2014年高考數學一輪復習 熱點難點精講精析 2.10函數模型及其應用

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1、 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析： 2.10函數模型及其應用 1、一次函數與分段函數模型 ○相關鏈接○ （1）在現實生活中，有很多問題的兩變量之間的關系是一次函數模型，其增長特點是直線上升（自變量的系數大于0）或直線下降（自變量的系數小于0）； （2）很多實際問題中變量間的關系，不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成分段函數。如出租車票價與路程之間的關系，就是分段函數。 （3）分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起。要注意各段變量的范圍，特別是端點值。[ ○例題解析○ 〖例1

2、〗電信局為了配合客戶不同需要，設有A，B兩種優(yōu)惠方案．這兩種方案應付話費y(元)與通話時間x(分鐘)之間的關系如圖所示，其中MN∥CD. (1)若通話時間為2小時，按方案A，B各付話費多少元？ (2)方案B從500分鐘以后，每分鐘收費多少元？ (3)通話時間在什么范圍內，方案B比方案A優(yōu)惠？ 思路解析：本題是求在不同的條件下，兩種方案所付話費以及話費的比較，但由于題設中以圖象的形式給出兩方案的付費函數，所以在解題方法上，可先求出函數的解析式，然后再求其他解． 解答：設這兩種方案的應付話費與通話時間的函數關系為和，由圖知M（60，98），N（500，230），C（500，168），

3、MN∥CD；則 1 / 16 （1）通話2小時的費用分別是116元、168元。 （2） ∴方案B從500分鐘以后，每分鐘收費0.3元。 （3）由圖知，當0≤x≤60時，＜； 當60

4、40小時. (1)設在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f(x)元(15≤x≤40),乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g(x)元(15≤x≤40).試求f(x)和g(x); (2)問：小張選擇哪家比較合算？為什么？ 【解析】(1)f(x)=5x(15≤x≤40), (2)由f(x)=g(x)得， 即x=18或x=10(舍). 當15≤x<18時，f(x)-g(x)=5x-90<0, ∴f(x)0, ∴f(x)>g(x)

5、,即選乙家; 當300,∴f(x)>g(x),即選乙家. 綜上所述，當15≤x<18時，選甲家，當x=18時，可以選甲家，也可以選乙家，當18

6、飛機的產值函數為R(x)=3000x-20x2 (單位：萬元），成本函數 C（x)=500x+4000 (單位：萬元）。利潤是收入與成本之差，又在經濟學中，函數（x)的邊際利潤函數Mx)定義為：Mx)=(x+1)-(x). ①求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x)；（利潤=產值-成本） ②問該公司的利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)是否具有相等的最大值？ 解：①P(x)= R(x)- C（x)= -20x2+2500x-4000 (x∈N*,且x∈[1,100])； MP(x)= P(x+1)- P(x)=-40x+2480(x∈N*,且x∈[1,100])； ②P(

7、x)= -20（x-）2+74125 (x∈N*,且x∈[1,100])；則當x=62或63時，P（x)max=74120（元）， 因為MP(x) =-40x+2480為↘，則當x=1時，MP(x)max =2440元，故利潤函數與邊際利潤函數不具有相等的最大值。 〖例2〗北京奧運會紀念章某特許專營店銷售紀念章，每枚進價為5元，同時每銷售一枚這種紀念章還需向北京奧組委交特許經營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚，經過市場調研發(fā)現每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現設每枚紀念章

8、的銷售價格為x元。 （1）寫出該特許專營店一年內銷售這種紀念章所獲得的利潤y（元）與每枚紀念章的銷售價格x的函數關系式（并寫出這個函數的定義域）。 （2）當每紀念章銷售價格x為多少元時，該特許專營店一年內利潤y（元）最大，并求出這個最大值。 思路解析：（1）利潤=（售價-進價-管理費）（銷售的紀念章數），注意價格取值是分段的； （2）分段函數求最值時，要分段求，然后比較大小。 解答：（1）依題意 些函數的定義域為（0，40）。 （2） 當0

