九年級數(shù)學(xué)[共49頁]

九年級數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)知識結(jié)構(gòu)和考點剖析山東沂源徐家莊中學(xué) 左效平 256116一、解直角三角形1．1知識基本體系 1．2解直角三角形的考點剖析考點1：求銳角三角函數(shù)這是一個非常重要的考點這類試題從不同角度，以靈活的形式，多變的條件，激發(fā)同學(xué)們的思考熱情正方形網(wǎng)格上求銳角三角函數(shù)例1、在正方形網(wǎng)格中，∠α的位置如圖1所示，則sinα的值為（ ）．A、 B、 C、 D、解析：根據(jù)題意要想求sinα的函數(shù)值，應(yīng)該將∠α放置到某一個直角三角形中而在正方形網(wǎng)格上構(gòu)造一個包含∠α的直角三角形是比較容易的如圖2，我們可以構(gòu)造直角三角形AOB、直角三角形COD、直角三角形EOF、直角三角形GOQ等等，通過仔細(xì)觀察構(gòu)造的這些直角三角形，不難發(fā)現(xiàn)，它們有一個共同的特點，就是這些直角三角形的兩條直角邊都是相等的，即這些直角三角形都是等腰直角三角形因此，sinα的值是，所以選B點評：這道題目雖然小，但是問題的背景新穎、獨特它以銳角三角函數(shù)的定義為問題求解的出發(fā)點，以構(gòu)造直角三角形求解為問題解決的突破口，通過構(gòu)造直角三角形的個數(shù)的多樣性，來驗證一個事實：一個銳角的函數(shù)值只與角度的大小有關(guān)，而與這個角所在直角三角形的直角邊的長短是沒有關(guān)系的。

例2、正方形網(wǎng)格中，如圖3放置，則的值為（　?。粒? Ｂ． Ｃ． Ｄ．解析：根據(jù)題意要想求的函數(shù)值，應(yīng)該將∠AOB放置到某一個直角三角形中而在正方形網(wǎng)格上構(gòu)造一個包含∠AOB的直角三角形是比較容易的如圖4，我們可以構(gòu)造直角三角形COD,通過仔細(xì)觀察構(gòu)造的直角三角形，不難發(fā)現(xiàn)，CD=2,OD=1,所以,斜邊OC=√5,因此，的值等于1: √5,所以選A變化三角形的邊長求三角函數(shù)值例3、把Rt△ABC各邊的長度都擴大3倍得Rt△A’B’C’，那么銳角A、A’的余弦值的關(guān)系為（ ）．A、cosA＝cosA’ B、cosA＝3cosA’ C、3cosA＝cosA’ D、不能確定解析：把Rt△ABC各邊的長度都擴大3倍得Rt△A’B’C’，所以，三角形ABC和三角形A′B′C′的對應(yīng)邊是成比例的，所以，Rt△ABC ∽Rt△A’B’C’，所以，∠A=∠A′，根據(jù)銳角三角函數(shù)值的大小只與角的大小有關(guān)系的這一原則，就得到：cos∠A =cos∠A′，所以應(yīng)該選擇A在平面直角坐標(biāo)系中求三角函數(shù)值例4、如圖5，P是∠的邊OA上一點，且點P的坐標(biāo)為（3，4）， 則sin= ( )A． B． C． D． 解析：在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)點P的坐標(biāo)為（3，4），我們可以求得以O(shè)P為斜邊的直角三角形的兩直角邊的長為3、4，并且，的對邊長是4，鄰邊長是3，所以，斜邊OP 的長為5，所以，sin的值為4：5。

因此選B考點2、特殊角函數(shù)值的計算例5、計算的值是 解析:這類問題的出發(fā)點,最明顯,就是考同學(xué)們對特殊角的銳角三角函數(shù)值記憶程度另外還滲透了互余兩個角之間三角函數(shù)關(guān)系在這里顯然有sin60=cos30，所以，sin60：cos30=1，又tan45=1，因此，原式的值為0考點3、解直角三角形的應(yīng)用以仰角、俯角、方位角為載體的應(yīng)用型問題求物高例6、如圖，在某建筑物AC上，掛著“多彩云南”的宣傳條幅BC，小明站在點F處，看條幅頂端B，測的仰角為，再往條幅方向前行20米到達(dá)點E處，看到條幅頂端B，測的仰角為，求宣傳條幅BC的長，（小明的身高不計，結(jié)果精確到0.1米）解： ∵∠BFC =，∠BEC =，∠BCF = ∴∠EBF =∠EBC =∴BE = EF = 20 在Rt⊿BCE中， 答：宣傳條幅BC的長是17.3米是否有觸礁危險解析：判斷貨船有無觸礁危險的標(biāo)準(zhǔn)為：1）計算出貨船向正東方向航行時，小島C距正東航向的垂直距離；2）比較垂直距離與暗礁半徑的大?。寒?dāng)垂直距離＞暗礁半徑時，貨船無觸礁危險；當(dāng)垂直距離＜暗礁半徑時，貨船有觸礁危險；當(dāng)垂直距離＝暗礁半徑時，貨船有觸礁危險。

