【與名師對話】高考總復(fù)習(xí)北師大版數(shù)學(xué)文【配套教師文檔】增分講座四 “立體幾何”類題目的審題技巧與解題規(guī)范

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 “立體幾何”類題目的審題技巧與解題規(guī)范 [對應(yīng)學(xué)生用書P118] [技法概述] 在高考數(shù)學(xué)試題中，問題的條件以圖形的形式或?qū)l件隱含在圖形之中給出的題目較多，因此在審題時(shí)，要善于觀察圖形，洞悉圖形所隱含的特殊的關(guān)系、數(shù)值的特點(diǎn)、變化的趨勢，抓住圖形的特征，利用圖形所提供信息來解決問題。 [適用題型] 以下幾種類型常用到此審題方法： (1)立體幾何：空間多面體中的幾何特征及線面位置關(guān)系； (2)解析幾何：直線與圓、圓錐曲線中的幾何特征； (3)函數(shù)：函數(shù)圖象的判斷，由三角

2、函數(shù)圖像求解析式中圖像特征； (4)概率與統(tǒng)計(jì)：統(tǒng)計(jì)中頻率分布直方圖、莖葉圖中的信息特征． [典例]　(20xx安徽高考)(本題滿分12分)如圖，四棱錐P ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60，已知PB＝PD＝2，PA＝. (1)證明：PC⊥BD； (2)若E為PA的中點(diǎn)，求三棱錐P BCE的體積． 1．(20xx南通模擬)已知正方體ABCDA1B1C1D1，AA1＝2，E為棱CC1的中點(diǎn)． (1)求證：AC1∥平面B1DE； (2)求三棱錐ABDE的體積． 解：(1)證明：取BB1的中點(diǎn)F，連接AF

3、，CF，EF. ∵E，F(xiàn)分別是CC1，BB1的中點(diǎn)， ∴CE綊B1F. ∴四邊形B1FCE是平行四邊形． ∴CF∥B1E. ∵E，F(xiàn)是CC1，BB1的中點(diǎn)， ∴EF綊BC，又BC綊AD， ∴EF綊AD. ∴四邊形ADEF是平行四邊形．∴AF∥ED. ∵AF∩CF＝F，B1E∩ED＝E， ∴平面ACF∥平面B1DE. 又AC平面ACF， ∴AC∥平面B1DE. (2)由條件得S△ABD＝ABAD＝2. ∴VABDE＝VEABD＝S△ABDEC ＝21＝， 即三棱錐ABDE的體積為. 2．如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，△ABC為正三角形，D，E分別

4、是BC，CA的中點(diǎn)． (1)證明：平面PBE⊥平面PAC； (2)在BC上找一點(diǎn)F，使AD∥平面PEF，并說明理由． 解：(1)證明：∵PA⊥平面ABC，BE?平面ABC， ∴PA⊥BE. ∵△ABC為正三角形，E是CA的中點(diǎn)，∴BE⊥AC. 又∵PA，AC?平面PAC， PA∩CA＝A， ∴BE⊥平面PAC. ∵BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC. (2)取F為CD的中點(diǎn)，連接EF. ∵E，F(xiàn)分別為AC，CD的中點(diǎn)， ∴EF是△ACD的中位線， ∴EF∥AD.又∵EF?平面PEF， AD?平面PEF， ∴AD∥平面PEF. 3．如圖是某直三棱柱(側(cè)棱與

5、底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖的左視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)．左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示． (1)求出該幾何體的體積； (2)求證：EM∥平面ABC； (3)試問在棱DC上是否存在點(diǎn)N，使NM⊥平面BDE？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請說明理由． 解：由題意，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC， AE∥DC，AE＝2， DC＝4，AB⊥AC，且AB＝AC＝2. (1)∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，又AB⊥AC，EA∩AC＝A， ∴AB⊥平面ACDE. ∴四棱錐BACDE的高h(yuǎn)＝AB＝2，梯形ACDE的面積S＝

6、6， ∴VBACDE＝Sh＝4，即所求幾何體的體積為4. (2)證明：∵M(jìn)為DB的中點(diǎn)，取BC中點(diǎn)G，連接EM，MG，AG， ∴MG∥DC，且MG＝DC， ∴MG平行且等于AE， ∴四邊形AGME為平行四邊形， ∴EM∥AG，又AG?平面ABC，EM?平面ABC， ∴EM∥平面ABC. (3)由(2)知，EM∥AG， 又∵平面BCD⊥底面ABC，AG⊥BC， ∴AG⊥平面BCD. ∴EM⊥平面BCD，又∵EM?平面BDE， ∴平面BDE⊥平面BCD. 在平面BCD中，過M作MN⊥DB交DC于點(diǎn)N， ∴MN⊥平面BDE，點(diǎn)N即為所求的點(diǎn)， △DMN∽△DCB， ∴＝，即＝， ∴DN＝3，∴DN＝DC， ∴邊DC上存在點(diǎn)N，滿足DN＝DC時(shí)，有NM⊥平面BDE.