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1、
定積分與曲邊梯形的面積
我們知道定積分的幾何意義：當(dāng)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上恒為正時(shí)，定積分的幾何意義是以曲線為曲邊梯形的面積.一般情況下，定積分的幾何意義是介于x軸、函數(shù)的圖象以及直線x=a、x=b之間各部分面積的代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號(hào)，在x軸下方的面積取負(fù)號(hào).所以求曲邊梯形的面積是定積分在幾何中的重要應(yīng)用，把求平面圖形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求定積分問(wèn)題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．求解此類題常常用到以下技巧．
一、巧選積分變量
求平面圖形面積時(shí)，要注意選擇積分變量，以使計(jì)算簡(jiǎn)便．
例1 求拋物線與直線圍成的平面圖形的面積．
解析：如圖1，解方程組得兩曲線的交點(diǎn)為、
2、．
方法一：選取橫坐標(biāo)為積分變量，則圖中陰影部分的面積應(yīng)該是兩部分之和，即
．
方法二：選取縱坐標(biāo)為積分變量，則圖中陰影部分的面積可據(jù)公式求得，即
．
點(diǎn)評(píng)：從上述兩種解法可以看出，對(duì)積分比對(duì)積分計(jì)算簡(jiǎn)捷．因此，應(yīng)用定積分求平面圖形面積時(shí)，積分變量的選取是至關(guān)重要的．但同時(shí)也要注意對(duì)積分時(shí)，積分函數(shù)應(yīng)是，本題須將條件中的曲線方程、直線方程化為
- 1 - / 3
、的形式，然后求得積分．另外還要注意的是對(duì)面積而言，不管選用哪種積分變量去積分，面積是不會(huì)變的，即定積分的值不會(huì)改變．
二、巧用對(duì)稱性
在求平面圖形面積時(shí)，利用函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線的對(duì)稱性解題，也是簡(jiǎn)化計(jì)算
3、過(guò)程的常用手段．
例2 求由三條曲線，，所圍圖形的面積．
解析：如圖2，因?yàn)?，是偶函?shù)，根據(jù)對(duì)稱性，只算出軸右邊的圖形的面積再兩倍即可．
解方程組和得交點(diǎn)坐標(biāo)、、、．
方法一：選擇為積分變量，則
．
方法二：可以選擇為積分變量，求解過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們自己完成．
點(diǎn)評(píng)：對(duì)稱性的應(yīng)用和積分變量的選取都影響著計(jì)算過(guò)程的繁簡(jiǎn)程度．
三、分割計(jì)算
例3 求由拋物線及其在點(diǎn)和點(diǎn)處兩條切線所圍成的圖形的面積．
解析：由，得，
∴，過(guò)點(diǎn)的切線方程為；
，過(guò)點(diǎn)的切線方程為．
又可求得兩切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故所求面積
．
點(diǎn)評(píng)：本題求圖形的面積，適當(dāng)?shù)姆指钍顷P(guān)鍵，故求出兩切線交點(diǎn)，過(guò)交點(diǎn)作軸的垂線，將圖形分割成兩部分，分別用定積分求解．同學(xué)們應(yīng)注意掌握這種分割的處理方法．
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高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-2教案：第4章 拓展資料：定積分與曲邊梯形的面積