例7、如圖1，某貨船以24海里／時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東的方向上．該貨船航行分鐘后到達(dá)B處，此時再測得該島在北偏東的方向上，已知在C島周圍海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁．若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險？試說明理由．解：過點C作CD⊥AM，垂足D，根據(jù)題意，得：AB=240.5=12，∠CAB=30，∠CBD=60，∠CDB=90，因為，∠CBD是三角形ABC的一個外角，所以，∠CBD=∠CAB+∠ACB，因為，∠CAB=30，∠CBD=60，所以，∠ACB=30，所以，∠ACB=∠CAB，所以，AB=BC=12，在直角三角形CBD中，CD=BCsin60=12=6，又因為，=1.5，3＞2.25所以，＞＞1.5，所以，6＞6＞1.56＞9，因為，在C島周圍海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，所以，繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險是否超速例8、某段筆直的限速公路上，規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過60km/h（即m/s）交通管理部門在離該公路100m處設(shè)置了一速度監(jiān)測點A，在如圖3，所示的坐標(biāo)系中，點A位于y軸上，測速路段BC在x軸上，點B在點A的北偏西60方向上，點C在點A的北偏東45方向上．（1）請在圖3中畫出表示北偏東45方向的射線AC，并標(biāo)出點C的位置；（2）點B坐標(biāo)為 ，點C坐標(biāo)為 ；（3）一輛汽車從點B行駛到點C所用的時間為15s，請通過計算，判斷該汽車在限速公路上是否超速行駛？（本小問中）解析：判斷汽車是否超速的標(biāo)準(zhǔn)為：1）計算出筆直的限速公路BC的距離；2）計算出汽車在筆直的限速公路BC的速度；3）比較汽車在筆直的限速公路BC的速度與最高行駛速度的大?。寒?dāng)汽車在筆直的限速公路BC的速度＞最高行駛速度時，超速；當(dāng)汽車在筆直的限速公路BC的速度＝最高行駛速度時，超速；當(dāng)汽車在筆直的限速公路BC的速度＜最高行駛速度時，不超速；解：（1）北偏東45方向的射線AC，如圖4所示，（2）在直角三角形AOB中，OA=100，∠OAB=60，所以，OB=OAtan60=100，點B坐標(biāo)為（-100，0）；又因為，∠CAO=45，∠COA=90，所以，∠ACO=45，所以，OA=OC=100，所以，點C的坐標(biāo)為（100，0）；3）由1）、2）知道，從點B到點C的距離為：（100+100）米；并且汽車從點B行駛到點C所用的時間為15s，所以，汽車的速度為：（100+100）15≈18m/s，而最高速度為：50/3≈17m/s，因為，18m/s＞17m/s，所以，該汽車在限速公路上超速行駛。

是否通過解析：汽車恰好能通過的標(biāo)準(zhǔn)是：軸心距所在的直線恰好在點P處相切例9、如圖5，是一個路障的縱截面和汽車越過路障時的底盤示意圖，O1，O2分別是車輪的軸心，M是線段O1O2的中點（軸心距的中點），兩車輪的半徑相等．經(jīng)驗告訴人們，只要中點M不被P點托住（俗稱托底盤，對汽車很有危害！），線段O1O2上的其它點就不會被P點托住，汽車就可順利通過．否則，就要通過其他方式通過．（1）若某種汽車的車輪半徑為50cm, 軸心距O1O2為400cm. 通過計算說明,當(dāng)∠APB等于多少度時，汽車恰好能通過斜坡？（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)sin14.48≈0.25，cos14.48≈0.97）（2）當(dāng)∠APB=120時，通過計算說明要使汽車安全通過，車輪半徑與軸心距O1O2的比應(yīng)符合什么條件？解：1）如圖6，汽車恰好能通過斜坡時，點、M、P、Q恰好在一條直線上，連接C，則C⊥PA，所以，在直角三角形PC中，M=200，C=50，所以，sinMC===0.25，又因為，sin14.48≈0.25，，所以，∠MC =14.48，所以，∠APB=180-14.48-14.48=151.04 ≈151 ；（2）當(dāng)∠APB=120時，要使汽車安全通過，則有∠MC =30，所以，= sin30=，所以，M=2C，所以，O1O2=4C，即=，所以，當(dāng)∠APB=120時，要使汽車安全通過，車輪半徑與軸心距O1O2的比應(yīng)至少為1：4。

是否穿過解析：判斷是否穿過文物保護(hù)區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)為：1）計算出C距直線MN的垂直距離；2）比較垂直距離與文物保護(hù)區(qū)范圍的大小：當(dāng)垂直距離＞文物保護(hù)區(qū)范圍時，不會穿過文物保護(hù)區(qū)；當(dāng)垂直距離＜文物保護(hù)區(qū)范圍時，穿過文物保護(hù)區(qū)；當(dāng)垂直距離＝文物保護(hù)區(qū)范圍時，恰好穿過文物保護(hù)區(qū)；例10、2007年5月17日我市榮獲“國家衛(wèi)生城市稱號”．如圖7,在“創(chuàng)衛(wèi)”過程中，要在東西方向兩地之間修建一條道路．已知：如圖點周圍180m范圍內(nèi)為文物保護(hù)區(qū)，在上點處測得在的北偏東方向上，從向東走500m到達(dá)處，測得在的北偏西方向上．是否穿過文物保護(hù)區(qū)？為什么？（參考數(shù)據(jù)：）:解：如圖8,所示,過C作CH⊥AB于點H，設(shè)CH=xm，則，．，．，所以，不會穿過保護(hù)區(qū)是否最近解析：判斷輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C最近的標(biāo)準(zhǔn)為：1）作出C到直線AB的垂直距離，找到距離小島最近的點的位置，垂足處；2）求出點B與垂足之間的距離，就是所要求的答案例10、一艘輪船自西向東航行，在A處測得東偏北21.3方向有一座小島C，繼續(xù)向東航行60海里到達(dá)B處，測得小島C此時在輪船的東偏北63.5方向上之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C最近？（參考數(shù)據(jù)：sin21.3≈，tan21.3≈， sin63.5≈，tan63.5≈2）解：過C作AB的垂線，交直線AB于點D，得到Rt△ACD與Rt△BCD．設(shè)BD＝x海里，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，所以,CD＝x tan63.5；在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝，所以，CD＝( 60＋x ) tan21.3；所以，xtan63.5＝(60＋x)tan21.3，即，解得，x＝15。

答：輪船繼續(xù)向東航行15海里，距離小島C最近是否最快解析：判斷最快的標(biāo)準(zhǔn)為：1）計算出三人各自行駛的路程；2）計算出三人各自行駛的路程所用的時間；3）所時間最少的人，就是最快的例11、如圖11，某邊防巡邏隊在一個海濱浴場岸邊的A點處發(fā)現(xiàn)海中的B點有人求救，便立即派三名救生員前去營救．1號救生員從A點直接跳入海中；2號救生員沿岸邊(岸邊看成是直線)向前跑到C點，再跳入海中；3號救生員沿岸邊向前跑30O米到離B點最近的D點，再跳人海中．救生員在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=45，∠BCD=60，三名救生員同時從A點出發(fā)，請說明誰先到達(dá)營救地點B參考數(shù)據(jù)√2≈1.4，√3≈1.7)解：在三角形ABD中，因為，AD=300，∠BAD=45，∠BDA=90，所以，BD=300，所以，AB=300√2≈3001.4=420，所以，1號救生員所用的時間為：4202=210（秒）；在三角形BCD中，因為，BD=300，∠BCD=60，∠BDA=90，所以，BC=300sin60=200√3≈2001.7=340，CD=1/2BC=170，所以，AC=300-170=130，所以，2號救生員所用的時間為：1306+3402≈191.7（秒）；3號救生員所用的時間為：3006+3002=200（秒）；因為，210＞200＞191.7，所以，2號救生員最快。

