高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第8章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程學案 理 北師大版

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第一節(jié)　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的三種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關系． (對應學生用書第130頁) [基礎知識填充] 1．直線的傾斜角 (1)定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉到和直線

2、l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角，當直線l和x軸平行時，它的傾斜角為0. (2)傾斜角的范圍是[0，π)． 2．直線的斜率 (1)定義：當α≠90時，一條直線的傾斜角α的正切值叫作這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是90的直線斜率不存在． (2)過兩點的直線的斜率公式 經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝. 3．直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點式 ＝ 不含直線x＝x1(x1

3、≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面內所有直線都適用 [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．(　　) (2)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(　　) (3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (4)過定點P0(x0，y0)的直線都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　) (5)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(

4、y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) [答案]　(1)√　(2)　(3)　(4)　(5)√ 2．直線x－y＋a＝0的傾斜角為(　　) A．30　　　　　　 B．60 C．150 D．120 B　[設直線的傾斜角為α，則tan α＝， ∵α∈[0，π)，∴α＝.] 3．過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為(　　) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 A　[由題意知＝1(m≠－2)，解得m＝1.] 4．(教材改編)直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實數(shù)a＝________. 1或－2　[令x＝

5、0，則l在y軸上的截距為2＋a；令y＝0，得直線l在x軸上的截距為1＋. 依題意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.] 5．過點M(3，－4)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為________． 4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0　[若直線過原點，則k＝－，所以y＝－x，即4x＋3y＝0. 若直線不過原點，設＋＝1，即x＋y＝a，則a＝3＋(－4)＝－1，所以直線方程為x＋y＋1＝0.] (對應學生用書第130頁) 直線的傾斜角與斜率 　(1)直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的范圍是(　　) A．[0，π)　　 B.∪ C． D.∪ (2)若直線l

6、過點P(－3,2)，且與以A(－2，－3)，B(3,0)為端點的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是________． (1)B　(2)　[(1)設直線的傾斜角為θ，則有tan θ＝－sin α，又sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π. (2)因為P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)， 則kPA＝＝－5， kPB＝＝－. 如圖所示，當直線l與線段AB相交時，直線l的斜率的取值范圍為.] [規(guī)律方法]　1.傾斜角α與斜率k的關系 (1)當α∈時，k∈[0，＋∞). (2)當α＝時，斜率k不存在. (3)當α∈時，k∈(－∞，0). 2

7、.斜率的兩種求法 (1)定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tan α求斜率. (2)公式法：若已知直線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率. 3.傾斜角α范圍與直線斜率范圍互求時，要充分利用y＝tan α的單調性. [跟蹤訓練]　(1)(20xx九江一中)若平面內三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝(　　) A．1或0 B.或0 C． D.或0 (2)直線l經(jīng)過A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)兩點，則直線l的傾斜角α的取值范圍是________． (1)A　(2)

8、　[(1)∵平面內三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，∴kAB＝kAC， 即＝，即a(a2－2a－1)＝0， 解得a＝0或a＝1.故選A． (2)直線l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1. 又y＝tan α在上是增函數(shù)，因此≤α＜.] 求直線方程 　根據(jù)所給條件求直線的方程： (1)直線過點(－4,0)，傾斜角的正弦值為； (2)直線過點(－3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12. 【導學號：79140262】 [解]　(1)由題設知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式． 設傾斜角為α，則sin α＝(0≤α＜π)， 從而c

9、os α＝，則k＝tan α＝. 故所求直線方程為y＝(x＋4)． 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)由題設知縱橫截距不為0，設直線方程為＋＝1，又直線過點(－3,4)， 從而＋＝1，解得a＝－4或a＝9. 故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. [規(guī)律方法]　求直線方程應注意以下三點 (1)在求直線方程時，應選擇適當?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件. (2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應判斷截距是否為零). (3)截距可正、可負、可為0，因此在解與截距有關的問題時，一

10、定要注意“截距為0”的情況，以防漏解. [跟蹤訓練]　求適合下列條件的直線方程： (1)過點P(2,3)，并且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)； (2)過點A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍． [解]　(1)當直線過原點時，方程為y＝x，即3x－2y＝0. 當直線l不過原點時，設直線方程為－＝1. 將P(2,3)代入方程，得a＝－1， 所以直線l的方程為x－y＋1＝0. 綜上，所求直線l的方程為3x－2y＝0或x－y＋1＝0. (2)設直線y＝3x的傾斜角為α， 則所求直線的傾斜角為2α. 因為tan α＝3， 所以tan 2α＝＝－. 又直線經(jīng)過點A

11、(－1，－3)， 因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0. 直線方程的綜合應用 　過點P(4,1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點，O為坐標原點． (1)當△AOB面積最小時，求直線l的方程； (2)當|OA|＋|OB|取最小值時，求直線l的方程． [解]　設直線l：＋＝1(a＞0，b＞0)， 因為直線l經(jīng)過點P(4,1)， 所以＋＝1. (1)＋＝1≥2＝， 所以ab≥16，當且僅當a＝8，b＝2時等號成立， 所以當a＝8，b＝2時，△AOB的面積最小， 此時直線l的方程為＋＝1， 即x＋4y－8＝0. (2)因為＋＝

12、1，a＞0，b＞0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當a＝6，b＝3時等號成立， 所以當|OA|＋|OB|取最小值時，直線l的方程為＋＝1，即x＋2y－6＝0. [規(guī)律方法]　與直線方程有關問題的常見類型及解題策略 (1)求解與直線方程有關的最值問題.先設出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式求解最值. (2)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，即能夠看出“動中有定”. (3)求參數(shù)值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數(shù)的單調性或基本不等式求解. [跟蹤訓練]　已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當0＜a＜2時，直線l1，l2與兩坐標軸正半軸圍成一個四邊形，則當a為何值時，四邊形的面積最?。? 【導學號：79140263】 [解]　由得x＝y(tǒng)＝2， ∴直線l1與l2交于點A(2,2)(如圖)． 易知|OB|＝a2＋2，|OC|＝2－a， 則S四邊形OBAC＝S△AOB＋S△AOC＝2(a2＋2)＋2(2－a)＝a2－a＋4＝2＋，a∈(0,2)， ∴當a＝時，四邊形OBAC的面積最?。?