9、=16 時，該特許專營店獲得的利潤最大為32400元。 注：分段函數是一類重要的函數，生活中很多實例都是分段函數模型，解決此類問題主要是構造分段函數，然后分步解決，構造分段函數時要力求準確、簡捷，做到分段合理，不重不漏。 3、指數函數模型 ○相關鏈接○ (1)指數函數模型，常與增長率相結合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數函數模型來表示； (2)應用指數函數模型時，關鍵是對模型的判斷，先設定模型將有關已知數據代入驗證，確定參數，從而確定函數模型. (3)y=a(1+x)n通常利用指數運算與對數函數的性質求解． ○例題解析○

10、 〖例1〗急劇增加的人口已經使我們賴以生存的地球不堪重負．控制人口急劇增長的緊迫任務擺在我們的面前． (1)世界人口在過去的40年內翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？ (2)我國人口在2006年底達到13.14億，若將人口平均增長率控制在1%以內，我國人口在2016年底至多有多少億？ 以下對數值可供計算時使用: 思路解析：(1)本題求每年人口增長率,但已知40年內翻一番,所以在解題方法上,可用方程的思想來解； (2)本題是計算10年后我國人口的數量，由于題設中已知10年前以及每年的增長率，所以在解題方法上，可先找到函數關系，直接計算求解． 解答：(1)設每年人口平均增長率

11、為x,n年前的人口數為a,n年后的人口數為y，則y=a(1+x)n, 依題意得：2a=a(1+x)40,即2=(1+x)40, 兩邊取對數得，lg2=40lg(1+x), 則lg(1+x)==0.007 525, 所以1+x≈1.017,得x≈0.017, 故每年的人口平均增長率約是1.7%. (2)依題意得y≤13.14(1+1%)10, 兩邊取對數得，lgy≤lg13.14+10lg(1+1%)≈1.161 6,y≤14.51,故2 016年至多有人口14.51億. 〖例2〗某城市現有人口總數為100萬人，如果年自然增長率為1.2%,試解答下面的問題： （1）

12、寫出該城市人口總數y（萬人）與年份x（年）的函數關系式； （2）計算10年以后該城市人口總數（精確到0.1萬人）； （3）計算大約多少年以后該城市人口將達到120萬人（精確到1年）。 （1．01210=1．127，1.01215=1.196,1.01216=1.210） 思路解析：列出前幾年該城市人口總數y與年份x的函數關系觀察規(guī)律，總結出y與x的函數關系按要求求解（2）、（3）兩小題 解答：（1）1年后該城市人口總數為y=100+1001.2%=100(1+1.2%), 2年后該城市人口總數為 y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2

13、%)2 同理，3年后該城市人口總數為：y=100(1+1.2%)3 …………………… X年后該城市人口總數為y=100(1+1.2%)x(x∈N) （2）10年后人口總數為100（1+1.2）10≈112.7(萬) （3）設x年后該城市人口將達到120萬人，即100（1+1.2%）x=120,x=log1.0121.20≈16（年）。 因此，大約16年以后城市人口將達到120萬人。 注：高考數學試題中聯系生活實際和生產實際的應用問題，其創(chuàng)意新穎，設問角度獨特，解題方法靈活，一般文字敘述長，數量關系分散且難以把握。解決此類問題關鍵要認真審題，確切理解題意，進行科學的抽象概括，將

14、實際問題納為相應的數學問題，然后利用函數、方程、不等式等有關知識解答。 4、利用函數刻畫實際問題 ○相關鏈接○ 用函數圖象刻畫實際問題的解題思路 將實際問題中兩個變量間變化的規(guī)律(如增長的快慢、最大、最小等)與函數的性質(如單調性、最值等)、圖象(增加、減少的緩急等)相吻合即可. ○例題解析○ 【例】如圖所示，向高為H的容器A，B，C，D中同時以等速注水，注滿為止： (1)若水深h與注水時間t的函數圖象是下圖中的(a)，則容器的形狀是______; (2)若水量v與水深h的函數圖象是下圖中的(b)，則容器的形狀是______; (3)若水深h與注水時間t的函數圖象