是否影響采光解析：判斷樓的影子是否影響樓的一樓住戶采光的標(biāo)準(zhǔn)為：1）計算樓的影子在B樓上的高度；2）比較樓的影子在B樓上的高度與B樓一樓住戶的窗臺離小區(qū)地面的距離DN=2米的大?。寒?dāng)樓的影子在B樓上的高度＞B樓一樓住戶的窗臺離小區(qū)地面的距離DN=2米時，影響采光；當(dāng)樓的影子在B樓上的高度=B樓一樓住戶的窗臺離小區(qū)地面的距離DN=2米時，不影響采光；當(dāng)樓的影子在B樓上的高度＜B樓一樓住戶的窗臺離小區(qū)地面的距離DN=2米時，不影響采光；例12、如圖12，某居民小區(qū)內(nèi)A、B兩樓之間的距離MN=30米，兩樓的高都是20米，A樓在B樓正南，B樓窗戶朝南B樓內(nèi)一樓住戶的窗臺離小區(qū)地面的距離DN=2米，窗戶高CD=1.8米當(dāng)正午時刻太陽光線與地面成角時，A樓的影子是否影響B(tài)樓的一樓住戶采光？若影響，擋住該住戶窗戶多高？若不影響，請說明理由參考數(shù)據(jù)：，，）解：如圖13，設(shè)光線影響到樓的處，作于，由題知，，，所以，，所以，，因為，，所以，2.68＞2，所以，影響B(tài)樓的采光，因為，，所以，樓影子影響到樓一樓采光，擋住該戶窗戶米．測量問題：如圖14，初三年級某班同學(xué)要測量校園內(nèi)國旗旗桿的高度，在地面的C點用測角器測得旗桿頂A點的仰角∠AFE=60，再沿直線CB后退8米到D點，在D點又用測角器測得旗桿頂A點的仰角∠AGE=45；已知測角器的高度是1．6米，求旗桿AB的高度．(的近似值取1．7，結(jié)果保留小數(shù))圖14解：設(shè)AE為x米，在Rt△EF中，∠AFE=60， ∴EF=x/3 在Rt△AGE中，∠AGE=45 AE=GE 8+x/3=x ∴x=12+4 即x≈18．8(的近似值取1．7，結(jié)果保留小數(shù))∴AB=AE+EB≈20．4答：旗桿高度約為20．4米二、二次函數(shù)2．1知識和結(jié)構(gòu)2.2考點剖析:考點1: 考圖象二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考的重點考查內(nèi)容。

現(xiàn)以部分中考題為例介紹幾種與二次函數(shù)圖象有關(guān)的常見題型希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助要想順利解答二次函數(shù)圖象的相關(guān)的問題，同學(xué)們要學(xué)會如何從圖象上獲取有價值的信息二次函數(shù)圖象能向你傳達(dá)的信息有兩類，一類是從圖象上可以直接獲得，并能直接應(yīng)用的信息；另一類是需要你自己綜合分析、加工處理后，才能應(yīng)用的信息常見的直接信息有如下幾條：　二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像上可以直接獲得的信息是：1、a的符號：看拋物線的開口方向：開口向上，a＞0；開口向下a＜0;2、c的符號：看拋物線與y軸交點的位置：交點在原點，c=0；交點在原點以上，c＞o；交點在原點以下，c＜03、b2－4ac的符號：看拋物線與x軸交點的個數(shù)；拋物線與x軸有兩個交點 b2－4ac＞0；拋物線與x軸有一個交點 b2－4ac=0，拋物線與x軸沒有交點 b2－4ac＜0，4、圖象交點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的符號：過交點作y軸的垂線，看垂足的位置；如果垂足在y 軸的正半軸，那么交點的縱坐標(biāo)大于0；如果垂足在原點，那么交點的縱坐標(biāo)是0；如果垂足在y 軸的負(fù)半軸，那么交點的縱坐標(biāo)小于0；5、圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)的符號：如果圖象與x軸的交點都在x軸的正半軸上，那么交點的橫坐標(biāo)都是正數(shù)；如果圖象與x軸的交點都在x軸的負(fù)半軸上，那么交點的橫坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)；如果圖象與x軸的交點一個在x軸的負(fù)半軸上，一個在x軸的正半軸上，那么交點的橫坐標(biāo)一個為正，一個為負(fù)； 如果圖象與x軸的交點一個在x軸的負(fù)半軸上，一個在原點，那么交點的橫坐標(biāo)一個為0，一個為負(fù)； 如果圖象與x軸的交點一個在x軸的正半軸上，一個在原點，那么交點的橫坐標(biāo)一個為0，一個為正； 1、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，判斷與a、b、c相關(guān)的代數(shù)式是否成立例1、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖1所示，有下列5個結(jié)論：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的實數(shù)）其中正確的結(jié)論有（ ）A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個　解析：仔細(xì)觀察函數(shù)的圖象，不難得到如下信息：a＜0，c＞0，=1，其余的信息都需要你結(jié)合圖象去分析，加工，因為，=1，所以，b=-2a，又因為a＜0，所以，b＞0，這樣abc＜0，對照結(jié)論。

