高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計 2.2 總體分布的估計 2.2.2 頻率分布直方圖與折線圖教材梳理導(dǎo)學(xué)案 蘇教版必修3

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1、 2.2.2 頻率分布直方圖與折線圖 庖丁巧解牛 知識巧學(xué) 一、關(guān)于頻率分布直方圖的概念 由于頻率分布表數(shù)字較多，閱讀困難，為了將頻率分布表中的結(jié)果直觀形象地表示出來，我們通常畫頻率分布直方圖.畫圖時，應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示頻率與組距的比值.以每個組距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫成矩形，這樣得到的直方圖就是頻率分布直方圖. 二、關(guān)于頻率分布直方圖的繪制方法 頻率分布直方圖是在頻率分布表的基礎(chǔ)上繪制而成的，它的前期工作就是準(zhǔn)確列出頻率分布表，然后在平面直角坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖，具體步驟如下： （1）求極差，即計算最大值與最小值的差.

2、（2）決定組距和組數(shù). 組距與組數(shù)的確定沒有固定標(biāo)準(zhǔn)，需要嘗試、選擇，力求有合適的組數(shù)，以能把數(shù)據(jù)的規(guī)律較清楚地呈現(xiàn)為準(zhǔn).太多或太少都不好，不利對數(shù)據(jù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn).組數(shù)應(yīng)與樣本的容量有關(guān)，樣本容量越大組數(shù)越多. （3）決定分點，將數(shù)據(jù)分組.分組時，通常規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的，避免數(shù)據(jù)被重復(fù)計算. （4）列頻率分布表.一般分“分組”“頻數(shù)”“頻率”三列，最后一行是“合計”. 注意頻數(shù)的合計應(yīng)是樣本容量，頻率合計應(yīng)是1. （5）畫頻率分布直方圖. 建立直角坐標(biāo)系，圖中橫軸為分組，圖中的縱軸表示“頻率/組距”. 各組數(shù)據(jù)以小長方形表示，其中，小長方形的寬為組距，

3、小長方形的高=，頻率==組距=小長方體的面積. 各小長方形的面積總和為1. 由此可以看出，直方圖中的各小長方形的面積表示相應(yīng)的各組的頻率.這樣頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大小. 誤區(qū)警示 直方圖中小長方形的高并不表示各組數(shù)據(jù)的頻率，而是頻率與組距之比，小長方形的面積才是各組數(shù)據(jù)的頻率. 辨析比較 頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切,但不夠直觀、形象,分析數(shù)據(jù)的總體態(tài)勢不太方便，頻率分布直方圖形象、直觀，與頻率分布表相比較，頻率直方圖能直觀地表明數(shù)據(jù)的分布形狀，但原始數(shù)據(jù)不能在圖中表示，說明直方圖丟失了一些信息.從頻率分布直方圖可以清楚地

4、看出數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢，但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容. 三、頻率分布折線圖與總體密度曲線 1.頻率分布折線圖 把頻率分布直方圖各個長方形上邊的中點用連線連接起來，就得到頻率分布折線圖. 為了方便看圖，一般習(xí)慣于把頻率分布折線圖畫成與橫軸相連，所以折線圖在橫軸上的左右兩個端點沒有實際意義. 2.總體密度曲線 如果樣本容量越大，那么所分組數(shù)就越多，圖中表示的頻率分布就越接近總體在各小組內(nèi)所取值的個數(shù)與總數(shù)比值的大小，如果樣本容量不斷增大，那么分組的組距就不斷縮小，頻率分布直方圖就越來越接近總體的分布，頻率分布折線圖就變成了一條光滑曲線y=f(x),這條光滑曲線就

5、叫總體密度曲線.總體密度曲線精確地反映了一個總體在各個區(qū)域內(nèi)的取值規(guī)律，它能給我們提供更加精細的信息，是研究個體分布規(guī)律的重要依據(jù). 典題熱題 知識點一 有關(guān)頻率分布直方圖的基本概念 例1 已知圖2-2-1是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空： 圖2-2-1 （1）樣本數(shù)據(jù)落在［10，14］內(nèi)的頻率是__________； （2）樣本數(shù)據(jù)落在［6，10］內(nèi)的頻數(shù)是__________； （3）樣本數(shù)據(jù)落在［2，6］內(nèi)的頻率是__________； （4）樣本數(shù)據(jù)落在［14，18］內(nèi)的頻率是__________. 思路解析：在直方圖里用面積表示頻率

