高考數(shù)學備考沖刺之易錯點點睛系列專題 數(shù)列教師版

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1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.520xx年高考數(shù)學備考沖刺之易錯點點睛系列三 數(shù)列 教師版一、高考預測數(shù)列是歷年高考的重點與難點，以等差數(shù)列與等比數(shù)列為基礎考查數(shù)列的性質及前n項和的問題是數(shù)列中的中低檔難度問題，一般只要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列及其前n項和的性質即可正確得出結果.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中階段學習的兩種最基本的數(shù)列，也是高考中經?？疾椴⑶抑攸c考查的內容之一，這類問題多從數(shù)列的本質入手，考查這兩種基本數(shù)列的概念、基本性質、簡單運算、通項公式、求和公式等本講內容在高考中多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題解題時應從基礎處著筆，首先要熟練掌握這兩種基本數(shù)列的相關性質及公式，然后要

2、熟悉它們的變形使用，善用技巧，減少運算量，既準又快地解決問題.除此以外，數(shù)列與其他知識的綜合考查也是高考中?？嫉膬热?，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它能與很多知識進行綜合，如方程、函數(shù)、不等式、極限，數(shù)學歸納法（理）等為主要綜合對象，概率、向量、解析幾何等為點綴.數(shù)列與其他知識的綜合問題在高考中大多屬于中高檔難度問題.數(shù)列是新課程的必修內容，從課程定位上說，其考查難度不應該太大，數(shù)列試題傾向考查基礎是基本方向從課標區(qū)的高考試題看，試卷中的數(shù)列試題最多是一道選擇題或者填空題，一道解答題由此我們可以預測20xx年的高考中，數(shù)列試題會以考查基本問題為主，在數(shù)列的解答題中可能會出現(xiàn)與不等式的綜合、與函數(shù)導數(shù)的

3、綜合等，但難度會得到控制二、知識導學要點1：有關等差數(shù)列的基本問題1涉及等差數(shù)列的有關問題往往用等差數(shù)列的通項公式和求和公式“知三求二”解決問題；2等差數(shù)列前n項和的最值問題，經常轉化為二次函數(shù)的最值問題；有時利用數(shù)列的單調性（d0,遞增；d0，遞減）；3證明數(shù)列為等差數(shù)列有如下方法：定義法；證明（與n值無關的常數(shù)）；等差中項法：證明。要點2：有關等比數(shù)列的基本問題1證明數(shù)列為等比數(shù)列有如下方法：定義法：證明。等比中項法：。2求一般數(shù)列通項公式時常用構造數(shù)列法、待定系數(shù)法等。要點向3：等差、等比數(shù)列綜合問題1.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質

4、，可使運算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉化為等差、等比數(shù)列求解。2數(shù)列求通項的常見類型與方法：公式法、由遞推公式求通項，由求通項，累加法、累乘法等3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組法、倒序相加法等。4解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略要點4：可轉化為等差、等比數(shù)列的求和問題某些遞推數(shù)列可轉化為等差、等比數(shù)列解決，其轉化途徑有：1湊配、消項變換如將遞推公式（為常數(shù)，0，1）。通過湊配變成；或消常數(shù)轉化為2取倒數(shù)法如將遞推公式遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關系有令則可歸為型。3對數(shù)變換如

5、將遞推公式取對數(shù)得4換元變換（其中p，q均為常數(shù)，（或,其中p，q, r均為常數(shù)）。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：則轉化為的形式。要點5：數(shù)列求和的常用方法：1、直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注意對公比的討論.2、錯位相減法：主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導過程的推廣.3、分組轉化法：把數(shù)列的每一項分成兩項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.4、裂項相消法：主要用于通項為分式的形式，通項拆成兩項之差求和，正負項相消剩下首尾若干項，注意一般情況下剩下正負項個數(shù)相同.5、倒序相加法：把數(shù)列正著寫和倒

6、著寫相加(即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣).三、易錯點點睛命題角度1 數(shù)列的概念1已知數(shù)列an滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,(n2)，則an的通項an=_. 考場錯解 an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2，兩式相減得an-an-1=(n-1)an-1，an=nan-1.由此類推： an-1=(n-1)an-2，a2=2a1，由疊乘法可得an= 專家把脈 在求數(shù)列的通項公式時向前遞推一項時應考慮n的范圍當n=1時，a1=與已知a1=1，矛盾 對癥下藥 n2時，an=a1+2a2+3a3+(n-1)a

