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1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形章末知識整合 新人教A版必修5一、本章的中心內(nèi)容如何解三角形正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落實在解三角形的應(yīng)用上通過本章的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)達到以下學(xué)習(xí)目標(biāo):1通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題2能夠熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際生活問題3本章的兩個主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理,它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論在初中,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性知識,就是“在任意三角形中有大邊對大角,小邊對小角”,“如果已知兩個三角形的兩條對應(yīng)
2、邊及其所夾的角相等,那么這兩個三角形全等”4在此內(nèi)容之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系密切的內(nèi)容,對于余弦定理的證明,常用的方法是借助于三角的方法,需要對三角形進行討論,方法不夠簡潔,用了向量的方法,發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力5勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系,余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系,如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是直角;如果小于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是鈍角;如果大于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是銳角從上可知,余弦定理是勾股定理的推廣二、學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的應(yīng)用數(shù)學(xué)能把實際問題
3、抽象成數(shù)學(xué)問題,把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際問題中去,通過觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題,確定解決問題的科學(xué)思維方法,學(xué)會把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際1正弦定理可建立邊角關(guān)系,角的正弦越大所對的邊就越長2由正弦值得出角的大小時特別要注意是一個解還是兩個解一般地,解三角形時,只有當(dāng)A為銳角且bsin Aab時,有兩解;其他情況時則只有一解或無解3利用正弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題(1)已知兩角和任一邊,求其他兩邊和一角(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角4把aksin A,bksin B代入已知等式可將邊角關(guān)系全部轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系5余弦定理是三角形邊角之間的共同
4、規(guī)律,勾股定理是余弦定理的特例6余弦定理的應(yīng)用范圍是:已知三邊,求三角;已知兩邊及一個內(nèi)角,求第三邊7解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)分析:理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖(2)建模:根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解(4)檢驗:檢驗上述所求的解是否有實際意義,從而得出實際問題的解8平面上兩點的距離測量問題一般有如下幾類情況:(1)A、B兩點都在河的兩岸,一點可到達,另一點不可到達方法是可到達一側(cè)再找一點進行測量(2)A、B兩點都在河的對岸(不可到達)方法是在可到
5、達一側(cè)找兩點進行測量(3)A、B兩點不可到達(如隔著一座山或建筑)方法是找一點可同時到達A、B兩點進行測量9利用正弦定理和余弦定理來解高度問題時,要學(xué)會審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素,進行適當(dāng)?shù)暮喕?0測量高度的一般方法是選擇能觀察到測量物體的兩點,分別測量仰角或俯角,同時測量出兩個觀測點的距離,再利用解三角形的方法進行計算11求三角形的面積的問題,先觀察已知什么,尚缺什么,用正弦定理、余弦定理求出需要的元素,就可以求出三角形的面積12利用正弦定理、余弦定理、面積公式將已知條件轉(zhuǎn)化為方程組是解決復(fù)雜問題的常見思路,將方程化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)
6、式,然后化簡并考察邊或角的關(guān)系題型1利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三個獨立元素(至少一條邊)求出其他元素的過程,三角形中的元素有基本元素(邊和角)和非基本元素(中線、高、角平分線、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑),解三角形通常是指求未知的元素,有時也求三角形的面積解斜三角形包括四種類型:已知三角形的兩角和一邊(一般先用內(nèi)角和求角或用正弦定理求邊);已知兩邊及夾角(一般先用余弦定理求第三邊);已知三邊(先用余弦定理求角);已知兩邊和一邊的對角(先用正弦定理求另一邊的對角或先用余弦定理求第三邊,注意討論解的個數(shù))例1 在ABC中,c4,b7,BC邊上的中線AD長為,求a.解析:如圖,設(shè)
7、CDDBx,在ACD中,cos C,在ACB中,cos C,所以.解得x.所以a2x29.例2 如圖,四邊形ABCD中,BC120,AB4,BCCD2,則該四邊形的面積等于_解析:由余弦定理得BD22222222cos 12012,BD2.BCCD2,C120,CBD30,ABD90,S四邊形ABCDSABDSBCD42sin 9022sin 1205.答案:5題型2利用正、余弦定理判定三角形的形狀判定三角形形狀通常有兩種途徑:一是通過正弦定理和余弦定理化邊為角,如a2Rsin A,a2b2c22abcos C等,再利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷,此時注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)
8、的內(nèi)角關(guān)系,如sin Asin BAB,sin(AB)0AB,sin 2Asin 2BAB或AB等;二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊,如sin A,cos A等,通過代數(shù)恒等變換,求出三條邊之間的關(guān)系進行判斷例3在ABC中,若B60,2bac,試判斷ABC的形狀解析:方法一由正弦定理可得2sin Bsin Asin C,B60,AC120,A120C,將其代入上式,得2sin 60sin(120C)sin C,展開整理,得sin Ccos C1,sin(C30)1,C3090.C60,故A60,ABC是正三角形方法二由余弦定理可得b2a2c22accos B,B60,b,a2c22accos
9、 60.(ac)20,ac,abc,ABC為正三角形題型3三角形解的個數(shù)的確定(1)利用正弦定理討論:若已知a,b,A,由正弦定理,得sin B.若sin B1,則無解;若sin B1,則有一解;若sin B1,則可能有兩解(2)利用余弦定理討論:已知a,b,A,由余弦定理a2c2b22cbcos A,即c2(2bcos A)cb2a20.若方程無解或無正數(shù)解,則三角形無解;若方程有唯一正數(shù)解,則三角形有一解;若方程有兩個不同正數(shù)解,則三角形有兩解例4 在ABC中,若a2,A30,則b為何值時,三角形有一解,兩解,無解?解析:由正弦定理得:當(dāng)bsin Aab時,有兩解,此時2b4;當(dāng)ab時或B為90(b為斜邊)時,有一解,此時b2或b4;當(dāng)absin A時無解,此時b4.題型4正、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用例5 如圖,為了解某海域海底構(gòu)造,在海平面內(nèi)一條直線上的A,B,C三點進行測量,已知AB50 m,BC120 m,于A處測得水深A(yù)D80 m,于B處測得水深BE200 m,于C處測得水深CF110 m,求DEF的余弦值解析:如下圖,作DMAC交BE于N,交CF于M,DF10,DE130,EF150.在DEF中,由余弦定理得:cosDEF.