高三數(shù)學(xué)文高考總復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測(cè) 四十　空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 Word版含解析

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時(shí)跟蹤檢測(cè) (四十)　空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．“點(diǎn)P在直線m上，m在平面α內(nèi)”可表示為(　　)A．P∈m，m∈α　　　　　　 B．P∈m，m?αC．P?m，m∈α D．P?m，m?α解析：選B　點(diǎn)在直線上用“∈”，直線在平面上用“?”，故選B．2．(20xx廣東高考)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　)A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交解析：選D　由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．3．空間四邊形兩對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8，所成的角為45，連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是(　　)A．6 B．12C．12 D．24解析：選A　如圖，已知空間四邊形ABCD，設(shè)對(duì)角線AC＝6，BD＝8，易證四邊形EFGH為平行四邊形，∠EFG或∠FGH為AC與BD所成的45角，故S四邊形EFGH＝34sin 45＝6，故選A．4．若平面α，β相交，在α，β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定________個(gè)平面．解析：如果這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么確定一個(gè)平面；如果這四點(diǎn)不共面，則任意三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，所以可確定四個(gè)．答案：1或45．如圖，平行六面體ABCD A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱有________條．解析：依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行有棱AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1．故符合條件的有5條．答案：5二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的(　　)A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A　若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．2．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是(　　)A．相交 B．異面C．平行 D．垂直解析：選A　由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，從而四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，則A1B與EF相交．3．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(　　)①如果兩個(gè)平面有三個(gè)不在一條直線上的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；②兩條直線可以確定一個(gè)平面；③空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l．A．1 B．2C．3 D．4解析：選B　根據(jù)公理2，可判斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故②是假命題；在空間，相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定共面(如墻角)，故③是假命題；根據(jù)平面的性質(zhì)可知④是真命題．綜上，真命題的個(gè)數(shù)為2．4．如圖，ABCD A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．A，M，O三點(diǎn)共線 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面解析：選A　連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四點(diǎn)共面，所以A1C?平面ACC1A1，因?yàn)镸∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點(diǎn)共線．5．已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1C1的中點(diǎn)，則異面直線AE和CF所成的角的余弦值為(　　)A． B．C． D．解析：選C　如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，取線段AB的中點(diǎn)M，連接CM，MF，EF．則MF綊AE，所以∠CFM即為所求角或所求角的補(bǔ)角．在△CFM中，MF＝CM＝a，CF＝a，根據(jù)余弦定理可得cos∠CFM＝，所以可得異面直線AE與CF所成的角的余弦值為．故選C．6．如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對(duì)數(shù)為_(kāi)_______對(duì)．解析：平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對(duì)．答案：37．(20xx福建六校聯(lián)考)設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線．上述命題中正確的命題是_______(寫出所有正確命題的序號(hào))．解析：由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故②錯(cuò)；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯(cuò)；a?α，b?β，并不能說(shuō)明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，故④錯(cuò)．答案：①8．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_(kāi)_______．解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD，因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為．答案：9．如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)．問(wèn)：(1)AM與CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；(2)D1B與CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由．解：(1)AM與CN不是異面直線．理由如下：如圖，連接MN，A1C1，AC．因?yàn)镸，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥A1C1．又因?yàn)锳1A綊C1C，所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線．(2)D1B與CC1是異面直線．理由如下：因?yàn)锳BCDA1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面．假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，所以D1，B，C，C1∈α，這與B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線．10．如圖所示，在三棱錐P ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝90，AB＝2，AC＝2，PA＝2．求：(1)三棱錐P ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝22＝2，故三棱錐P ABC的體積為V＝S△ABCPA＝22＝．(2)如圖所示，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則DE∥BC，所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，則cos∠ADE＝＝＝．即異面直線BC與AD所成角的余弦值為．三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．如圖是三棱錐DABC的三視圖，點(diǎn)O在三個(gè)視圖中都是所在邊的中點(diǎn)，則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于(　　)A． B．C． D．解析：選A　由三視圖及題意得如圖所示的直觀圖，從A出發(fā)的三條線段AB，AC，AD兩兩垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中點(diǎn)，取AC中點(diǎn)E，連接DE，DO，OE，則OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即為所求兩異面直線所成的角或其補(bǔ)角．在直角三角形DAE中，DE＝，由于O是中點(diǎn)，在直角三角形ABC中可以求得AO＝，在直角三角形DAO中可以求得DO＝．在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝＝，故所求余弦值為．2．如圖所示，三棱柱ABC A1B1C1，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC＝2FB＝2．(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，BM∥平面AEF?(2)若BM∥平面AEF，判斷BM與EF的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；并求BM與EF所成的角的余弦值．解：(1)法一：如圖所示，取AE的中點(diǎn)O，連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M．因?yàn)閭?cè)棱A1A⊥底面ABC，所以側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC．又因?yàn)镋C＝2FB＝2，所以O(shè)M∥FB∥EC且OM＝EC＝FB，所以四邊形OMBF為矩形，BM∥OF．因?yàn)镺F?平面AEF，BM?平面AEF，故BM∥平面AEF，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．法二：如圖所示，取EC的中點(diǎn)P，AC的中點(diǎn)Q，連接PQ，PB，BQ．因?yàn)镋C＝2FB＝2，所以PE綊BF，所以PQ∥AE，PB∥EF，所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，因?yàn)镻B∩PQ＝P，PB，PQ ?平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF．又因?yàn)锽Q?平面PBQ，所以BQ∥平面AEF．故點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．(2)由(1)知，BM與EF異面，∠OFE(或∠MBP)就是異面直線BM與EF所成的角或其補(bǔ)角．易求AF＝EF＝，MB＝OF＝，OF⊥AE，所以cos∠OFE＝＝＝，所以BM與EF所成的角的余弦值為．。