7、n-1 當n3時，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2 -得 an-an-1=(n-1)an-1當n3時，=n，an=n43a2=a2，a2=a1=1當n2時，an= . 當n=1時，a1=1故an= 2設數(shù)列an的前n項和為Sn,Sn=(對于所有n1)，且a4=54，則a1的數(shù)值是_.考場錯解Sn=,此數(shù)列是等比數(shù)列，首項是a1，公比是3，由a4=a134-1，a1=2 專家把脈 此題不知數(shù)列an的類型，并不能套用等比數(shù)列的公式而答案一致是巧合對癥下藥a4=S4-S3=(34-1)-(33-1)=54，解得a1=2 3.已知數(shù)列an滿足a1=1，an=3n-1+an-1(n2)

8、 (1)求a2，a3； (2)求通項an的表達式考場錯解 (1)a1=1，a2=3+1=4，a3=32+4=13 (2)由已知an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1 即an成等差數(shù)列，公差d=3n-1故an=1+(n-1)3n-1 專家把脈 (2)問中an-an-1=3n-1，3n-1不是常數(shù)，它是一個變量，故不符合等差數(shù)列的定義 對癥下藥 (1)a1=1，a2=4，a3=32+4=13(2)由已知an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=. 4等差數(shù)列an中，a1+a2+a3=-24，a18+

9、a19+a20=78，則此數(shù)列前20項和等于 ( ) A.160 B180 C. 200 D220 考場錯解 由通項公式an=a1+(n+1)d.將a2,a3，a18，a19，a20都表示成a1和d.求a1、d，再利用等差數(shù)列求和，選C 專家把脈 此方法同樣可求得解但解法大繁，花費時間多，計算量大故而出錯，應運用數(shù)列的性質求解就簡易得多對癥下藥 B 由公式m+n=2Pam+an=2ap?(只適用等差數(shù)列)即可求解由a1+a2+a3=-24，可得：3a2=-24 由a18+a19+a20=78，可得：3a19=78 即 a2=-8，a19=26又S20=10(a2+a19)=180 2若an是等

10、差數(shù)列，首項a10，a2003+a20040，a2003a20040，則使前n項和Sn0成立的最大自然數(shù)n是 ( ) A.4005 B4006 C.4007 D.4008 考場錯解 a2004+a20030，即2a1+2002d+2003d0，(a1+2002d)(a1+2003d)0即使na1+d0這樣很難求出a1，d.從而求出最大的自然數(shù) n.故而判斷a20030，a20040 專家把脈 此題運用等差數(shù)列前n項的性質及圖象中應注意a20030，a20040，a2003+a20040，a2003a20040，且an為等差數(shù)列 an表示首項為正數(shù)，公差為負數(shù)的單調遞減等差數(shù)列，且a2003是絕

11、對值最小的正數(shù)，a2004是絕對值最大的負數(shù)(第一個負數(shù))，且|a2003|a2004|在等差數(shù)列an中，a2003+a2004=a1+a40060，S4006=0 使Sn0成立的最大自然數(shù)n是4006 3設無窮等差數(shù)列an的前n項和為Sn.()若首項a1=，公差d=1，求滿足Sk2=(Sk)2的正整數(shù)k; ()求所有的無窮等差數(shù)列an；使得對于一切正整數(shù)中k都有Sk2=(Sk)2成立 考場錯解 (1)當a1=,d=1時，Sn=n2+n，由Sk2=(Sk)2得k4+k2=，即k=0或k=4 k0故k=4()由對一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk)2成立 即k2a1+d=(ka1+)2即(a1-)k

12、2-adk2(k-1)+k2(k2-1)-k2(k-1)2=0對切正整數(shù)k恒成立故 求得a1=0或1，d=0 等差數(shù)列an=0,0,0,，或an=1，1，1， 專家把脈 ()中解法定對一切正整數(shù)k都成立而不是一切實數(shù)故而考慮取k的特值也均成立 對癥下藥 ()當a1=,d=1時，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2，即k3=0.又k0，所以k=4 ()設數(shù)列an的公差為d，則在Sk2=(Sk)2中分別取k=1,2,得由（1）得a1=0或a1=1. 當a1=0時，代入（2）得d=0或d=6.若a1=0,d=0,則an=0,sn=0,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=0

13、,d=6,則an=6(n-1),由S3=18，（S3）2=324,S9=216知S9(S3)2，故所得數(shù)列不符合題意.當a1=1時,代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得d=0或d=2.若a1=1,d=0,則an=1,Sn=n,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=1,d=2,則an=2n-1,Sn=1+3+（2n-1）=n2,從而Sk2=(Sk)2成立.綜上,共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列:an：an=0,即0，0，0，；an:an=1,即1，1，1，；an:an=2n-1,即1，3，5，.4.已知數(shù)列an的各項都是正數(shù),且滿足:a0=1,an+1=an(4-an),nN.(1)證明anan

