高考題[共15頁]

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1、1988年試題 (理工農(nóng)醫(yī)類) 一、本題每一個小題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中只有一個是正確的,把你認為正確的結論的代號寫在題后的括號內(nèi). (A)1 (B)-1 (C)I (D)-i 【 】 (2)設圓M的方程為(x-3)2+(y-2)2=2,直線L的方程為x+y-3=0,點P的坐標為(2,1),那么 (A)點P在直線L上,但不在圓M上 (B)點P在圓M上,但不在直線L上 (C)點P既在圓M上,又在直線L上 (D)點P既不在圓M上,也不在直線L上 【 】 (3)集合{1,2,3}的子集總共有 (A)7個 (B)8個 (C)6個

2、(D)5個 【 】 (A)10 (B)5 【 】 (5)在的展開式中,x6的系數(shù)是 【 】 (6)函數(shù)y=cos4x-sin4x的最小正周期是 (A)π (B)2π 【 】 (7)方程的解集是 【 】 (A)圓 (B)雙曲線右支 (C)拋物線 (D)橢圓 【 】 (9)如圖(198801),正四棱臺中,A＇D＇所在的直線與BB＇所在的直線是 (A)相交直線 (B)平行直線 (C)不互相垂直的異面直線 (D)互相垂直的異面直線 【 】 【 】

3、(11)設命題甲:△ABC的一個內(nèi)角為60. 命題乙:△ABC的三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列.那么 (A)甲是乙的充分條件,但不是必要條件 (B)甲是乙的必要條件,但不是充分條件 (C)甲是乙的充要條件 (D)甲不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件 【 】 (12)復平面內(nèi),若復數(shù)z滿足│z+1│=│z-i│,則z所對應的點Z的集合構成的圖形是 (A)圓 (B)直線 (C)橢圓 (D)雙曲線 【 】 (13)如果曲線x2-y2-2x-2y-1=0經(jīng)過平移坐標軸后的新方程為那么新坐標系的原點在原坐標系中的坐標為 (A)(1,1) (B)(-1,-1) (C)(

4、-1,1) (D)(1,-1) 【 】 (14)假設在200件產(chǎn)品中有3件是次品,現(xiàn)在從中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有 【 】 (15)如圖(198802),二面角αˉABˉβ的平面角是銳角,C是面α內(nèi)的一點(它不在棱AB 上),點D是點C在面β上的射影,點E是棱AB上滿足∠CEB為銳角的任意一點,那么 (A)∠CEB>∠DEB (B)∠CEB=∠DEB (C)∠CEB<∠DEB (D)∠CEB與∠DEB的大小關系不能確定 【 】 二、只要求直接寫出結果. (198803) (5)已知等比數(shù)列{an}的公比q

5、>1,并且a1=b(b≠0),求 四、如圖(198804),正三棱錐S-ABC的側面是邊長為a的正三角形,D是SA的中點,E是BC的中點,求△SDE繞直線SE旋轉一周所得到的旋轉體的體積. 六、給定實數(shù)a,a≠0,且a≠1設函數(shù) 證明(1)經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸; (2)這個函數(shù)的圖象關于直線y=x成軸對稱圖形. (198805) 1988年試題(理工農(nóng)醫(yī)類)答案 一、本題考查基本概念和基本運算. (1)B (2)C (3)B (4)A (

6、5)D (6)A (7)C (8)D (9)C (10)D (11)C (12)B (13)D (14)B (15)A 二、本題考查基礎知識和基本運算,只需要寫出結果. 三、本題主要考查三角公式和進行三角式的恒等變形的能力. 解法一: 解法二: 解法三: 解法四: 四、本題主要考查空間想象能力、體積計算等知識和推理能力. 解法一(198806):連接AE,因為△SBC和△ABC都是邊長為a的正三角形,并且SE和AE分別是它們的中線,所以SE=AE,從而△SEA為等腰三角形,由于D是SA的

7、中點,所以ED⊥SA. 作DF⊥SE,交SE于點F.考慮直角△SDE的面積,得到 所求的旋轉體的體積是以DF為底面半徑,分別以SF和EF為高的兩個圓錐的體積的和,即 解法二:(198807)連結BD.因為BD是正三角形SBA的中線,所以BD⊥SA.連結CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE. 作DF⊥SE,交SE于點F.在直角△SDE中, SD2=SFSE, 所求的旋轉體的體積為 五、本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質,以及運用重要不等式解決問題的能力. 解法一: 情形1∶0<