說明①是錯誤的；過x=-1點作x軸的垂線，交拋物線與點A，過A作y 軸的垂線，垂足為B，不難發(fā)現(xiàn)，垂足B在y 軸的負(fù)半軸上，因此，點A的縱坐標(biāo)是小于0，因為x=-1，所以，A的縱坐標(biāo)：y=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c， 又因為點A的縱坐標(biāo)是小于0，a-b+c＜0，因此，a+c＜b；所以結(jié)論②是錯誤的；不妨設(shè)拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，根據(jù)拋物線的對稱性，可以得到：，所以，x1+x2=2，所以，x1=2-x2，又因為，x1＜-1，所以，2-x2＜-1，即x2＞3，所以當(dāng)x=2時，在正半軸的交點一內(nèi)，可以利用解決結(jié)論②的方法，得到：4a+2b+c＞0，因此，結(jié)論③是正確的；根據(jù)：a-b+c＜0，b=-2a，消去字母a，得：b+c＜0，所以，2c＜3b；因此結(jié)論④是正確的；因為拋物線的開口方向向下，所以拋物線有最大值，并且是當(dāng)x=1，函數(shù)值最大，此時為y=a+b+c，當(dāng)x=m 時 ，函數(shù)值為：am2+bm+c，所以，a+b+c＞ am2+bm+c，即，所以結(jié)論⑤是正確的；綜合上述的分析，只有三個結(jié)論是正確的，因此選B2、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，比較與a、b、c相關(guān)的代數(shù)式的大小例2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |，Q=| a＋b＋c |＋| 2a－b |，則P、Q的大小關(guān)系為 。

解析：仔細(xì)觀察函數(shù)的圖象，不難得到如下信息：a＜0，c=0，＞1＞0，因此，b＞0，b＞-2a，所以2a+b＞-2a+2a＞0，原式子可以化簡為：P=|a-b|+|2a+b|，Q=|a+b|+|2a-b|，仔細(xì)觀察圖象，很容易得出，當(dāng)x=-1時，y=a-b＜0，當(dāng)x=1時，y=a+b＞0，又因為，a＜0，所以，2a＜0，所以， 2a-b＜0-b＜-b，又因為，b＞0，所以，-b＜0，所以，2a-b＜0，將式子再化簡為：P=|a-b|+|2a+b|=b-a+2a+b=a+2b，Q=|a+b|+|2a-b|=a+b+b-2a=2b-a，所以，P-Q= a+2b-（2b-a）= a+2b-2b+a=2a，又因為，2a＜0，所以，P-Q＜0，因此，P＜Q3、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，確定對應(yīng)一元二次方程的解例3、已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的解為 解析：仔細(xì)觀察函數(shù)的圖象，不難得到如下信息：a＜0，c＞0，＞1＞0，因此，b＞0，不妨設(shè)拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，根據(jù)拋物線的對稱性，可以得到：，所以，x1+x2=2，所以，x1=2-x2，因為，x2=3，所以，x1=2-3=-1，所以，關(guān)于的一元二次方程的解為：x1=-1，x2=3。

4、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，確定有a、b、c構(gòu)成橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的點的位置例4、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點在第 象限解析：仔細(xì)觀察函數(shù)的圖象，不難得到如下信息：a＜0，c＞0，＜0，因此，b＜0，所以，bc＜0，所以點P的橫坐標(biāo)是負(fù)的，縱坐標(biāo)也是負(fù)的，所以點P在第三象限5、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，確定兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象例5、在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y=ax+b和y=ax2+bx+c的圖象只可能是 —— 解析：解答此類問題時常常遵循如下原則：同一字母在不同解析式中的意義必須相同，有幾個字母就驗證幾個A）中看拋物線a＜0，看一次函數(shù)a＞0，二者矛盾，故（A）不正確；（B）中看拋物線，a＞0，看一次函數(shù)，a＞0；接著再看b的符號，看一次函數(shù)，b＞0，看拋物線，b＜0，矛盾，故（B）不正確；（C）中看拋物線，a＜0，看一次函數(shù)a＜0，看一次函數(shù)，b＜0，看拋物線，b＜0，兩個字母的意義都相同，故正確答案應(yīng)選（C）6、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，確定某一個待定系數(shù)的范圍例6、如圖6所示的拋物線是二次函數(shù)的圖象，那么的值是 。

解析：仔細(xì)觀察函數(shù)的圖象，不難得到如下信息：a＜0，c=0，所以，a2-1=0，所以，a=1或a=-1，又因為：a＜0，所以，a=-1當(dāng)然這些只是一部分問題，只要你是個細(xì)心人，一定會在此基礎(chǔ)上有更大收獲 考點2:考拋物線的解析式求二次函數(shù)的解析式，是重點內(nèi)容一、已知拋物線上任意的三個點的坐標(biāo)，求解析式當(dāng)知道拋物線上一般的三個點的坐標(biāo)：A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）時，要求二次函數(shù)的解析式，通常的解題思路如下：①設(shè)二次函數(shù)的一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）②把點A、B、C的坐標(biāo)分別代入所設(shè)的解析式中，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a、b、c的三元一次方程組；③解方程組，求得a、b、c的值；④把a、b、c的值分別代入所設(shè)的解析式中，得二次函數(shù)的解析式例1、已知拋物線經(jīng)過點A（1，2）、B（2，2）、C（3，4），求拋物線的解析式解：設(shè)二次函數(shù)的一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0），把點A（1，2）、B（2，2）、C（3，4）分別代入：y=ax2+bx+c中，得：a+b+c=2，4a+2b+c=2，9a+3b+c=4，解得：a=1，b=-3，c=4，所以，二次函數(shù)的解析式為：y=x2-3x+4。

二、已知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，和某一個點的坐標(biāo)，求解析式當(dāng)拋物線與x軸的交點坐標(biāo)：A（x1，0）、B（x2，0）、C（x3，y3）時，要求二次函數(shù)的解析式，通常的解題思路如下：①設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）②把點C的坐標(biāo)代入所設(shè)的解析式中，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的一元一次方程；③解方程，求得a值；④把a的值代入所設(shè)的解析式中，得二次函數(shù)的解析式例2、已知拋物線與x軸的交點是A（-2，0）、B（1，0），且經(jīng)過點C（2，8）求該拋物線的解析式解：因為，拋物線與x軸的交點是A（-2，0）、B（1，0），所以，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x+2），由已知拋物線過C（2，8）點，得：8=a（2-1）（2+2），解方程得：a=2，所以，所求拋物線的解析式為：y=2（x-1）（x+2）=2x2+2x-4三、已知拋物線的頂點坐標(biāo)，和某一個點的坐標(biāo)，求解析式當(dāng)知道拋物線的頂點坐標(biāo)：M（h，k）和拋物線上的一個點A（x1，y1）時，要求二次函數(shù)的解析式，通常的解題思路如下：①設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-h）2+k（a≠0）②把點C的坐標(biāo)代入所設(shè)的解析式中，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的一元一次方程；③解方程，求得a值；④把a的值代入所設(shè)的解析式中，得二次函數(shù)的解析式。