14、+12,nN.(2)求數(shù)列an的通項公式an.考場錯解 用數(shù)學歸納法證明：（1）1當n=1時，a0=1,a1=a0（4-a0）=,a0a12,命題正確.2假設n=k時有ak-1ak2.則n=k+1時，ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak0. 4-ak-1-ak0,ak-ak-10.又ak-1=ak(4-ak)=4-(ak-2)22.n=k+1時命題正確.由1、2知對一切nN時有anan+12.(2)an+1=an(4-an)=-(an-2)2+4.2(a

15、n+1-2)=-(an-2)2an+1-2=(an-2)2令bn=an-2,bn=-()1+2+2n-1又b1=a1-2=-.bn=-()2n+2n-1.即an=2-()2n+2n-1.專家把脈 在（）問中求bn的通項時，運用疊代法.最后到b0而不是b1.對癥下藥（）同上，方法二：用數(shù)學歸納法證明：1當n=1時，a0=1,a1=a0(4-a0)=,0a0a12;2假設n=k時有ak-1ak2成立，令f(x)= x(4-x),f(x)在0，2上單調遞增，所以由假設有：f(ak-1)f(ak)f(2),即ak-1(4-ak-1)ak(4-ak) 2(4-2),也即當x=k+1時 akak+12成立

16、，所以對一切nN,有akak+12(2)下面來求數(shù)列的通項：an+1=an(4-an)=-(an-2)2+4,所以2（an+1-2）=-(an-2)2令bn=an-2,則bn=-=-(-)2=-()2=-（）1+2+2n-1b2n，又bn=-1,所以bn=-()2n-1,即an=2+bn=2-()2n-1專家會診1.要善于運用等差數(shù)列的性質：“若m+n=p+q,則am+an=ap+aq”；等差數(shù)列前n項和符合二次函數(shù)特征.借助二次函數(shù)性質進行數(shù)形結合法解等差數(shù)列問題.2.會運用一般與特殊的邏輯思維,利用滿足條件的特值求相關參數(shù)的值,學會分析問題和解決問題.命題角度3 等比數(shù)列1數(shù)列an的前n項

17、和記為Sn,已知a1=1,aa+1=(n=1,2,3).證明:()數(shù)列是等比數(shù)列；()Sn+1=4an.考場錯解 ()已知a1=1,an+1=,a2=3S1=3,S2=4 a3=S2=24=8.S3=1+3+8=12.即.故是公比為2的等比數(shù)列.()由()知=4于是Sn+1=4(n+1)=4an.又a2=3.S2=a1+a2=4,因此對于任意正整數(shù)n1,都有Sn+1=4an.專家把脈 ()中利用有限項判斷數(shù)列類型是運用不完全歸納法,應給予證明. ()中運用前推一項必須使 n2.對癥下藥 () an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得nSn+1=2(

18、n+1)=Sn,所以=2故是以2為公比的等比數(shù)列.()由()知=4(n2).于是Sn+1=4(n+1)=4an(n2).又a2=3S1=3, 故S1=a1+a2=4.因此對于任意整數(shù)n1,都有Sn+1=4an.2.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,Sn=(an-1)(nN*).() 求a1,a2;()求證數(shù)列an是等比數(shù)列.考場錯解 ()S1=(a1-1),得a1=-,S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.()an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得,所以an是首項為-，公比為-的等比數(shù)列.專家把脈 在利用an=Sn-Sn-1公式時,應考慮n2時才能成立.對癥下

19、藥 ()由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=. ()當n1時,an=SnSn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-,所以an是首項為-,公比為-的等比數(shù)列.3.等比數(shù)列的四個數(shù)之和為16,中間兩個數(shù)之和為5,則該數(shù)列的公比q的取值為 ( )A. 或4 B. 或 C. 4或- D. 4或或或考場錯解 設這四個數(shù)為,aq,aq3.由題意得由得a=,代入得q=或q2=2.q2=或q2=4,故所求的公比為或4.故應選A.專家把脈 上述解答設等比數(shù)列的公比為q2是不合理的.這相當于增加了四個數(shù)同號這個條件,而題設中的四個數(shù)

