【人教A版】高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列章末知識(shí)整合 新人教A版必修5

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1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列章末知識(shí)整合 新人教 A 版必修 5 一、等差數(shù)列 1定義：an1and(nN*)或anan1d(nN*,n2) 2通項(xiàng)公式：ana1(n1)d(nN*) 3如果數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 anAnB(A、B是與n無關(guān)的常數(shù)),那么數(shù)列an一定是等差數(shù)列 4等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Snn（a1an）2, Snna1n（n1）2d. 5如果數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 SnAn2Bn(A、B是與n無關(guān)的常數(shù)),那么數(shù)列an一定是等差數(shù)列 6.a、b、c成等差數(shù)列anb為a、c 的等差中項(xiàng)2bac. 7在等差數(shù)列an中,anam(nm)d(nN*) 8在等差數(shù)

2、列an中,由mnpqamanapaq,若mn2paman2ap. 9.在等差數(shù)列an中,Sk,S2kSk,S3kS2k構(gòu)成等差數(shù)列2(S2kSk )Sk( S3kS2k) 10已知an 、bn為等差數(shù)列,則anc,can,anbn,ankbn(其中c為常數(shù),kN*)仍是等差數(shù)列 11已知an 為等差數(shù)列,若k1,k2,k3,kn為等差數(shù)列,則ak1,ak2,ak3,akn仍是等差數(shù)列 12.若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則設(shè)這三個(gè)數(shù)為ad,a,ad,可簡(jiǎn)化計(jì)算 13證明等差數(shù)列的兩種方法 (1)定義：an1and(nN*) (2)等差中項(xiàng) 2anan1an1(nN*,n2) 二、等比數(shù)列 1定義：an1

3、anq(nN*)或anan1q(nN*,n2) 2通項(xiàng)公式：ana1qn1(nN*) 3等比數(shù)列前n項(xiàng)和：Sna1anq1qa1（1qn）1q(q1)；Snna1(q1) 4a,b,c成等比數(shù)列b為a、c 的等比中項(xiàng)b2ac. 5在等比數(shù)列an中,anamqnm(nN*) 6在等比數(shù)列an中,由mnpqamanapaq, 若mn2pamana2p. 7.在等比數(shù)列an中,Sk,S2kSk,S3kS2k 構(gòu)成等比數(shù)列( S2kSk)2Sk(S3k S2k)(Sk0) 8已知an 、bn為等比數(shù)列,則can,anbn,anbn(其中c為不為 0 的常數(shù),kN*)仍是等比數(shù)列 9已知an 為等比數(shù)列

4、,若k1,k2,k3,kn為等差數(shù)列,則ak1,ak2,ak3,akn仍是等比數(shù)列 10若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則設(shè)這三個(gè)數(shù)為aq,a,aq,可簡(jiǎn)化計(jì)算 11證明等比數(shù)列的兩種方法 (1)利用定義：an1anq或anan1q(nN*,n2) (2)等比中項(xiàng)：a2nan1an1(nN*,n2) 三、通項(xiàng)公式的求法 數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的重要內(nèi)容之一,它把數(shù)列各項(xiàng)的性質(zhì)集于一身常用的求通項(xiàng)的方法有觀察法、公式法、累加法、累乘法、前n項(xiàng)和作差法、輔助數(shù)列法 累加法： 數(shù)列的基本形式為an1anf(n)(nN*)的解析式,而f(1)f(2)f(n)的和可求出 累乘法：數(shù)列的基本形式為an1anf(n)(n

5、N*)的解析關(guān)系,而f(1)f(2)f(n)的積可求出 前n項(xiàng)和作差法：利用anS1（n1），SnSn1（n2），能合則合 待定系數(shù)法：數(shù)列有形如an1kanb(k1)的關(guān)系,可用待定系數(shù)法求得(ant)為等比數(shù)列,再求得an. 四、特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和 利用等差、等比數(shù)列求和公式是最基本最重要的方法數(shù)列的求和除記住一些公式外,還應(yīng)注重對(duì)通項(xiàng)公式的分析與整理,根據(jù)其特征求和,常用的方法技巧有分組求和法、 倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等 分組求和法：有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,但如果將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列,那么就可以分別求和,再將其合并即可 倒序