例3、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點為A（1，-4），且過點B（3，0）．求該二次函數(shù)的解析式解：設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1）2-4， 因為，二次函數(shù)圖象過點B（3，0），所以，4a-4=0，解得：a=1， 所以，二次函數(shù)解析式為：y=（x-1）2-4，，即y=x2-2x-3四、 已知拋物線的對稱軸，和某兩個點的坐標(biāo)，求解析式當(dāng)已知拋物線的對稱軸是y軸，拋物線上的兩個個點的坐標(biāo)：A（x1，y1）、B（x2，y2）時，要求二次函數(shù)的解析式，通常的解題思路如下：①設(shè)二次函數(shù)的解析式：y=ax2+c（a≠0）②把點A、B的坐標(biāo)分別代入所設(shè)的解析式中，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a、c的二元一次方程組；③解方程組，求得a、c的值；④把a、c的值分別代入所設(shè)的解析式中，得二次函數(shù)的解析式例4、有一座拋物線形拱橋，正常水位時，AB寬為20米，水位上升3米就達(dá)到警戒水位線CD，這時水面的寬度為10米請你在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，求出二次函數(shù)的解析式解：根據(jù)圖象，知道拋物線的對稱軸是y軸，所以，不妨設(shè)二次函數(shù)的解析式：y=ax2+c（a≠0），因為，AB=20，所以，F(xiàn)A=FB=10，因為，CD=10，所以，EC=ED=5所以，點A的坐標(biāo)為（-10，），點C的坐標(biāo)為（-5，），所以，= a（-5）2+c=25a+c，= a（-10）2+c=100a+c，因為，EF=3，所以，-=3，所以，（25a+c） -（100a+c）=3，解得：a=-，仔細(xì)觀察圖象，圖象還經(jīng)過點（0，0），所以，c=0，所以，所求函數(shù)的解析式：y=- x2。

五、已知一個拋物線的解析式，求平移的函數(shù)解析式例5、將拋物線y=x2的圖象向右平移3個單位，接著再向上平移6個單位，則平移后的拋物線的解析式為___________解題指導(dǎo)：求平移后的二次函數(shù)的關(guān)鍵是，同學(xué)們要真正理解二次函數(shù)的平移規(guī)律二次函數(shù)的平移規(guī)律：上下平移：向上平移m個單位，就是在二次函數(shù)的完全平方式的后面加上m；向下平移m個單位，就是在二次函數(shù)的完全平方式的后面減去m；（m是正整數(shù)）例如：將y=ax2，向上平移3個單位，得到的二次函數(shù)為：y=ax2+3；將y=ax2，向下平移3個單位，得到的二次函數(shù)為：y=ax2-3；左右平移：向左平移n個單位，就是在二次函數(shù)的完全平方式的底數(shù)中加上n；向右平移n個單位，就是在二次函數(shù)的完全平方式的底數(shù)中減去n；（n是正整數(shù)）例如：將y=ax2，向左平移3個單位，得到的二次函數(shù)為：y=a（x+3）2；將y=ax2，向右平移3個單位，得到的二次函數(shù)為：y=a（x-3）2；解析：在解答時，可以先進(jìn)行左右平移，后上下平移；也可以先上下平移，后左右平移所以，拋物線y=x2的圖象向右平移3個單位，得到二次函數(shù)：y=（x-3）2，二次函數(shù)：y=（x-3）2向上平移6個單位，得到二次函數(shù)為：y=（x-3）2+6，所以，平移后得到的新二次函數(shù)為：y=（x-3）2+6。

例6、將拋物線y=2（x+1）2-3向右平移1個單位，再向上平移3個單位，則所得拋物線的表達(dá)式為　　　　　　　解析：拋物線y=2（x+1）2-3向右平移1個單位，，得到二次函數(shù)：拋物線y=2（x+1-1）2-3即y=2x2-3；所以， 二次函數(shù)y=2x2-3再向上平移3個單位，則所得拋物線的表達(dá)式為：y=2x2-3+3，即y=2x2；所以，平移后所得的二次函數(shù)為：y=2x2例7、在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，圖象不可能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過平移變換、軸對稱變換得到的函數(shù)是（　?。粒畒=2（x+1）2-1 Ｂ． y=2x2+3 Ｃ．y=-2x2-1 Ｄ．解題指導(dǎo)：圖像的平移變換，主要落實在兩個位置上，一個是完全平方式的底數(shù)上，一個是完全平方式的后面的常數(shù)項的位置上此外，還有一種翻轉(zhuǎn)變換，當(dāng)二次函數(shù)中，右邊的表達(dá)式只相差一個符號時，這兩個函數(shù)之間的變換，就是翻轉(zhuǎn)變換否則，就不行解析：函數(shù)y=2x2+1的圖象先向下平移2個單位，再向左平移一個單位，就得到二次函數(shù)y=2（x+1）2-1，所以，A能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過平移變換得到；函數(shù)y=2x2+1的圖象先向上平移2個單位，就得到二次函數(shù)y=2（x）2+3，所以，B能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過平移變換得到；函數(shù)y=2x2+1的圖象翻轉(zhuǎn)180，就得到二次函數(shù)y=-2x2-1，所以，C能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過軸對稱變換得到；所以，只有D是不行的，因此，選D。