20、不一定同號.因此,產生了漏解現(xiàn)象.對癥下藥設這四個數(shù)為a,aq,aq2,aq3,則或-.因此,應選D.4.設數(shù)列an的首項a1=a,且an+1=()求a2,a3;()判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并證明你的結論;()求(b1+b2+b3+bn).考場錯解 ()a2=a1+=a+,a3=a2=a;()bn+1=a2n+1-.()求(b1+b2+b3+bn)= =.專家把脈在求證bn是等比數(shù)列是時，式子中，an中n為偶數(shù)時， 是連續(xù)兩項，并不能得出.對癥下藥 ()a2=a1+=a+,a3=a2=a+;()a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1-=a-,b2=a3-=(a-),b3=

21、a5-=(a-),猜想:bn是公比為的等比數(shù)列.證明如下:因為bn+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn,(nN*)所以bn是首項為a-,公比為的等比數(shù)列.()求(b1+b2+b3+bn)= 專家會診1.證明等比數(shù)列時應運用定義證為非0常數(shù),而不能(此時n2).2.等比數(shù)列中q可以取負值.不能設公比為q2.3.會運用等比數(shù)列性質,“若m+n=p+k,則aman=apak”.命題角度 4 等差與等比數(shù)列的綜合1.(典型例題)已知數(shù)列an的前n項和Sn=a2-()n-1-b2-(n+1)()n-1(n=1,2,),其中a,b是非零常數(shù),則存在數(shù)列xn、yn使得（ ）A.an=xn+y

22、n,其中xn為等差數(shù)列，yn為等比數(shù)列 Ban=xn+yn,其中xn和yn都為等差數(shù)列Can=xnyn,其中xn為等差數(shù)列，yn為等比數(shù)列Dan=xnyn,其中xn和yn都為等比數(shù)列考場錯解a2-()n-1=xn，b2-(n-1)()n-1=yn,又xn,yn成等比數(shù)列，故選D.專家把脈應從數(shù)列an的前n項和Sn的表達式入手，而不能從形式上主觀判斷.對癥下藥 C. a1=S1=3a an=Sn-Sn-1=a2+()n-1-b2-(n+1)()n+1-a2+()n-2+b2-n()n-2=(bn-b-a)()n-1 ()n-1為等比數(shù)列,bn-a-b為等差數(shù)列.2.已知數(shù)列an是首項為a且公比q

23、不等于1的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.() 證明12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列; ()求和Tn=a1+2a4+3a7+na3n-2.考場錯解 ()由a1,2a7,3a4 成等差數(shù)列.得4a7=a1+3a4,4aq6=a+3aq3.從而可求q3=-,或q3=1.當q3=-時，=，=q6=.故12S3，S6，S12-S6成等比數(shù)列.當q3=1時,=，=q6=1.故12S3,S6,S12-S6不成等比數(shù)列.專家把脈本題條件中已規(guī)定q1.故應將q=1時舍去.對癥下藥()證明:由a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.得4a7=a1+3a4,即4aq6=a+3aq3.變形

24、得(4q3+1)(q3-1)=0,所以q3=-或q3=1(舍去)由=1+q6-1=q6=,得=.所以12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列. ()解法:Tn=a1+2a4+3a7+na3a-2=a+2aq3+3aq6+naq3(n-2),即Tn=a+2(-)a+3(-)2a+n(-)n-1a. (-)3a得:-Tn=-a+2(-)2a+3(-)3a+n(-)na -有：Tn=a+(-)a+(-)2a+(-)3a+(-)n-1a-n(-)na=-n(-)na=a-(+n)(-)na.所以Tn=(-)na.3.如圖，OBC的三個頂點坐標分別為（0，0）、（1，0）、（0，2），設P1為線段BC的中

25、點，P2為線段CO的中點，P3為線段OP1的中點，對于每一個正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點，令Pn的坐標為（xn,yn）,an=yn+yn+1+yn+2.()求a1,a2,a3及an;()證明yn+4=1-,nN*,()若記bn=y4n+4-y4n,nN*,證明bn是等比數(shù)列.考場錯解（1）y1=y2=y4=1,y3=,y5=,可求得a1=a2=a3=2,由此類推可求得an=2()將yn+yn+1+yn+2=2同除以2，得yn+4=yn+4=1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-(y4n+4-y4n)=- bn.=-.故bn是等比數(shù)列.專家把脈第()問題運用不完全歸納法求出