6、相加法：這是在推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個(gè)a1an. 錯(cuò)位相減法：這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和,其中an、bn分別是等差和等比數(shù)列 裂項(xiàng)相消法： 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的 題型 1 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 (一)觀察法 就是觀察數(shù)列的特征,橫向看各項(xiàng)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu),縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù) n 的內(nèi)在聯(lián)系,從而歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式 例 1 數(shù)列 114,329,5

7、316,7425,的通項(xiàng)公式為( ) Aan(2n1)n（n1）2 Ban(2n1)n（n1）2 Can(2n1)n（n1）2 Dan4n1（n1）2 解析：114114,329329,53165316, an(2n1)n（n1）2. 答案：B (二)公式法 等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種常見且重要的數(shù)列,所謂公式法就是先分析后項(xiàng)與前項(xiàng)的差或比是否符合等差、等比數(shù)列的定義,然后用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示它 例 2 已知數(shù)列an為無窮數(shù)列,若 an1an12an(n2 且 nN*),且a24,a68,求通項(xiàng)an. 解析：an1an12an, an1,an,an1成等差數(shù)列 又n2 且nN*, 數(shù)列

8、an為等差數(shù)列,設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d. 由a24，a68，可得a13，d1， 通項(xiàng)an3(n1)1n2. (三)利用an與Sn的關(guān)系 前n項(xiàng)和關(guān)系式有兩種形式：一種是Sn與n的關(guān)系式,記為Snf(n),它可由公式anS1，n1，SnSn1，n2直接求出通項(xiàng)an,但要注意n1 與n2 兩種情況能否統(tǒng)一；另一種是Sn與an的關(guān)系式,記為f(an,Sn)0,求它的通項(xiàng)公式an. 例 3 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且an5Sn3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 解析：當(dāng)n1 時(shí),a15a13,a134, 當(dāng)n2 時(shí),an5Sn3,an15Sn13, anan15(SnSn1) 即anan15an, ana

9、n114, an是首項(xiàng)a134,公比q14的等比數(shù)列 ana1qn13414n1(nN*) (四)累加法、累乘法 有些數(shù)列,雖然不是等差數(shù)列或等比數(shù)列,但是它的后項(xiàng)與前項(xiàng)的差或商具有一定的規(guī)律性,這時(shí),可考慮利用累加或累乘法,結(jié)合等差、等比數(shù)列的知識(shí)解決 例 4 (1)已知a11,an1ann2n,求an； (2)已知數(shù)列an中,a11,anan1n(n2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 解析：(1)當(dāng)n2 時(shí),ana1a2a1a3a2anan1 1314253n1n1 n（n1）2. 而a11 也適合上式 故an的通項(xiàng)公式an12n(n1)(nN*) (2)anan1n(n2),a2a12,a3a2

10、3,a4a34,a5a45,anan1n. 將這n1 個(gè)等式兩邊分別相加得 ana123n, an123nn（n1）2(n2) 當(dāng)n1 時(shí),a11（11）21 成立 ann（n1）2(nN*) (五)構(gòu)造法 有些數(shù)列直觀上不符合以上各種形式,這時(shí),可對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)變形,以利于使用以上各類方法 形如已知a1,an1panq(p、q為常數(shù))形式均可用構(gòu)造等比數(shù)列法,即an1xp(anx),anx為等比數(shù)列,或an2an1p(an1an),an1an為等比數(shù)列 例 5 設(shè)數(shù)列an是首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列,且an1anan1an0(nN*),求an的通項(xiàng) 解析：an1anan1an0. 1an11a

11、n1. 又1a11,1an是首項(xiàng)為 1,公差為 1 的等差數(shù)列, 故1ann,an1n(nN*) 若數(shù)列an滿足a11,an112an1,求an. 分析：根據(jù)遞推公式求出前幾項(xiàng),再觀察規(guī)律,猜想通項(xiàng)公式,有時(shí)比較困難可變換遞推公式,利用構(gòu)造等差或等比數(shù)列的技巧,從而求通項(xiàng)公式 解析：方法一 an112an1, an212an11, 兩式相減得：an2an112(an1an), 令bnan1an(n1,2,3,), 則b1a2a132112,bn112bn, 數(shù)列bn是以12為首項(xiàng),12為公比的等比數(shù)列 ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) a1b1b2bn1 112112n11122

