高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線學(xué)案 理 北師大版

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第七節(jié)　雙曲線 [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第144頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．雙曲線的定義 (1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，

2、兩焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. ①當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線； ②當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線； ③當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在． 2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(

3、－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) 實(shí)虛軸 線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；a叫作雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫作雙曲線的虛半軸長(zhǎng) a、b、c 的關(guān)系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) [知識(shí)拓展] 1．三種常見雙曲線方程的設(shè)法 (1)若已知雙曲線過(guò)兩點(diǎn)，焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)． (2)當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程bx

4、±ay＝0，求雙曲線方程時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)． (3)與雙曲線－＝1有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)． 2．等軸雙曲線 實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫作等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝. [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．(　　) (3)雙曲線－＝λ(m>0，n>0，

5、λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.(　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝(　　) A．2　　　　　B．　　　 　　C．　　　　　D．1 D　[依題意，e＝＝＝2，所以＝2a，則a2＝1，a＝1.] 3．若雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 B　[由題意知a＝3，b＝4，∴c＝5.

6、由雙曲線的定義||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.] 4．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為(　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 A　[由題意可得解得a＝2，則b＝1，所以雙曲線的方程為－y2＝1，故選A．] 5．(20xx·全國(guó)卷Ⅲ)雙曲線－＝1(a＞0)的一條漸近線方程為y＝x，則a＝________. 5　[∵雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0)， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 又雙曲線的一條漸近線方程

7、為y＝x，∴a＝5.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第145頁(yè)) 雙曲線的定義及應(yīng)用 　(1)已知雙曲線x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)．若|PF1|＝|PF2|，則△F1PF2的面積為(　　) A．48　　　　　　 B．24 C．12 D．6 (2)(20xx·湖北武漢調(diào)研)若雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,4)，則|PF|＋|PA|的最小值是(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 (1)B　(2)B　[(1)由雙曲線的定義可得 |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， 解得|PF2|＝6，故|P

8、F1|＝8，又|F1F2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形， 因此S＝|PF1|·|PF2|＝24. (2)由題意知，雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線且P在A，B之間時(shí)取等號(hào)． 所以|PF|＋|PA|的最小值為9.] [規(guī)律方法]　1.應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問(wèn)題 在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于

9、兩定點(diǎn)間的距離”.若定義中的“絕對(duì)值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支.同時(shí)需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用. 2.在焦點(diǎn)三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立與|PF1|·|PF2|間的聯(lián)系. [跟蹤訓(xùn)練]　已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140294】 A． B． C． D． A　[由e＝＝2得c＝2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|－|F2A|＝2a. 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a， |F2A|＝2a，∴

10、cos∠AF2F1＝＝.] 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 　(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　) A．－＝1　　 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (2)(20xx·湖北調(diào)考)已知點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．x2－＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D．x2－y2＝1 (1)B　(2)D　[(1)由

11、y＝x可得＝. ① 由橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(3,0)，(－3,0)， 可得a2＋b2＝9. ② 由①②可得a2＝4，b2＝5. 所以C的方程為－＝1. 故選B． (2)由題意知a＝1.不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，則由題意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則|BN|＝1，|MN|＝，所以M(2，)，代入雙曲線方程得4－＝1，解得b＝1，所以雙曲線的方程為x2－y2＝1，故選D．] [規(guī)律方法]　求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法 (1)定義法：由條件判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程. (2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如

12、果不能確定焦點(diǎn)的位置，應(yīng)注意分類討論或恰當(dāng)設(shè)置簡(jiǎn)化討論. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點(diǎn)為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (2)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________． (1)C　(2)－＝1　[由焦點(diǎn)F2(5,0)知c＝5. 又e＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝9. 所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (2)由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5

13、,0)，設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P，則||PF1|－|PF2||＝8. 由雙曲線的定義知：a＝4，b＝3. 故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，即－＝1.] 雙曲線的幾何性質(zhì) ◎角度1　雙曲線的離心率問(wèn)題 　(20xx·長(zhǎng)沙模擬(二))已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝相切，則該雙曲線的離心率為(　　) A． B． C． D．3 A　[由雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線y＝x，即bx－ay＝0與圓相切得＝＝，即c＝b，則c2＝3b2＝3(c2－a2)，化簡(jiǎn)得c＝a，則該雙曲線的離心率為e＝＝＝，故選A．] ◎角度2　雙曲線的

14、漸近線問(wèn)題 　(20xx·合肥二檢)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為________． y＝±x　[因?yàn)閑＝＝，所以c2＝a2＋b2＝3a2，故b＝a，則此雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.] ◎角度3　雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用 　(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為(　　) A． B． C． D． D　[因?yàn)镕是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，所以F(2,0)． 因?yàn)镻F⊥x軸，所以可設(shè)P

15、的坐標(biāo)為(2，yP)． 因?yàn)镻是C上一點(diǎn)，所以4－＝1，解得yP＝±3， 所以P(2，±3)，|PF|＝3. 又因?yàn)锳(1,3)，所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1， 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝. 故選D．] [規(guī)律方法]　與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題策略 (1)求雙曲線的離心率(或范圍).依據(jù)題設(shè)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得. (2)求雙曲線的漸近線方程.依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(2

16、0xx·全國(guó)卷Ⅱ)若a>1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2) (2)(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) (3)(20xx·武漢調(diào)研)雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，則C的實(shí)軸長(zhǎng)等于________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140295】 (1)C　(2)A　(3)8　[(1)由題意得雙曲線的離心率e＝. ∴e2＝＝1＋. ∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2， ∴1＜e＜. 故選C． (2)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則 又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴ ∴－1<n<3. 若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 －＝1，即 即n>3m2且n<－m2，此時(shí)n不存在．故選A． (3)因?yàn)閑＝＝，所以c＝a，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，即ax－by＝0，焦點(diǎn)為(0，c)，所以＝b＝3，所以a＝＝，所以a2＝16，即a＝4，故2a＝8.]