8、a<1. 情形2∶a>1. 解法二:當t>0時,由重要不等式可得 當且僅當t=1時取“=”號. 當01時,y=logax是增函數(shù), 解法三:因為t>0,又有 當且僅當t=1時取“=”號, 當且僅當t=1時取“=”號. 以下同解法二. 六、本題主要考查考生在正確理解數(shù)學概念(函數(shù)的圖象的概念,軸對稱圖形的概念等)的基礎上進行推理的能力,以及靈活運用學過的代數(shù)和解析幾何的知識(互為反函數(shù)的圖象之間的關系,兩條直線平行的條件等)解決問題的能力. 證法一: (1)設M1(x1,y1)

9、,M2(x2,y2)是這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點, ∵ a≠1,且x1≠x2, ∴ y2-y1≠0. 因此,M1M2不平行于x軸. 即,由此得a=1,與已知矛盾, 于是由②式得 證法二: (1)設M1(x1,y1),M2(x2,y2)是這個函數(shù)的圖象上任意兩個不同的點,則x1≠x2.假如直線M1M2平行于x軸,那么y1=y2,即 亦即(x1-1)(ax2-1)=(x2-1)(ax1-1), 整理得a(x1-x2)=x1-x2, 因為x1≠x2,所以a=1,這與已知矛盾. 因此M1M2不平行于x軸. (2)先求所給函

10、數(shù)的反函數(shù):由 得 y(ax-1)=x-1, 即 (ay-1)x=y-1. 即 ax-a=ax-1, 由此得a=1,與已知矛盾,所以ay-1≠0. 因此得到 由于函數(shù)y=f(x)的圖象和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對 證法三: (1)任取一條與x軸平行的直線L,則l的方程為y=c(c為常數(shù)). 考慮L與所給函數(shù)的圖象是否相交以及交點數(shù)目的情況. 將②代入①得 c(ax-1)=x-1, 即 (ca-1)x=c-1. ③ 從而直線L與所給函數(shù)的圖象無交點. 這說明原方程組恰有一個解,從而直線L與所給函

11、數(shù)的圖象恰有一個交點. 綜上述,平行于x軸的直線與所給函數(shù)的圖象或者不相交,或者恰有一個交點. 因此,經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸. (2)同證法一或證法二. 七、本題主要考查考生利用方程研究曲線性質的能力,以及綜合運用學過的代數(shù)知識(一元二次方程的判別式,根與系數(shù)的關系,解二元二次方程組,解不等式等)去解題的能力. 解法一:假定橢圓上有符合題意的四個點,則這四個點的坐標都應滿足下面的橢圓方程: 又這四個點的坐標應滿足下面的拋物線方程 y2=2px, 從而它們都是下面的方程組的解: 將②式代入①式,得 由于上述方程組有4個不同的實數(shù)解,所

12、以方程③的判別式應大于零, 整理得 3p2-4p+1>0, 由已知,橢圓上的點的橫坐標都大于零,所以方程③的兩個根應都為正數(shù),于是得 7p-4<0, 解此不等式得 由④、⑤以及已知條件得 一次項系數(shù)7p-4<0,所以x1,x2都為正數(shù). 把x1及x2分別代入②中,可解得 顯然y1,y2,y3,y4兩兩不相等. 由于(x1,y1)適合②式和③式,從而也適合①式,因此點M1(x1,y1)是符合題意的點. 同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合題意的點,并且它們是互不相同的. 解法二:橢圓上有四個點符合題意的充要條件是方程組 有四個不同的實數(shù)解. 所以原方程組有四個不同的實數(shù)解,當且僅當方程③有兩個不相等的正根.而這又等介于 在p>0的條件下,解此不等式組,得到 解法三:易求出所給橢圓的方程為 假定這個橢圓上有符合題意的四個點,則這些點的坐標應是下述方程組的解: 把②式化簡得 y2=2px. 以下同解法一． 14 俊秀工作室傾情奉獻 朱俊杰&康秀玲