12、12n1(nN*) 方法二 設(shè)an1A12(anA), 則an112an12AA, 根據(jù)an112an1 可得：12AA1,即A2, an1212(an2) 令bnan2,則b1a121,bn112bn, 數(shù)列bn是以1 為首項(xiàng),12為公比的等比數(shù)列 bnb1qn1(1)12n1, an2bn212n1(nN*) 題型 2 數(shù)列求和的方法 數(shù)列中求前 n 項(xiàng)和是數(shù)列運(yùn)算的重要內(nèi)容,高考題中涉及此部分與通項(xiàng)的綜合問題,對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列可依據(jù)公式求其和,對(duì)于某些具有特殊結(jié)構(gòu)的非等差、等比數(shù)列可轉(zhuǎn)化為利用等差或等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式能求和的形式,常用方法有公式法、 分組法、 裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減

13、法等要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行深入研究,找出規(guī)律,確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法 例 7 等差數(shù)列an中,a13,公差 d2,Sn為前 n 項(xiàng)和,求1S11S21Sn. 解析：等差數(shù)列an的首項(xiàng) a13,公差 d2, 前 n 項(xiàng)和 Snna1n（n1）2d3nn（n1）22 n22n(nN*), 1Sn1n22n1n（n2）121n1n2, 1S11S21Sn 12(1 13) (1214) (1315) (1n11n1) (1n1n2) 342n32（n1）（n2）. 例 8 設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1ann3(nN*) (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)； (2)設(shè)bnnan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn. 解析：(1

14、)a13a232a33n1ann3, 當(dāng)n2 時(shí),a13a232a33n2an1n13, 由得 3n1an13,an13n, 在中,令n1,得a113, 數(shù)列an的通項(xiàng)公式an13n(nN*) (2)bnnann3n, Sn3232333n3n, 3Sn32233334n3n1. 由得 2Snn3n1(332333n) n3n13（13n）13, Sn（2n1）3n1434. 題型 3 數(shù)列的應(yīng)用問題 例 9 (2013廣東卷)設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.已知 a11,2Snnan113n2n23,nN*. (1)求a2的值； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 (3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n,有1

15、a11a21an74. (1)解析：依題意,2S1a213123,又S1a11,所以a24. (2)解析：當(dāng)n2 時(shí),2Snnan113n3n223n, 2Sn1(n1)an13(n1)3(n1)223(n1), 兩式相減得 2annan1(n1)an13(3n23n1)(2n1)23, 整理得(n1)annan1n(n1),即an1n1ann1,又a22a111, 故數(shù)列ann是首項(xiàng)為a111,公差為 1 的等差數(shù)列,所以ann1(n1)1n,當(dāng)n1 時(shí),上式顯然成立 所以ann2(nN*) (3)證明：當(dāng)n1 時(shí),1a1174； 當(dāng)n2 時(shí),1a11a21145474； 當(dāng)n3 時(shí),1an

16、1n21（n1）n1n11n, 此時(shí),1a11a21an1141321421n2114121313141n11n114121n741n74, 綜上,對(duì)一切正整數(shù)n,有1a11a21an74. 例 10 夏季高山上的溫度從山腳起,每升高 100 m,降低 0.7 ,已知山頂處的溫度是14.8 ,山腳處的溫度是 26 ,問此山相對(duì)于山腳處的高度是多少？ 解析：每升高 100 m 溫度降低 0.7 , 該處溫度的變化是一個(gè)等差數(shù)列問題 設(shè)山腳溫度為首項(xiàng)a126,山頂溫度為末項(xiàng)an14.8, 26(n1)(0.7)14.8,解得n17. 此山的高度為(171)1001 600(m) 故此山相對(duì)于山腳處的高度是 1 600 m.