26、an的通項.理由不充分,第()問中=-.要考慮b1是否為0.即有意義才更完整.對癥下藥 ()因為y1=y2=y4=1,y3= ,y5=,所以a1=a2=a3=2.又由題意可知yn+3=.an+1=yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an,an為常數(shù)列.an=a1=2,nN*.()將等式y(tǒng)n+yn+1+yn+2=2兩邊除以2,得yn+=1,又yn+4=,yn+4=1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-=-(y4n+4-y4n)=- bn,又b1=y8-y4=-0,bn是公比為- 的等比數(shù)列.4.在等差數(shù)列an中,公差d0,a2是a1與a4的等比中

27、項.已知數(shù)列a1,a3,akn,成等比數(shù)列,求數(shù)列kn的通項kn.考場錯解an=a1+(n-1)d,=a1a4(a1+d)2=a1(a1+3d).d=a1,an=nd.a1=d.a3=3d.=3=q.=q=3.kn是公比為3的等比數(shù)列.kn=13n-1=3n-1.專家把脈錯因在把k1當作數(shù)列an的首項.k1=1.而實際上k1=9.對癥下藥依題設得an=a1+(n-1)d,=a1a4,(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=a1d, d0,d=a1,得an=nd,所以,由已知得d,3d,k1d,k2d,kndn是等比數(shù)列.由d0,所以數(shù)列1,3,k1,k2,kn, 也是等比數(shù)列,首項為1

28、,公比為q=3,由此得k1=9.等比數(shù)列kn的首項k1=9,公比q=3,所以kn=9qn-1=3n+1(n=1,2,3,),即得到數(shù)列kn的通項kn=3n+1.專家會診1.賦值法在解等差、等比數(shù)列問題中是常用方法.從而求出系數(shù)的值及從中找出規(guī)律.2.等比數(shù)列中應注意考慮公比等于1的特殊情況,等比數(shù)列中的公差為0的特殊情況在解題時往往被忽視.3在等差數(shù)列與等比數(shù)列中,經常要根據(jù)條件列方程(組)求解.要注意常兩種情形的不同之處.命題角度5 數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合1已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列an滿足下列條件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)

29、-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).()令bn=aa+1-an(nN*),證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；()求數(shù)列an的通項公式；()當|k|1時，求考場錯解()證明:由b1=a2-a10,可得：b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)0.由數(shù)學歸納法可證bn=an+1-an0(nN*).由題設條件，當n2時=k故數(shù)列bn是公比為k的等比數(shù)列.()由()知bn=kn-1(a2-a1)(nN*)b1+b2+bn-1=(a2-a1). (n2) 而b1+b2+bn-1=a2-a1+a3-a2+an-an-1=an-a1(n2)an-a

30、1=(a2-a1)(n2)故an=af(a)-a (nN*)an=a+(n-1)f(a)-a(nN*)()當|k|1時=a+2.如圖，直線l1:y=kx+1-k(k0，k)與l2相交于點P.直線l1與x軸交于點P1,過點P1作x軸的垂線交于直線l2于點Q1,過點Q1作y軸的垂線交直線l1于點P2，過點P2作x軸的垂線交直線l2于點Q2，這樣一直作下去，可得到一系列點P1，Q1，P2，Q2，點Pn(n=1,2,)的橫坐標構成數(shù)列xn.()證明xn+1-1=(xn-1)，(nN*);（）求數(shù)列xn的通項公式；（）比較2|PPn|2與4k2|PP1|2+5的大小.考場錯解證明：設點Pn的坐標是（xn

31、,yn）,由已知條件得點Qn、Pn+1的坐標分別是：.由Pn+1在直線l1上，得=kxn+1+1-k.所以（xn-1）=k(xn+1-1).即xn+1-1=（xn-1）,nN*.()由（）知，故xn-1是等比數(shù)列，且首項x1-1=-，公比為.從而求得xn=1-2()n,nN*.專家把脈 （）問中對于xn+1-1=(xn-1)先應考慮xn-1能否為0，繼而可求.對癥下藥（）同錯解中（）.（）解法：由題設知x1=1-,x1-1=-0,又由（）知xn+1-1=(xn-1),所以數(shù)列xn-1是首項為x1-1,公比為的等比數(shù)列.從而xn-1=-()n-1,即xn=1-2()n,nN*.（）解法：由得點P

32、的坐標為（1，1）.所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8()2n+2(2)2n-2,4k2|PP1|254k2(1-1)2(0-1)2+5=4k2+9.（i）當|k|，即k-或k時，4k2|PP1|2+51+9=10.D而此時0|1，所以2|PPn|281+2=10,故2|PPn|24k2|PP1|2+5.(ii)當0|k|，即k（-，0）（0，）時，4k2|PP1|2+51+9=10.而此時|1，所以2|PPN|281+2=10.故2|PPn|24k2|PP1|2+5.3.已知函數(shù)f(x)=設數(shù)列an滿足a1=1,an+1=f(an),數(shù)列bn滿足bn=|an