15、是下圖中的(c)，則容器的形狀是______; (4)若注水時間t與水深h的函數圖象是下圖中的(d)，則容器的形狀是______. 【方法詮釋】根據實際問題中水深h,水量v和注水時間t之間的關系，結合圖象使之吻合即可. 解析：(1)該題圖中的(a)說明了注入水的高度是勻速上升的，只有C中的容器能做到，所以應填C； (2)該題圖中的(b)說明了水量v增長的速度隨著水深h的增長越來越快，在已知的四個容器中，只有A中的容器能做到，所以應填A； (3)該題圖中的(c)說明水深h與注水時間t之間的對應關系，且反映出來的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四個容器中，只有D中的容器能做到，

16、所以應填D； (4)該題圖中的(d)說明水深h與注水時間t之間的對應關系，且反映出來的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四個容器中，只有B中的容器能做到，所以應填B． 答案：(1)C　　(2)A　　(3)D　　(4)B 注：用函數刻畫實際問題的關鍵是分析所給實際問題中兩個變量間的關系，從中發(fā)現其變化的規(guī)律，并與函數的圖象、性質聯系起來，從而使問題解決. 5、利用已知函數模型解決實際問題 ○相關鏈接○ 利用已知函數模型解決實際問題的步驟 若題目給出了含參數的函數模型，或可確定其函數模型的圖象,求解時先用待定系數法求出函數解析式中相關參數的值,再用求得的函數解析式解決實際問題.

17、 ○例題解析○ 【例】(1)某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系式是y=3 000+20x-0.1x2(0

18、氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系式為______. 【方法詮釋】(1)結合二次函數的性質及實際意義解題即可. (2)結合圖象通過特殊點用待定系數法求出關系式. 解析：(1)選C.∵要使生產者不虧本， 則有3 000+20x-0.1x2≤25x, 解上式得：x≤-200或x≥150, 又∵0

19、答案: 6、自建模型解決實際問題 ○相關鏈接○ 建立函數模型解決實際問題的步驟 (1)審題：深刻理解題意，分清條件和結論，理順其中的數量關系，把握其中的數學本質； (2)建模：由題設中的數量關系，建立相應的數學模型，將實際問題轉化為數學問題； (3)解模：用數學知識和方法解決轉化出的數學問題； (4)還原：回到題目本身，檢驗結果的實際意義，給出結論． ○例題解析○ 【例3】(2012北京模擬)某特許專營店銷售上海世博會紀念章，每枚進價為5元，同時每銷售一枚這種紀念章還需要向上海世博局交特許經營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時，該店一年可銷售2 000枚，經過

20、市場調研發(fā)現每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元，則增加銷售400枚；而每增加一元則減少銷售100枚，現設每枚紀念章的銷售價格為x元. (1)寫出該特許專營店一年內銷售這種紀念章所獲得的利潤y(元)與每枚紀念章的銷售價格x元之間的函數關系式(并寫出這個函數的定義域); (2)當每枚紀念章銷售價格x為多少時，該特許專營店一年內利潤y(元)最大，并求出這個最大值. 【方法詮釋】(1)首先應根據題意確定出銷售價格x的取值范圍; 再分別求出減少,增加一元時的銷售利潤,從而得到一年所得利潤y(元)的函數關系式. (2)根據函數關系式的結構特征，選擇適當的求最值方法求解. 解析：

21、(1)依題意銷售價格x∈(7,40)，即定義域為(7,40)，而當7＜x≤20，x∈N+時，則增加銷售400(20-x)枚, 故其一年內銷售所獲得利潤為 y=［2 000+400(20-x)］(x-7); 當20＜x＜40，x∈N+時，則減少銷售100(x-20)枚. 故其一年內銷售所獲得利潤為 y=［2 000-100(x-20)］(x-7)， 綜上得: (2)因為 若7＜x≤20,則當x=16時,ymax=32 400(元). 若20＜x＜40,則當x=23或24時, ymax=27 200(元). 綜上可得當x=16時，該特許專營店獲得的利潤最大,為32 400元. 注：解決這類問題常見的兩個誤區(qū) (1)不會將實際問題轉化為函數模型，從而無法求解. (2)在求解過程中忽視實際問題對變量參數的限制條件. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！