六、拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式對于拋物線y=a+bx+c關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式，求解思路是：1）求出起始拋物線的頂點坐標(biāo)和拋物線與y 軸的交點坐標(biāo)；2）求出這兩個點關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)；3）應(yīng)用頂點式，求函數(shù)的解析式 解：設(shè)拋物線為：y=a+bx+c，配方，得：y=a（x+）2+，所以，拋物線的頂點坐標(biāo)為M（-，），拋物線與y 軸的交點坐標(biāo)為N（0，c），所以，點M、N關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)分別是M1（-，-），N1（0，-c），設(shè)對稱的拋物線的解析式為：y=A（x+）2-，把x=0，y=-c代入所設(shè)的解析式 ，得：-c= A（0+）2-，解得：A=-a，所以，所求得解析式為：y=-a（x+）2-= -a-bx-c =-（a+bx+c）結(jié)論1：拋物線y= a+bx+c關(guān)于x 軸的對稱拋物線為：y=-（a+bx+c）也就是說，把原來拋物線的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項都變成原數(shù)的相反數(shù)后，就得到符合條件的拋物線例8、拋物線 y=2（x-1）2+3關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式為 解：因為，y=2（x-1）2+3，所以，y=2-4x+5，根據(jù)結(jié)論1，得關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式為y=-2+4x-5。

七、拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式對于拋物線y=a+bx+c關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式，求解思路是：1）求出起始拋物線的頂點坐標(biāo)和拋物線與y 軸的交點坐標(biāo)；2）求出這兩個點關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)；3）應(yīng)用頂點式，求函數(shù)的解析式 解：設(shè)拋物線為：y=a+bx+c，配方，得：y=a（x+）2+，所以，拋物線的頂點坐標(biāo)為M（-，），拋物線與y 軸的交點坐標(biāo)為N（0，c），所以，點M、N關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)分別是M2（，），N2（0，c），設(shè)對稱的拋物線的解析式為：y=A（x-）2+，把x=0，y=c代入所設(shè)的解析式 ，得：c= A（0-）2+，解得：A=a，所以，所求得解析式為：y=a（x-）2+= a-bx+c結(jié)論2：拋物線y= a+bx+c關(guān)于y 軸的對稱拋物線為：y=a-bx+c也就是說，把原來拋物線的二次項系數(shù)、常數(shù)項都保持不變，一次項系數(shù)變成原數(shù)的相反數(shù)后，就得到符合條件的拋物線例9、拋物線 y=2（x-1）2+3關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式為 解：因為，y=2（x-1）2+3，所以，y=2-4x+5，根據(jù)結(jié)論2，得關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式為y=2+4x+5。

八、拋物線關(guān)于原點軸對稱的拋物線的解析式對于拋物線y=a+bx+c關(guān)于原點對稱的拋物線的解析式，求解思路是：1）求出起始拋物線的頂點坐標(biāo)和拋物線與y 軸的交點坐標(biāo)；2）求出這兩個點關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)；3）應(yīng)用頂點式，求函數(shù)的解析式 解：設(shè)拋物線為：y=a+bx+c，配方，得：y=a（x+）2+，所以，拋物線的頂點坐標(biāo)為M（-，），拋物線與y 軸的交點坐標(biāo)為N（0，c），所以，點M、N關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)分別是M3（，-），N3（0，-c），設(shè)對稱的拋物線的解析式為：y=A（x-）2-，把x=0，y=-c代入所設(shè)的解析式 ，得：-c= A（0-）2-，解得：A=-a，所以，所求得解析式為：y=-a（x-）2-= -a+bx-c結(jié)論3：拋物線y= a+bx+c關(guān)于x 軸的對稱拋物線為：y=-a+bx-c也就是說，把原來拋物線的二次項系數(shù)、常數(shù)項都變成原數(shù)的相反數(shù)，一次項系數(shù)保持不變，就得到符合條件的拋物線例10、拋物線 y=2（x-1）2+3關(guān)于原點對稱的拋物線的解析式為 解：因為，y=2（x-1）2+3，所以，y=2-4x+5，根據(jù)結(jié)論3，得關(guān)于原點對稱的拋物線的解析式為y=-2-4x-5。

考點3：圖形面積最優(yōu)化問題圍成圖形面積的最值1、 只圍二邊的矩形的面積最值問題例1、 如圖1，用長為18米的籬笆（虛線部分）和兩面墻圍成矩形苗圃1） 設(shè)矩形的一邊長為x（米），面積為y（平方米），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2） 當(dāng)x為何值時，所圍成的苗圃面積最大？最大面積是多少？分析：關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示出矩形的長與寬解：（1）設(shè)矩形的長為x（米），則寬為（18- x）（米）， 根據(jù)題意，得：；又∵（2）∵中，a= -1＜0，∴y有最大值，即當(dāng)時，故當(dāng)x=9米時，苗圃的面積最大，最大面積為81平方米點評：在回扣問題實際時，一定注意不要遺漏了單位2、 只圍三邊的矩形的面積最值例2、 如圖2，用長為50米的籬笆圍成一個養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一面靠墻問如何圍，才能使養(yǎng)雞場的面積最大？分析：關(guān)鍵是明確問題中的變量是哪兩個，并能準(zhǔn)確布列出函數(shù)關(guān)系式解：設(shè)養(yǎng)雞場的長為x（米），面積為y（平方米），則寬為（）（米）， 根據(jù)題意，得：；又∵∵中，a=＜0，∴y有最大值，即當(dāng)時，故當(dāng)x=25米時，養(yǎng)雞場的面積最大，養(yǎng)雞場最大面積為平方米點評：如果設(shè)養(yǎng)雞場的寬為x，上述函數(shù)關(guān)系式如何變化？請讀者自己完成3、 圍成正方形的面積最值例3、將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形． (1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少? (2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由．（1）解：設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20-x）cm 由題意得： 解得： 當(dāng)時，20-x=4；當(dāng)時，20-x=16答：這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是16厘米、4厘米。

