高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計(jì) 2.2 總體分布的估計(jì) 2.2.1 頻率分布表知識(shí)導(dǎo)引學(xué)案 蘇教版必修3

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1、 2.2．1　頻率分布表 案例探究 我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出.某市政府為了節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理呢？你認(rèn)為要較合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要做哪些工作？ 很明顯，如果標(biāo)準(zhǔn)太高，會(huì)影響居民的日常生活；如果標(biāo)準(zhǔn)太低，則不利于節(jié)水.為了確定一個(gè)較為合理的標(biāo)準(zhǔn)a,必須先了解全市居民日常用水量的分布情況，比如月均用水量在哪個(gè)范圍的居民最多，他們占全市居民的百分比情況等. 由于城市住戶

2、較多，通常采用抽樣調(diào)查的方式，通過分析樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全市居民用水量的分布情況，假設(shè)通過抽樣方式我們獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：t）： 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8

3、 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2 上面這些數(shù)據(jù)能告訴我們什么呢？

4、 分析：該數(shù)據(jù)中最小值是0.2 t，最大值是4.3 t，它們相差4.1，其他在0.2 t～4.3 t之間.可取區(qū)間［0，4.5］，并將此區(qū)間分成9個(gè)小區(qū)間，每個(gè)區(qū)間長度為0.5，再統(tǒng)計(jì)每個(gè)區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)并計(jì)算相應(yīng)的頻率.我們將整個(gè)取值區(qū)間的長度稱為全距，分成的區(qū)間的長度稱為組距. 解：（1）在全部數(shù)據(jù)中找出最小值0.2和最大值4.3，則兩者之差為4.1（稱為極差），確定全距為4.5，決定以組距0.5將區(qū)間［0，4.5］分成9組（為了方便組距應(yīng)力求取整）；組數(shù)=極差/組距=4.1/0.5=8.2，所以組數(shù)取9（取進(jìn)位）. （2）從第一組［0，0.5）開始，分別統(tǒng)計(jì)各組中的頻數(shù)，再

5、計(jì)算各組的頻率，并將結(jié)果填入下表： 分組 頻數(shù)累計(jì) 頻數(shù) 頻率 ［0，0.5） 4 4 0.04 ［0.5，1） 12 8 0.08 ［1，1．5） 27 15 0.15 ［1．5，2） 49 22 0.22 ［2，2．5） 74 25 0.25 ［2．5，3） 88 14 0.14 ［3，3．5） 94 6 0.06 ［3．5，4） 98 4 0.04 ［4，4.5］ 100 2 0.02 合計(jì) 100 1 結(jié)論：從上面所作頻率分布表中，我們可以看到月均用水量在區(qū)間［2，2．5）內(nèi)的居

6、民最多，在［1．5，2）內(nèi)的次之，大部分居民的月均用水量都在［1，3）之間.且可以計(jì)算出大約有88%的居民月均用水量在3噸以下，因此，居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)定為3噸是市政府可以考慮的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn). 注：在畫頻率分布表時(shí)，除最右邊的區(qū)間是閉區(qū)間外，其他均為左閉右開區(qū)間，稱區(qū)間的左端點(diǎn)為下組限，右端點(diǎn)為上組限.此處采用下組限在內(nèi)，上組限不在內(nèi)的分組方法. 自學(xué)導(dǎo)引 1．什么叫做頻率分布表？ 答案： 我們把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表. 2．給定一組數(shù)據(jù)如何作出它們的頻率分布表？ 答案：一般地，作頻率分布表的步驟如下： （1）求全距，決定組數(shù)

7、和組距，組距=全距/組數(shù)； （2）分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間； （3）登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表. 3．什么叫做全距和組距？組距等于什么？ 答案：我們將整個(gè)取值區(qū)間的長度稱為全距，所分成的區(qū)間的長度稱為組距； 組距=全距/組數(shù). 4.在制作頻率分布表時(shí)，分的組數(shù)過多或過少各有何利弊？ 答案：分組過多或過少都不好.分組過多給制作頻率分布表帶來困難.過少雖減少了作表步驟，但不能很好地反映總體.一般樣本容量越大，所分組數(shù)應(yīng)越多.當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，常分成5至12組. 5.一個(gè)

8、容量為n的樣本分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別是30和0.25，則n=120. 6.將100個(gè)數(shù)據(jù)分成8個(gè)組，其中有一組是9個(gè)數(shù)據(jù)，那么該組的頻數(shù)是9，頻率是0.09 （頻率=頻數(shù)/樣本容量）. 疑難剖析 【例1】 為了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，當(dāng)?shù)亟逃龣C(jī)構(gòu)抽查了本地區(qū)內(nèi)100名年齡為17.5～18歲的男生的體重情況,結(jié)果如下（單位:kg）： 56.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 76 58.5 72 73.5 56 67 70 57.5 65.5 68 71 75 62 68