33、-|，Sn=b1+b2+bn(nN*).（）用數(shù)學歸納法證明bn；（）證明Sn.考場錯解()bn=|an-|,又an=1+，an+1=(n2),a2=2,a3=,a4=2.an1.bn=由疊代法.bn.（）Sn=b1+b2+bn(-1)+.專家把脈運用疊代法時并不能化簡成.對癥下藥()證明：當x0時,f(x)=1+1.因為a1=1,所以an1(nN*).下面用數(shù)學歸納法證明不等式bn.(1)當n=1時，b1=-1,不等式成立，（2）假設當n=k時，不等式成立，即bk.那么bk-1=|ak+1-|=.所以，當n=k+1時，不等式也成立.根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任意nN*都成立.()證明：

34、由（）知，bn.所以Sn=b1+b2+bn(-1)+ （-1）.故對任意nN*,Sn專家會診函數(shù)、數(shù)列、解析幾何三者的綜合，展示了知識的交匯性，方法的靈活性.因此解此類題目應充分運用函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，即數(shù)列是一種特殊函數(shù)，以及解析幾何中方程與函數(shù)、數(shù)列的關系來解題.而數(shù)列與不等式的綜合更顯出問題的綜合性.命題角度6 數(shù)列的應用1.某企業(yè)20典型例題)若an=n2+An,且數(shù)列an為遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是_.考場錯解 （n,an）(nN+)是函數(shù)f(x)=x2+x圖象上的點，且數(shù)列an為遞增數(shù)列，只需-1，即-2，的取值范圍是-2，+ 專家把脈 忽視了數(shù)列的離散型特征數(shù)列an為遞增數(shù)列，只

35、要求滿足a1a2an 對癥下藥 數(shù)列an是遞增數(shù)列，且an=n2+n，其對稱軸x=-既可以不超過直線x=1，也可以在 1x之間，故-3 的取值范圍是(-3，+)(答案不唯一，-3的所有實數(shù)均可) 4(典型例題)自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響用xn表示某魚群在第n年年初的總量，nN+,且x10不考慮其他因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與Xn成正比，死亡量與x2n成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，C，()求xn+1與xn的關系式；()猜測：當且僅當x1,a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變?(不

36、要求證明) ()設a=2，c=1，為保證對任意x1(0，2)，都有xn0，nN+，則捕撈強度b的最大允許值是多少?證明你的結論 考場錯解 (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx2n (axn，bxn，cx2n分別為繁殖量、捕撈量，死亡量) ()xn=x1(nN+)由()式得xn(a-b-cxn)=0 x1= ()x1 (0，2)a=2c=102-b2 0b0，所以ab猜測：當且僅當ab，且x1=時，每年年初魚群的總量保持不變 ()若b的值使得xn0，nN*，由xn+1=xn(3-b-xn)，nN*，知0xn3-b，nN*，特別地，有0x13 -b即0b0又因為xk+1=xk(2- xk)

37、=-(xk-1)2+l10，nN*，則捕撈強度b的最大允許值是1 5假設某市：2004年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米那么，到哪一年底，(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2004年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方米?(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85?考場錯解 (1)an是等差數(shù)列 an是中低價房面積a1=250，d=50Sn=25n2+225n由25n2+ 225n4750即n10(2)設幾年后新建住

38、房面積S為：400(1+8)n 85085bn，有250+ (n-1)50400(108)n-1085由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6到2009年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85四、典型習題導練1、各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足。（）求數(shù)列的通項公式；（）求數(shù)列的前項和。【解析】（）由可知數(shù)列是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，又，則 （）2、已知數(shù)列滿足：，且，數(shù)列的前項和為（）求數(shù)列的通項（）求證：【解析】（）（）數(shù)列的前項和為：因為是正整數(shù)，所以故3、已知是公比大于的等比數(shù)列，它的前項和為， 若，成等差數(shù)列，且，（）（）求；（）求數(shù)列的前項和.【解析】（

39、）依，成等差數(shù)列，得 -（2分）從而 得 故.-（4分）（）當時， 則-（1分）令，得故.-（3分）于是.-（2分）4、已知數(shù)列滿足,（）證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式；（）設數(shù)列的前項和為，且對一切，都有 成立，求.【解析】（）由可得所以數(shù)列是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列 3分故有 6分（） 由 可知當時, 當時, 8分 設，11分綜上12分5、已知函數(shù)（x0），各項均為正數(shù)的數(shù)列中,.（）求數(shù)列的通項公式；（）在數(shù)列中,對任意的正整數(shù), 都成立，設為數(shù)列的前項和試比較與的大小.【解析】（）由題意知,是以1為首項4為公差的等差數(shù)列 ., , .6分（）, 13分6、已知數(shù)列滿足：

