)元素都有象，并且象是唯一的.不要求B中的每一個(gè)元素都有原象，也就是說(shuō)，象集C是集合B的子集. 答案:A 2.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，則在映射f下，象20的原象是( ) A.2

2、 B.3 C.4 D.5 思路解析:本題主要考查映射的概念，同時(shí)考查了運(yùn)算能力.因?yàn)?n+n=20，用n=2，3或4,5逐個(gè)代入，排除A、B、D，得出正確答案.∴選C. 答案:C 3.設(shè)集合A和B都是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集｛(x,y)｜x∈R，y∈R｝，映射f:A→B使集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y)，則在映射f下象(2，1)的原象是( ) A.(3，1) B.(,) C.(,-) D

3、.(1，3) 思路解析：本題主要考查映射的概念及解方程的思想.由 答案:B 4.已知四個(gè)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)(如下圖)，那么集合A到集合B的映射是( ) A.④ B.①④ C.②④ D.③④ 思路解析:在②中，A中的元素a2與B中的兩個(gè)元素b2、b3對(duì)應(yīng)(“象不唯一”)；在③中，A中的元素a2在B中沒(méi)有元素與它對(duì)應(yīng)(“沒(méi)有象”)，故②和③都不是集合A到集合B的映射.根據(jù)映射的定義，①和④是集合A到集合B的映射. 答案:B 5.下列集合A到集合B的對(duì)應(yīng)中，判斷哪些是A到

4、B的映射,哪些是A到B的一一映射. (1)A=N,B=Z，對(duì)應(yīng)法則f:x→y=-x,x∈A,y∈B. (2)A=R+,B=R+,f:x→y=,x∈A,y∈B. (3)A={α|0≤α≤90},B={x|0≤x≤1}，對(duì)應(yīng)法則f:取正弦. (4)A=N*，B={0,1}，對(duì)應(yīng)法則f:除以2得的余數(shù). (5)A={-4,-1,1,4}，B={-2,-1,1,2}，對(duì)應(yīng)法則f:x→y=|x|2,x∈A,y∈B. (6)A={平面內(nèi)邊長(zhǎng)不同的等邊三角形}，B={平面內(nèi)半徑不同的圓}，對(duì)應(yīng)法則f:作等邊三角形的內(nèi)切圓. 思路解析：解決的起點(diǎn)是讀懂各對(duì)應(yīng)中的法則含義，判斷的依據(jù)是映射和一一映

5、射的概念，要求對(duì)“任一對(duì)唯一”有準(zhǔn)確的理解，對(duì)問(wèn)題考慮要細(xì)致、周全. 答案:(1)是映射，不是一一映射.因?yàn)榧螧中有些元素(正整數(shù))沒(méi)有原象. (2)是映射，是一一映射.不同的正實(shí)數(shù)有不同的唯一的倒數(shù)仍是正實(shí)數(shù)，任何一個(gè)正數(shù)都存在倒數(shù). (3)是映射，是一一映射.因?yàn)榧螦中的角的正弦值各不相同，且集合B中每一個(gè)值都可以是集合A中角的正弦值. (4)是映射，不是一一映射.因?yàn)榧螦中不同元素對(duì)應(yīng)集合B中相同的元素. (5)不是映射.因?yàn)榧螦中的元素(如4)對(duì)應(yīng)集合B中兩個(gè)元素(2和-2). (6)是映射，是一一映射.因?yàn)槿魏我粋€(gè)等邊三角形都存在唯一的內(nèi)切圓，而任何一個(gè)圓都可以是

6、一個(gè)等邊三角形的內(nèi)切圓.邊長(zhǎng)不同，圓的半徑也不同. 說(shuō)明：此題的主要目的在于明確映射構(gòu)成的三要素的要求，特別是對(duì)于集合A，集合B及對(duì)應(yīng)法則f有哪些具體要求，包括對(duì)法則f是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言給出時(shí)的理解. 6.給出下列關(guān)于從集合A到集合B的映射的論述，其中正確的有_____________. ①B中任何一個(gè)元素在A中必有原象; ②A中不同元素在B中的象也不同; ③A中任何一個(gè)元素在B中的象是唯一的; ④A中任何一個(gè)元素在B中可以有不同的象; ⑤B中某一元素在A中的原象可能不止一個(gè); ⑥集合A與B一定是數(shù)集； ⑦記號(hào)f:A→B與f:B→A的含義是一樣的. 思路解析：此題是對(duì)抽象的映射

7、概念的認(rèn)識(shí)，理論性較強(qiáng)，要求較高，判斷時(shí)可以讓學(xué)生借助具體的例子來(lái)幫助. 答案:③⑤ 7.(1)A=N，B=R，f:x→y=，x∈A，y∈ B.在f的作用下，的原象是多少?14的象是多少? (2)設(shè)集合A=N,B={偶數(shù)}，映射f:A→B把集合A中的元素a映射到集合B中的元素a2-a，則在映射f下，象20的原象是多少？ (3)f:A→B是從A到B的映射，其中A=R，B={(x,y)|x,y∈R}，f:x→(x+1,x2+1)，則A中元素的象是多少?B中元素(2,2)的原象是多少? 思路解析：通過(guò)此題使學(xué)生不僅會(huì)求指定元素的象與原象，而且明確求象與原象的方法. 解答：(1)由=，解得