6、. （1）0.094=0.36. （2）0.084=0.32，0.32100=32. （3）0.024=0.08. （4）1-0.36-0.32-0.08=0.24. 答案：（1）0.36 （2）32 （3）0.08 （4）0.24 誤區(qū)警示 本題應(yīng)注意兩點：（1）①直方圖是用面積表示頻率；②在直方圖中，所有矩形的面積之和等于1.（2）頻率分布條形圖：與直方圖不同的是縱軸表示的是頻率. 例2 連續(xù)拋擲一個骰子120次,得到1,2,3,4,5,6點的次數(shù)各為18,19,21,22,20,20. （1）試列出樣本的頻率分布表; （2）列出頻率分布條形圖; （3）估

7、計拋擲不足4點的機率. 思路分析：由于取值可按一定次序一一列出,可以用頻率分布表或頻率分布條形圖分析樣本. 解：（1）頻率分布表如下： 點數(shù) 頻數(shù) 頻率 1 18 0.15 2 19 0.158 3 21 0.175 4 22 0.183 5 20 0.167 6 20 0.167 合計 120 1.000 （2）頻率分布條形圖如圖2-2-2. 圖2-2-2 （3）拋擲點數(shù)不足4點的機率是0.15+0.158+0.175=0.483. 巧解提示 （1）頻率分布條形圖是用條形高度來表示各個值的頻率的圖形. （2）本例中總體

8、的不同取值很少,可一一列舉,通常稱離散型總體. 知識點二 繪制頻率分布條形圖 例3 為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了地區(qū)內(nèi)100名年齡為17.5歲—18歲的男生的體重情況，結(jié)果如下：（單位：kg） 56.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 76 58.5 72 73.5 56 67 70 57.5 65.5 68 71 75 62 68.5 62.5 66 59.5 63.5 64.5 67.5 73 68 55 72 66.5 74 63 60 55.5 70 64.5

9、 58 64 70.5 57 62.5 65 69 71.5 73 62 58 76 71 66 63.5 56 59.5 63.5 65 70 74.5 68.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 57.5 60 71.5 57 69.5 74 64.5 59 61.5 67 68 63.5 58 59 65.5 62.5 69.5 72 64.5 75.5 68.5 64 62 65.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59

10、.5 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，并對相應(yīng)的總體分布作出估計. 思路分析：按照樣本的頻率分布直方圖的制作方法和步驟. 解：按照下列步驟獲得樣本的頻率分布： （1）求最大值與最小值的差. 在上述數(shù)據(jù)中，最大值是76，最小值是55，它們的差（又稱為極差）是76-55=21所得的差告訴我們，這組數(shù)據(jù)的變動范圍有多大. （2）確定組距與組數(shù). 如果將組距定為2，那么由212=10.5得組數(shù)為11，這個組數(shù)是合適的.于是組距為2，組數(shù)為11. （3）決定分點. 根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點，第1小組的起點可取為54.5，第1小組的終點可取為5

11、6.5，為了避免一個數(shù)據(jù)既是起點，又是終點從而造成重復(fù)計算，我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的.這樣，所得到的分組是［54.5，56.5），［56.5，58.5），…，［74.5，76.5）. （4）列頻率分布表. 頻率分布表 分組 頻數(shù) 頻率 ［54.5，56.5） 2 0.02 ［56.5，58.5） 6 0.06 ［58.5，60.5） 10 0.10 ［60.5，62.5） 10 0.10 ［62.5，64.5） 14 0.14 ［64.5，66.5） 16 0.16 ［66.5，68.5） 13 0.13 ［68.5，70.5）

12、 11 0.11 ［70.5，72.5） 8 0.08 ［72.5，74.5） 7 0.07 ［74.5，76.5） 3 0.03 合計 100 1.00 （5）繪制頻率分布直方圖. 頻率分布直方圖如圖2-2-3所示. 圖2-2-3 由于圖中各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，這個圖形的面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大小.在反映樣本的頻率分布方面，頻率分布表比較確切，頻率分布直方圖比較直觀，它們起著相互補充的作用.在得到了樣本的頻率后，就可以對相應(yīng)的總體情況作出估計.例如可以估計體重在［64.5，66.5） kg的學(xué)生最多，約占學(xué)生總數(shù)的

13、16%；體重小于58.5 kg的學(xué)生較少，約占8%等等. 方法歸納 1.一般地，列頻率分布表的步驟如下： （1）求全距，決定組數(shù)和組距，組距=全距/組數(shù)； （2）分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間； （3）登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表. 2.一般地，畫頻率分布直方圖方法如下： 把橫軸分為若干段，每一段對應(yīng)一組的組距，然后以線段為底，作一矩形，它的高等于該組的頻率/組距，作出一系列的矩形；每個矩形的面積恰好是該組的頻率，這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖. 問題探究 思維發(fā)散探究 問題 我們在生活中經(jīng)常用到頻率分布表、頻率分布