40、且（）（）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（）證明：（）?！窘馕觥浚ǎ┯深}得：an+1（an+n）=2（n+1）an ， 即故 又 所以數(shù)列為等比數(shù)列， 3分， 6分（）由上知8分所以（）。 12分7、已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為.求數(shù)列和的通項公式；解不等式.【解析】考查等差數(shù)列、等比數(shù)列，考查探究能力和邏輯思維能力.設數(shù)列的公差為，由，得，.由數(shù)列的前項和為可知當時，當時，該式對也成立.所以數(shù)列的通項公式為的通項公式為.由得時，時，又單調遞減，單調遞增.不等式的解集為.8、數(shù)列的前n項和記為，點在曲線上（）. （）求數(shù)列的通項公式；（）設，求數(shù)列的前n項和的值.【解析】（）由

41、點在曲線上（）知, （1分） 當時；（4分）當時， ，滿足上式；（5分）數(shù)列的通項公式為 （6分）（）由得（7分）（8分）上式兩邊乘以2，得 （9分）得 10分，即.12分9、在等差數(shù)列an中，滿足3a55a8，Sn是數(shù)列an的前n項和（）若a10，當Sn取得最大值時，求n的值；（）若a146，記bn，求bn的最小值【解析】（）設an的公差為d，則由3a55a8，得3(a14d)5(a17d)，da1Snna1(a1)a1n2a1na1(n12)2a1a10，當n12時，Sn取得最大值（6分）（）由（）及a146，得d(46)4，an46(n1)44n50，Sn46n42n248nbn2n52

42、25232，當且僅當2n，即n5時，等號成立故bn的最小值為32（12分）10、數(shù)列的前n項和記為Sn，點（Sn，）在直線上，nN*（）若數(shù)列是等比數(shù)列，求實數(shù)t的值；（）設，在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項和；（）設各項均不為0的數(shù)列中，所有滿足的整數(shù)i的個數(shù)稱為這個數(shù)列的“積異號數(shù)”，令（），在（2）的條件下，求數(shù)列的“積異號數(shù)”【解析】（）由題意，當時，有 （1分）兩式相減，得，（2分）所以，當時是等比數(shù)列，要使時是等比數(shù)列，則只需從而得出（4分）（）由（）得，等比數(shù)列的首項為，公比， （5分） （6分） （7分）上式兩邊乘以3得 （8分）得（9分） （10分）（） 由（）知，（11分）

43、，數(shù)列遞增.（12分）由，得當時，cn0. （13分）數(shù)列的“積異號數(shù)”為1.（14分）11、定義數(shù)列： ，且對任意正整數(shù)，有.（）求數(shù)列的通項公式與前項和；（）問是否存在正整數(shù)，使得？若存在，則求出所有的正整數(shù)對；若不存在，則加以證明.【解析】考查了等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式，數(shù)列的分組求和等知識，考查了學生變形的能力，推理能力，探究問題的能力，分類討論的數(shù)學思想、化歸與轉化的思想以及創(chuàng)新意識（）對任意正整數(shù)， ，.1分 所以數(shù)列是首項,公差為等差數(shù)列；數(shù)列是首項,公比為的等比數(shù)列2分對任意正整數(shù),.3分所以數(shù)列的通項公式或 4分對任意正整數(shù),. 5分 6分所以數(shù)列的前項和為. 或

44、7分 （）,從而,由知 8分當時, ,即；9分當時, ,即；10分當時, ,則存在,使得從而,得,，得,即. 13分綜上可知,符合條件的正整數(shù)對只有兩對：與14分12、在數(shù)列中，已知，且（）記,求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（）求的通項公式；（）對, 是否總使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。【解析】（）由題意得 又，故是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列； 4分（）由（）得 8分（）設對任意存在,使得,即整理得，而總為偶數(shù)且非負，故 13分13、設數(shù)列滿足（）求數(shù)列的通項公式；（）證明：對于一切正整數(shù)，【解析】：（）由令，當時， 當時， 當時，7分（）當時，要證，只需證只需證因為 當綜上所述1