8、x=6，故的原象是6; 又，故14的象是. (2)由a2-a=20解得a=5或a=-4，又a∈N，故a=5,即20的原象是5. (3)的象是(+1,3)，由解得x=1，故(2,2)的原象是1. 8.已知集合A={x│x≠0，x∈R}，B=R，對(duì)應(yīng)法則是“取負(fù)倒數(shù)”. (1)畫(huà)圖表示從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)(在集合A中任取四個(gè)元素)； (2)判斷這個(gè)對(duì)應(yīng)是否為從集合A到集合B的映射； (3)元素-2的象是什么？-3的原象是什么？ (4)能不能構(gòu)成從集合B到集合A的映射？ 答案:(1) (2)因?yàn)槊恳粋€(gè)非零實(shí)數(shù)(即A中任意一個(gè)元素)都有唯一的負(fù)倒數(shù)在實(shí)數(shù)集中(即在法則“取負(fù)倒

9、數(shù)”下，都在集合B中有且只有唯一的元素與之對(duì)應(yīng))，所以這個(gè)對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的映射. (3)元素-2的象是-2的負(fù)倒實(shí)數(shù)，-3的原象是-3的負(fù)倒實(shí)數(shù). (4)因?yàn)锽中有一個(gè)元素“0”，而在集合A中沒(méi)有負(fù)倒數(shù)為0的元素與之對(duì)應(yīng)，即集合B中不是任意一個(gè)元素在A中都存在非零實(shí)數(shù)以其為負(fù)倒數(shù)，所以由集合B到集合A構(gòu)不成映射. 9.設(shè)集合A={1，2，3，k}，B={4，7，a4，a2+3a}，其中a、k∈N，(映射f:A→B，使B中元素y=3x+1與A中元素x對(duì)應(yīng)，求a及k的值. 思路解析：∵B中元素y=3x+1與A中元素x對(duì)應(yīng)，A中元素1的象是-4，A中元素2的象是7，A中元素3的象是1

10、0，故有a4=10或a2+3a=10.而a∈N，所以由a2+3a=10解得a=2；由k的象是a4，得3k+1=24，解得k=5. 答案:a=2；k=5. 10.(1)已知集合A=｛a1,a2｝，B=｛b1,b2｝，試問(wèn)從集合A到集合B的所有不同的映射有多少種? (2)已知集合A=｛a1,a2｝，B=｛b1,b2，b3｝，試問(wèn)從集合A到集合B的所有不同的映射有多少種? 思路解析:當(dāng)所給集合中的元素?cái)?shù)目不大時(shí)，可直接用圖示的方法展現(xiàn)所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之. 解答：(1)用圖示的方法可以清楚地看到從A到B能建立4種不同的映射(見(jiàn)下圖). (2)分A中元素對(duì)應(yīng)B中

11、同一元素和A中元素對(duì)應(yīng)B中不同元素兩種情形考慮.A中2個(gè)元素對(duì)應(yīng)B中相同元素的對(duì)應(yīng)有3個(gè)，這時(shí)有3種不同的映射；A中2個(gè)元素同時(shí)對(duì)應(yīng)B中2個(gè)不同的元素的對(duì)應(yīng)有6個(gè)，這時(shí)有6種不同的映射.所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9種. 我綜合 我發(fā)展 11.以下對(duì)應(yīng)不是從集合M到集合N的映射的是( ) A.M={P|P是數(shù)軸上的點(diǎn)}，N=R，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上的點(diǎn)與它代表的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng) B.M={P|P是平面坐標(biāo)系中的點(diǎn)}，N={(x，y)|x、y∈R}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：平面坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它代表的坐標(biāo)對(duì)應(yīng) C.M={x|x是三角形}，N={x|x是圓}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：每個(gè)三角形都對(duì)應(yīng)它

12、的內(nèi)切圓 D.M={x|x是新華中學(xué)的班級(jí)}，N={x|x是新華中學(xué)的學(xué)生}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：每個(gè)班級(jí)都對(duì)應(yīng)班里的學(xué)生 思路解析：考查映射的概念.據(jù)映射的概念，在對(duì)應(yīng)法則f下從A到B的映射，是指集合A中任意一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，而集合B中的元素可以無(wú)原象，由此可知四個(gè)選項(xiàng)中A、B、C均正確，只有D不符合要求，故選D. 答案:D 12.已知集合A=｛1,2,3,a｝，B=｛4,7,b4,b2+3b｝，其中a∈N*，b∈N*.若x∈A，y∈B，映射f:A→B使B中元素y=3x+1和A中元素x對(duì)應(yīng).求a和b的值. 思路解析:利用原象與象的關(guān)系，建立關(guān)于a和b的方程組. 解

13、答：∵A中元素x對(duì)應(yīng)B中元素y=3x+1， ∴A中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10. ∴b4=10或b2+3b=10. 又b∈N*， ∴b2+3b-10=0.解之，得b=2. ∵a的象是b4=16，∴3a+1=16.解之，得a=5. 我創(chuàng)新 我超越 13.集合M={a，b，c}，N={-1，0，1}，映射f：M→N滿(mǎn)足f(a)+f(b)+f(c)=0，那么映射f：M→N的個(gè)數(shù)是( ) A.3 B.4 C.5 D.7 思路解析：∵f(a)∈N，f(b)∈

14、N，f(c)∈N且f(a)+f(b)+f(c)=0， ∴有0+0+0=0+1+(-1)=0. 當(dāng)f(a)=f(b)=f(c)=0時(shí)，只有一個(gè)映射； 當(dāng)f(a)、f(b)、f(c)中恰有一個(gè)為0，而另兩個(gè)分別為1、-1時(shí)，有=6個(gè)映射.因此所求映射的個(gè)數(shù)為1+6=7. 答案:D 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375