2）不能 理由是：設(shè)第一個正方形的邊長為xcm，則第二個正方形的邊長為cm，圍成兩個正方形的面積為ycm2，根據(jù)題意，得：，∵中，a= 2＞0，∴y有最小值，即當(dāng)時，=12.5＞12,故兩個正方形面積的和不可能是12cm2.截出圖形面積的最值問題例4 如圖4,△ABC是一塊銳角三角形的余料,邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成長方形零件PQMN ,使長方形PQMN的邊QM在BC上,其余兩點P、N在AB、AC上1） 問如何截才能使長方形PQMN的面積S最大？（2） 在這個長方形零件PQMN面積最大時，能否將余下的材料△APN、△BPQ △NMC 剪下再拼成（不計接縫用料和損耗）一個與長方形零件PQMN大小一樣的長方形？若能，給出一種拼法；若不能，試說明理由分析：解題的關(guān)鍵是利用幾何知識求得函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)加以解決問題解：（1）設(shè)長方形零件PQMN的邊PN=a mm，PQ=x mm，則AE=AD-ED=AD-PQ=（80- x）mm，∵PN∥BC ∴△APN∽△ABC，∴（相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比）∴，∵，∴0＜x＜80∴S=（0＜x＜80）∵S=（0＜x＜80）中，a=＜0，∴S有最大值，即當(dāng)時，故當(dāng)截得的長方形零件PQMN的長為60 mm，寬為40 mm 時，長方形零件PQMN的面積最大，最大面積為2400mm2。

點評：長方形零件PQMN的面積最大時，PN恰好是三角形的中位線理由是：拼法：1、 作△ABC的中位線PN，2、 分別過P、N兩點作BC的垂線，垂足分別為Q、M，3、 過A作BC的平行線，分別交QP、MN的延長線于G、H兩點因此，四邊形PNGH即為和長方形PQMN大小一樣的長方形例5 如圖6，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90，截取AE=BF=DG =x，已知AB=6，CD=3，AD=4求：（1）四邊形CGEF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）四邊形CGEF的面積S是否存在著最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由解：（1）梯形ABCD的面積為==18，S△AEF=AEAF=x（6-x）=3x-x2； S△DGE=DEDG=x（4-x）=2x-x2；S△BCF=BFDA=x4=2x；所以，S=18-（3x-x2）-（2x-x2）-2x =x2-7x+18；因為：GC＞0、DE＞0、AF＞0，所以6-x＞0、3-x＞0、4-x＞0、x＞0所以0＜x＜3因此自變量x的取值范圍是：0＜x＜3 （2）因為S =x2-7x+18=（x-）2+，故當(dāng)x=時，面積有最小值，而自變量x的取值范圍是：0＜x＜3，所以x=根本不在這個范圍內(nèi)，因此面積不存在最小值。

采光面積的最值例6 用19米長的鋁合金條制成如圖所示的矩形的窗框1） 求窗框的透光面積S（平方米）與窗框的寬x（米）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2） 求自變量x的取值范圍；（3） 問如何設(shè)計才能使窗框透過的面積最大？最大的透光面積是多少？分析：關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示出BC的長解：(1) 由圖示的信息，可得：3BC+20.5+3 x=19,所以, BC=6 –x,所以AC=AB+BC=(6 –x+0.5)米,所以, S=(6 –x+0.5) x= -x2+x;(2)由題意,得:x＞0,6-x＞0,所以0＜x＜6,因此自變量x的取值范圍是：0＜x＜6,（3）∵S=(6 –x+0.5) x= -x2+x中，a= -1＜0，∴S有最大值，即當(dāng)時，故當(dāng)x=米時，窗框的面積最大，最大面積為平方米三、圓3．1知識結(jié)構(gòu)3.2考點例析圓心角和圓周角之間的關(guān)系1、求互余圓周角的大小特點：所求的圓周角與已知的圓周角構(gòu)成互為余角因此，所求的圓周角的大小就等于90減去已知圓周角的度數(shù)例1、如圖1，CD是⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點，若∠ABD＝20，則∠ADC的度數(shù)為（ ）．A、40 B、50 C、60 D、70分析：因為CD是⊙O的直徑，所以∠CAD=90，又因為圓周角∠ABD、∠ACD都對著弧AD，所以，∠ABD=∠ACD，所以，∠ACD＝20，因為∠ADC+∠ACD==90，因此，∠ADC=70。

解：選D2、已知圓周角求圓心角的大小例2、如圖2，已知∠ACB是⊙O的圓周角，∠ACB=50，則圓心角∠AOB是（　　　）　A．40 B. 50C. 80D. 100分析：因為圓周角∠ACB和圓心角∠AOB都對著弧AB，所以根據(jù)圓周角定理可得：圓心角是弧上圓周角度數(shù)的2倍，所以，∠AOB=2∠ACB，因為∠ACB=50，所以∠AOB=100解：選D3、已知圓心角求圓周角的大小例3、如圖3，已知圓心角∠BOC=124、則圓周角∠BAC的大小是（　?。．50　　B．62　　　C．124　　D．236分析：因為圓周角∠BAC和圓心角∠BOC都對著弧BC，所以根據(jù)圓周角定理可得：圓心角是弧上圓周角度數(shù)的2倍，所以，∠BOC =2∠BAC，所以∠BAC =∠BOC=124=62解：選B4、求兩個圓周角的和特點：通過構(gòu)造同弧上圓周角與圓心角，利用圓心角與圓周角的關(guān)系定理去解決例4、如圖，是⊙O的直徑，點都在⊙O上，若，則 ．解：連接OC、OD、OE，根據(jù)圓周角定理，則有：∠ADC =∠AOC，∠BEC =∠BOC，所以，∠ADC+∠BEC=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=180=90，又因為∠ADC=∠BEC，所以，∠ADC=∠BEC=45，所以，∠C=∠ADC=∠BEC=45，所以，∠DOE=90，所以，∠A+∠B=∠BOD+∠AOE=（∠BOD +∠AOE）=（∠DOE+∠BOE +∠DOE+∠AOD）=（∠DOE+∠AOB）=（180+90）=135。