14、直方圖、頻數(shù)分布直方圖、頻率折線圖等等，請結(jié)合如下的數(shù)據(jù)說明它們各自有什么樣的特點和聯(lián)系. 從規(guī)定尺寸為25.40 mm的一堆產(chǎn)品中任取100件,測得它們的實際尺寸如下： 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25

15、.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 2

16、5.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39 探究思路：這些方法都可以表示樣本的分布情況，它們各有各的優(yōu)點，我們就可以結(jié)合實例分別繪制這些圖表來體會它們之間的區(qū)別與聯(lián)系. 探究過程：方法一：繪制頻率分布表 頻數(shù)指出現(xiàn)的次數(shù),頻率指出現(xiàn)

17、的次數(shù)與樣本容量的比值.這個圖就是頻率分布表,它能直觀地體現(xiàn)出樣本中數(shù)量指標(biāo)在某一個區(qū)間內(nèi)的個體出現(xiàn)的次數(shù)及相應(yīng)的頻率.用這種方法來描述樣本的分布，相對來說數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確. 分組 頻數(shù) 頻率 ［25.235,25.265) 1 0.01 ［25.265,25.295) 2 0.02 ［25.295,25.325) 5 0.05 ［25.325,25.355) 12 0.12 ［25.355,25.385) 18 0.18 ［25.385,25.415) 25 0.25 ［25.415,25.445) 16 0.16 ［25.445,25.475)

18、 13 0.13 ［25.475,25.505) 4 0.04 ［25.505,25.535) 2 0.02 ［25.535,25.565) 2 0.02 合計 100 1.00 方法二：頻數(shù)分布直方圖 圖2-2-4就是頻數(shù)分布直方圖,事實上它是把頻率分布表中的一部分(頻數(shù)那一部分)畫出了直方圖而已,它的橫軸是產(chǎn)品尺寸(也就是某一指標(biāo)),縱軸是出現(xiàn)的次數(shù)即頻數(shù).這種方法將枯燥的數(shù)據(jù)形象化地表現(xiàn)為圖形，其最大的特點就是直觀，可以很容易發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的整體趨勢. 圖2-2-4 方法三：頻率分布直方圖 圖2-2-5就是頻率分布圖,從作圖的過程可以知道在圖2-2-4

19、中,每個小矩形的寬度為Vxi(分組的寬度),高為(其中fi為第i個區(qū)間范圍內(nèi)的頻率),小矩形的面積恰為相應(yīng)的頻率fi,通常我們稱這樣的圖形為頻率分布直方圖,圖的縱坐標(biāo)為頻率與組距的比值,橫軸為研究對象的某一指標(biāo)(在本圖中指的是產(chǎn)品尺寸). 從圖2-2-5中可以得到產(chǎn)品的尺寸落在各個尺寸區(qū)間的頻率的大小,這個頻率的值就是該產(chǎn)品尺寸區(qū)間所對應(yīng)的頻率直方圖的面積,圖2-2-5中所有小矩形的面積之和,也就是產(chǎn)品尺寸落在各個尺寸區(qū)間內(nèi)的頻率之和,等于1.由剛才分析可知,在樣本的頻率分布圖中,隨著樣本容量的不斷擴大,其分布越來越接近總體分布,當(dāng)樣本容量無限加大,而組距無限縮小時,頻率分布直方圖的

20、上方將演變成一條光滑的曲線. 圖2-2-5 它與頻數(shù)分布直方圖的區(qū)別在于縱坐標(biāo)的意義不同，在頻數(shù)分布直方圖中，縱坐標(biāo)表示的是頻率，而在頻率分布直方圖中，縱坐標(biāo)表示的是頻率與組距的比值，這樣就使得每個小矩形的面積正好等于相應(yīng)組的頻率，應(yīng)用起來很方便. 方法四：頻率折線圖 在頻率分布直方圖中,按照分組原則,再在左邊和右邊各加一個區(qū)間,從所加的左邊區(qū)間的中點開始,用線段依次連結(jié)各個矩形的頂端中點,直至右邊所加區(qū)間的中點,就可以得到一條折線,我們稱之為頻率折線圖.不難發(fā)現(xiàn)，折線與橫軸所圍成的面積也是1,因此,當(dāng)樣本容量比較大時,我們還可以用頻率折線圖來估計總體的分布情況,如圖2-2-6. 圖2-2-6 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375