45、4分14、已知在數(shù)列中，（且（）若是等比數(shù)列，求與滿足的條件；（）當，時，某點從原點出發(fā)，第1次向右（沿軸正向）移動，第2次向上（軸正向）移動，第3次向左移動，第4次向下移動，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向移動，設第次移動的位移是，設第次移動后，該點的橫坐標為，求數(shù)列的前項和 【解析】（），由于是等比數(shù)列所以即：所以 或（）當，時，依題意得：， . . . 令-得.15、在平面直角坐標系上，設不等式組表示的平面區(qū)域為，記內的整點（橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點）的個數(shù)為.（）求出的值（不要求寫過程）；（）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（）令=（nN*），求【解析】（） 3分（）由 4分所以平面區(qū)域為

46、內的整點為點（3,0）與在直線上5分直線與直線交點縱坐標分別為6分內在直線上的整點個數(shù)分別為4n+1和2n+1,7分 8分數(shù)列為等差數(shù)列. 9分（）bn=10分14分16、已知數(shù)列、滿足，數(shù)列的前項和為.（）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（）設，求證：；（）求證：對任意的都有成立【解析】（）由得代入得整理得，否則，與矛盾從而得, -3分 數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列-4分（），則-6分證法1：-8分證法2： -8分（）用數(shù)學歸納法證明： 當時，不等式成立；-9分假設當（，）時，不等式成立，即，那么當時-12分當時，不等式成立由知對任意的,不等式成立-14分17、在數(shù)列中，已知， （）求數(shù)列的通項

47、公式；（）若（為非零常數(shù)），問是否存在整數(shù)，使得對任意都有？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。【解析】（）由得：-得，即有,數(shù)列是從第二項為，公比為的等比數(shù)列即， 而滿足該式， （） ， 要使恒成立恒成立即當為奇數(shù)時，恒成立，而的最小值為 當為偶數(shù)時，恒成立，而的最大值為 或所以，存在，使得對任意都有 18、數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù),點在直線上. () 求數(shù)列的通項公式；（）是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，則說明理由.（）已知數(shù)列，求證：.【解析】()由題意可得：時, 得， 是首項為，公比為的等比數(shù)列， 4分（） 欲使成等差數(shù)列,只須即便可. 故存在實

48、數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列. 9分（） 又函數(shù)在上為增函數(shù)， ， 14分19、已知數(shù)列an各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，對于，總有成等差數(shù)列.（）求數(shù)列an的通項an（）設數(shù)列的前n項和為Tn,數(shù)列Tn的前n項和為Rn,求證：時，；（）對任意，試比較與的大小【解析】（）由題意，得（nN*）于是，兩式相減，得，即an+1+an=(an+1+an)(an+1-an)，由題，an0，an+1+an0，得an+1-an=1，即an為公差為1的等差數(shù)列又由，得a1=1或a1=0（舍去） an=1+(n-1)1=n (nN*)5分（）證法一：由（I）知，于是，于是當n2時，=n(Tn-1).10分法二：當n

49、=2時，R1=T1=1，2(T2-1)=2(=1， n=2時，等式成立假設n=k（k2）時，等式成立，即，當n=k+1時， = = = = 當n=k+1時，等式也成立綜合知，原等式對n2，nN*均成立 10分（）由（I）知，由分析法易知，當k2時， 即14分20、已知點列，順次為一次函數(shù)圖像上的點，點列，順次為軸正半軸上的點，其中.對于任意，點、構成以為頂點的等腰三角形. （）求的通項公式，并證明是等差數(shù)列；（）試判斷是否為同一常數(shù)（不必證明），并求出數(shù)列的通項公式；（）在上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若有，求出此時的值；若不存在，請說明理由.【解析】（），.是首項為，公差為等差數(shù)列；

50、.3分（）為常數(shù)，及都是公差為2的等差數(shù)列.4分.6分.7分（）要使為直角三角形，則,.8分當n為正奇數(shù)時，取.10分當n為正偶數(shù)時，取，得.12分綜上可知，存在滿足題意的直角三角形，此時的值為.13分21、設曲線：上的點到點的距離的最小值為,若,（）求數(shù)列的通項公式；（）求證:；（）是否存在常數(shù),使得對,都有不等式:成立?請說明理由.【解析】（）設點,則,所以,因為,所以當時,取得最小值,且,又,所以,即 將代入得兩邊平方得,又, 故數(shù)列是首項,公差為的等差數(shù)列,所以, 因為,所以.6分 （）因為,所以 所以,所以 所以,所以 以上個不等式相加得.10分 （）因為,當時, , 因為, 所以 所以, 所以. 故存在常數(shù),對,都有不等式:成立. 14分