所以填135圓中線段計算1、求圓的半徑例1、如圖1，在⊙O中，弦的長為cm，圓心O到AB距離為4cm，則⊙O的半徑長為（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm解析：當(dāng)知道圓的一條弦長和圓心到該弦的距離時，常是作出這條距離，然后根據(jù)垂徑定理、勾股定理，就可以求出圓的半徑了如圖2，連接OA，過點O作OC⊥AB垂足為C，根據(jù)垂徑定理，得：AC=BC= cm，因為，圓心O到AB距離為4cm，所以，OC=4 cm，在Rt直角三角形AOC 中，根據(jù)勾股定理，得：，所以，OA=5，即圓的半徑為5cm，因此，選C例2、如圖3，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC 于D． 若BC=8，ED＝2，求⊙O的半徑．解析：根據(jù)垂徑定理可以知道線段EB的長，設(shè)出圓的半徑，然后用半徑表示出OE，這樣就可以在Rt直角三角形OEB 中，根據(jù)勾股定理，就可以求出圓的半徑了因為，OD⊥BC， 所以，BE＝CE=BC=4． 設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=OD-DE=R-2． 在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2． 解得R＝5，∴⊙O的半徑為5。

例3、如圖4，內(nèi)接于⊙O，，，則⊙O的半徑為（　　）A． B． C． D．解析：當(dāng)知道圓的一條弦長和該弦所對的圓周角時，常是經(jīng)過這條弦的一個端點，作出圓的一條直徑，然后利用圓周角定理，把所有的已知條件都遷移到剛才所作的直徑所對圓周角的直角三角形中，就可以求出圓的半徑了如圖5，過點B作圓的直徑BD，交圓于點D，連接AD，，根據(jù)圓周角定理，得：∠C=∠D=30，∠DAB=90所以，在Rt直角三角形ADB 中，因為，∠D=30，AB=2，所以，DB=4，所以，圓的半徑為2cm，因此，選B2、求圓的直徑例4、如圖，已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD⊥BC于D點，且AC=5，DC=3，AB=，則⊙O的直徑等于 解析：這是一道值得探討的好題好在結(jié)論的獲得有著不同的途徑，也就是說，它是一道一題多解的命題下面我們就介紹一種解法如下：解：過點A作圓的直徑AE，交圓O于點E，連接BE，如圖4，所示，在Rt直角三角形ADC 中，根據(jù)勾股定理，得：，所以，AD=4，又因為，AE是圓的直徑，所以∠ABE=90，所以，∠ABE=∠ADC，又因為，∠C=∠E，所以，△ABE∽△ADC，所以，AB：AD=AE：AC，所以，AE==5，所以圓O的直徑為5。

例5、小明要用圓心角為120，半徑是27cm的扇形紙片(如圖)圍成一個圓錐形紙帽，做成后這個紙帽的底面直徑為____________cm．(不計接縫部分，材料不剩余)解析：這是一道圓錐側(cè)面展開問題解決問題的關(guān)鍵：圓錐底面圓的周長等于側(cè)面展開后扇形的弧長這樣，就建立起等式設(shè)圓錐底面圓的直徑為xcm，扇形的弧長為L ，所以，圓錐底面圓的周長為：πxcm，扇形的弧長為：L=cm ，根據(jù)題意得：πx=18π，解得：x=18，所以，紙帽的底面直徑為18cm3、 求圓中弦長例6、如圖6，以為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦是小圓的切線．若大圓半徑為，小圓半徑為，則弦的長為 ．解析：因為大圓的弦是小圓的切線，不妨設(shè)切點為D，如圖7，連接 OD，根據(jù)切線的性質(zhì)，得：OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理，得：AD=DB=，連接OA ，則OA=10，OD =6，在Rt直角三角形AOD 中，根據(jù)勾股定理，得：，所以，AD=8，所以，弦AB=2AD=16（cm）例7、如圖8，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=120，AB=AC，BD為 ⊙O的直徑，AD=6，則BC＝ 解析：因為BD為 ⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理，得：∠C=∠D，∠DAB=90。

又因為，∠BAC=120，AB=AC，所以，∠C=∠CBA=∠D=30，∠DBA=60，所以，∠DBC=30在Rt直角三角形ABD 中，得：cos30=， 又AD=6，所以，BD=4， 如圖8，連接DC，則∠BCD=90，在Rt直角三角形BCD 中，∠DBC=30，BD=4，得：cos30=，BC=4=64、求切線的長例8、如圖9，是⊙O的兩條切線，切點分別為，連結(jié)，在⊙O外作，交的延長線于點．如果⊙O的半徑為3，，試求切線的長；解：切⊙O于點，， 在中，，，由勾股定理，得5、求圓心的坐標(biāo)例9、如圖10，⊙M與軸相交于點，，與軸相切于點，則圓心的坐標(biāo)是 ．解析：如圖11，連接MC，因為，點是切點，所以，MC⊥y軸，也就是說MC的長度就是圓心M的橫坐標(biāo)，過圓心M作MD⊥AB，垂足為D，也就是說MD的長度就是圓心M的縱坐標(biāo)，因為，⊙M與軸相交于點，，與軸相切于點，所以，OA=2，OB=8，AB=6，根據(jù)切割線定理，得：，所以，OC=4，又AB=6，MD⊥AB，根據(jù)垂徑定理，得：AD=DB=3，所以，OD=OA+AD=3+2=5， 所以，MC= OD=5，MD=OC=4，所以，圓心M的坐標(biāo)為（5，4）。

直線與圓的位置關(guān)系例1、如圖1，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點M，過點B作BE∥CD，交AC的延長線于點E，連結(jié)BC求證：BE為⊙O的切線07山東濟寧改編)分析：被判斷的直線是BE，由于AB為⊙O的直徑，所以，直線BE已經(jīng)具備了第一個條件：經(jīng)過圓上的某一個點這樣，問題的關(guān)鍵就是證明第二個條件：AB⊥BE證明：因為AB為⊙O的直徑，所以，點B是圓上的一個點，所以，直線BE經(jīng)過了圓上的點B；因為，弦CD⊥AB于點M，所以，∠CMB=90，因為，BE∥CD，所以，∠CMB+∠EBA =180，所以，∠EBA =90，因為AB為⊙O的直徑，所以，BE為⊙O的切線例2、如圖2，已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在OC延長線上，sinB=，∠D =30求證：AD是⊙O的切線07福建福州改編）分析：被判斷的直線是AD，由于△ABC內(nèi)接于⊙O，所以，直線AD已經(jīng)具備。