9、.5 62.5 66 59.5 63.5 64.5 67.5 73 68 55 72 66.5 74 63 60 55.5 70 64.5 58 64 70.5 57 62.5 65 69 71.5 73 62 58 76 71 66 63.5 56 59.5 63.5 65 70 74.5 68.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 57.5 60 71.5 57 69.5 74 64.5 59 61．5 67 68 63.5 58 59 65.5 62.5

10、 69.5 72 64.5 75.5 68.5 64 62 65.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59.5 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布表. 思路分析：此題容量較大，先要對(duì)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，找到最大值與最小值以確定全距，再分組作出頻率分布表. 解：按照下列步驟獲得樣本的頻率分布. （1）求最大值與最小值的差（即全距）. 在上述數(shù)據(jù)中，最大值是76，最小值是55，它們的差（又稱為極差）是76-55=21，所得的差告訴我們，這組數(shù)據(jù)的變動(dòng)范圍有多大. （2）確定

11、組距與組數(shù). 如果將組距定為2，那么由21÷2=10.5，組數(shù)為11，這個(gè)組數(shù)是合適的.于是組距為2，組數(shù)為11． （3）決定分點(diǎn). 根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，第1小組的起點(diǎn)可取為54.5，第1小組的終點(diǎn)可取為56.5.為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)既是起點(diǎn)，又是終點(diǎn)從而造成重復(fù)計(jì)算，我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的.這樣，所得到的分組是［54.5，56.5），［56.5，58.5），…，［74.5，76.5）. （4）列頻率分布表 分組 頻數(shù)累計(jì) 頻數(shù) 頻率 ［54.5，56.5） 5 5 0.05 ［56.5，58.5） 12 7 0.

12、07 ［58.5，60.5） 21 9 0.09 ［60.5，62．5） 26 5 0.05 ［62．5，64.5） 39 13 0.13 ［64.5，66.5） 55 16 0.16 ［66.5，68.5） 67 12 0.12 ［68.5，70.5） 78 11 0.11 ［70.5，72．5） 87 9 0.09 ［72．5，74.5） 93 6 0.06 ［74.5，76.5） 100 7 0.07 合計(jì) 100 1.00 【例2】 為檢測某種產(chǎn)品的質(zhì)量，抽取了一個(gè)容量為30的樣本，檢測結(jié)果

13、為一級(jí)品5件，二級(jí)品8件，三級(jí)品13件，次品4件. 試列出樣本的頻率分布表. 思路分析：由于總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少，只有四種：一級(jí)品、二級(jí)品、三級(jí)品和次品，可分別記為1，2，3和4.所以所取樣本的不同數(shù)值及其相應(yīng)的頻率可用頻率分布表表示，并根據(jù)頻率分布表估計(jì)總體分布. 解：把一級(jí)品、二級(jí)品、三級(jí)品和次品，分別記為1，2，3和4，由題意列樣本的頻率分布表為： 產(chǎn)品 頻數(shù) 頻率 一級(jí)品（記為1） 5 0.17 二級(jí)品（記為2） 8 0.27 三級(jí)品（記為3） 13 0.43 次品（記為4） 4 0.13 【例3】 有一容量為

14、50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： ［10,15） 4,［15,20） 5,［20,25） 10,［25,30） 11,［30,35） 9,［35,40） 8,［40,45） 3 請(qǐng)列出所給樣本的頻率分布表. 思路分析：本題考查樣本的頻率分布表的畫法以及用樣本頻率分布估計(jì)總體分布.由于是連續(xù)型總體，所以對(duì)樣本分成7組，組距為5，從而可用頻率分布表表示樣本的頻率分布，并估計(jì)總體分布. 解： 樣本的頻率分布表為： 分組 頻數(shù) 頻率 ［10，15） 4 0.08 ［15，20） 5 0.10 ［20，25） 10 0.20 ［25，

15、30） 11 0.22 ［30，35） 9 0.18 ［35，40） 8 0.16 ［40，45） 3 0.06 拓展遷移 【拓展點(diǎn)】 下面列出43位美國歷屆總統(tǒng)（從1789年的華盛頓到2001年的小布什）的就任年齡： 57　61　57　57　58　57　61　54 68 51　49　64　50　48　65　52　56　46 54　49　51　47　55　55　54　42　51 56　55　51　54　51　60　62　43　55 56　61　52　69　64　46　54 （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)以5為組距畫

16、出相應(yīng)的頻率分布表. （2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)以4為組距畫出相應(yīng)的頻率分布表. 解析：（1）以5為組距列頻率分布表如下： 年齡分組 頻數(shù) 頻率 頻率/組距 ［40，45） 2 0.046 5 0.009 ［45，50） 6 0.139 5 0.027 9 ［50，55） 13 0.302 3 0.060 5 ［55，60） 12 0.279 1 0.055 8 ［60，65） 7 0.162 8 0.032 6 ［65，70］ 3 0.069 8 0.014 0 （2）（略）方法步驟與（1）相類似.（請(qǐng)同學(xué)們自己獨(dú)立完成） 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375