【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) .2用樣本估計(jì)總體教案 理 新人教A版

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1、 §11.2　用樣本估計(jì)總體 2014高考會這樣考　1.考查樣本的頻率分布(分布表、直方圖、莖葉圖)中的有關(guān)計(jì)算，樣本特征數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)的計(jì)算．主要以選擇題、填空題為主；2.考查以樣本的分布估計(jì)總體的分布(以樣本的頻率估計(jì)總體的頻率、以樣本的特征數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù))． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.理解統(tǒng)計(jì)中的常用術(shù)語：總體、個體、樣本、平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)；2.會利用頻率分布直方圖、莖葉圖對總體進(jìn)行估計(jì)，尤其是頻率分布直方圖的應(yīng)用更是高考考查的熱點(diǎn)． 1． 頻率分布直方圖 (1)通常我們對總體作出的估計(jì)一般分成兩種，一種是用樣本的頻率分布估計(jì)

2、總體的頻率分布，另一種是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征． (2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1. (3)連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計(jì)中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精細(xì)的反映出總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比． (4)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便． 2． 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特

3、征 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． 平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即＝(x1＋x2＋…＋xn)． 在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等． (2)樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差s＝ ， 其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項(xiàng)，n是樣本容量，是平均數(shù)． 標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方．通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差． [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源

4、] 1． 作頻率分布直方圖的步驟 (1)求極差；(2)確定組距和組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖． 頻率分布直方圖能很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀． 2． 眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的異同 (1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量． (2)由于平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所以，任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì)． (3)眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題． (4)某些數(shù)據(jù)的變

5、動對中位數(shù)可能沒有影響．中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢． 3． 利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征 (1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)值． (2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和． (3)眾數(shù)：最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 1． (2011·江蘇)某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝________. 答案　3.2 解析?。剑?， ∴s2＝[(10－7

6、)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝＝3.2. 2． (2011·浙江)某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3 000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．根據(jù)頻率分布直方圖推測，這3 000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的學(xué)生數(shù)是________． 答案　600 解析　由直方圖易得數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的頻率為(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分?jǐn)?shù)小于60分的學(xué)生數(shù)為3 000×0.2＝600. 3． (2012·

7、;湖南)如圖所示是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動員在五場比賽中所得分?jǐn)?shù)的 莖葉圖，則該運(yùn)動員在這五場比賽中得分的方差為________． (注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù)) 答案　6.8 解析　依題意知，運(yùn)動員在5次比賽中的分?jǐn)?shù)依次為8,9,10,13,15，其平均數(shù)為＝11. 由方差公式得s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8. 4． 一個容量為20的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： [10,20)，2；[20,30)，3；[30,

8、40)，x；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70)，2；則x＝________；根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，數(shù)據(jù)落在[10,50)的概率約為________． 答案　4　0.7 解析　x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4， P＝＝0.7或P＝1－＝0.7. 5． 某雷達(dá)測速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70 km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰，如圖是某路段的一個檢測點(diǎn)對200輛汽車的車速進(jìn)行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有 (　　) A．30輛 B．40輛 C．60輛 D．80輛 答案　B 解

9、析　由題圖可知，車速大于或等于70 km/h的汽車的頻率為0.02×10＝0.2，則將被處罰的汽車大約有200×0.2＝40(輛). 題型一　頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用 例1　某校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué) 生，將其物理成績(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…， [90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信 息，回答下列問題： (1)求分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖； (2)統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)本次考試中的平均分． 思維啟迪：利用各小長方

10、形的面積和等于1求分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率，再補(bǔ)齊頻率分布直方圖． 解　(1)設(shè)分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示． (2)平均分為x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)． 探究提高　頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布，從這個直方圖上可以求出樣本數(shù)據(jù)在各個組的頻率分布．根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣

11、本(或者總體)的平均值時，一般是采取組中值乘以各組的頻率的方法． 　某種袋裝產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每袋100克，但工人在包裝過程中一般有誤差，規(guī)定誤差在2克以內(nèi)的產(chǎn)品均合格．由于操作熟練，某工人在包裝過程中不稱重直接包裝，現(xiàn)對其包裝的產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽查，抽查30袋產(chǎn)品獲得的數(shù)據(jù)如下： 質(zhì)量(單位：克) 數(shù)量(單位：袋) [90,94) 2 [94,98) 6 [98,102) 12 [102,106) 8 [106,110] 2 (1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)繪制產(chǎn)品質(zhì)量的頻率分布直方圖； (2)估計(jì)該工人包裝的產(chǎn)品的平均質(zhì)量的估計(jì)值是多少． 解　(1)頻率分布直方圖如下：

12、 (2)×92＋×96＋×100＋×104＋×108≈100.27(克)． 題型二　莖葉圖的應(yīng)用 例2　某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個優(yōu)良品種B進(jìn)行對照試驗(yàn)．兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下： 品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430, 430,434,443,445,445,451,454 品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394

13、,395,397,397,400,401,401,403,406,407, 410,412,415,416,422,430 (1)作出數(shù)據(jù)的莖葉圖； (2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？ (3)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論． 思維啟迪：作莖葉圖時，將高位(十位與百位)作為莖，低位(個位)作為葉，逐個統(tǒng)計(jì)；根據(jù)莖葉圖分析兩組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，可以得出結(jié)論． 解　(1)如下圖 (2)由于每個品種的數(shù)據(jù)都只有25個，樣本不大，畫莖葉圖很方便；此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒有任何信息損失，而且還可以隨時記錄新的數(shù)據(jù)．

14、 (3)通過觀察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差． 探究提高　(1)莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況． (2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況． 　(1) 如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和是________． (2)甲、乙兩個體能康復(fù)訓(xùn)練小組各有10名組員，經(jīng)過一段時間訓(xùn)練后，某項(xiàng)體能測試結(jié)果的莖葉圖如圖所示，則這兩個小組中體能

15、測試平均成績較高的是________組． 答案　(1)64　(2)甲 解析　(1)∵甲的中位數(shù)為28，乙的中位數(shù)為36， ∴甲、乙得分中位數(shù)之和為28＋36＝64. (2)∵甲＝ ＝75.5， 乙＝＝75.4， ∴甲>乙． 題型三　用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 例3　甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)； (2)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的方差； (3)根據(jù)計(jì)算結(jié)果，估計(jì)一下兩名戰(zhàn)士的射擊水平誰更好一些． 思維

16、啟迪：根據(jù)公式計(jì)算平均數(shù)和方差，然后利用平均數(shù)和方差的意義進(jìn)行估計(jì)． 解　(1)甲＝(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(環(huán))， 乙＝(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(環(huán))． (2)由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]可求得s＝3.0(環(huán)2)，s＝1.2(環(huán)2)． (3)由甲＝乙，說明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當(dāng)； 又∵s>s，說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動大，因此乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定． 探究提高　平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，

17、方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大?。? 　(1)如右圖是某電視臺綜藝節(jié)目舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為 (　　) A．84,4.84 B．84,1.6 C．85,4 D．85,1.6 (2)(2012·山東)在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是 (　　) A．眾數(shù)

18、 B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．標(biāo)準(zhǔn)差 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)由莖葉圖可知評委打出的最低分為79，最高分為93，其余得分為84,84,86,84,87， 故平均分為＝85， 方差為[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6. (2)對樣本中每個數(shù)據(jù)都加上一個非零常數(shù)時不改變樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都發(fā)生改變． 統(tǒng)計(jì)圖表識圖不準(zhǔn)致誤 典例：(4分)從某校高三年級隨機(jī)抽取一個班，對該班50名學(xué)生的高校招生體檢表中的視力情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示： 若某高校A專業(yè)對視力的要求在0

19、.9以上，則該班學(xué)生中能報(bào)A專業(yè)的人數(shù)為________． 易錯分析　解題中易出現(xiàn)審題不仔細(xì)，又對所給圖形沒有真正理解清楚，將矩形的高誤認(rèn)為頻率或者對“0.9以上”的含義理解有誤． 解析　該班學(xué)生視力在0.9以上的頻率為(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.4，故能報(bào)A專業(yè)的人數(shù)為0.4×50＝20. 答案　20 溫馨提醒　頻率分布條形圖的縱軸(矩形的高)表示頻率；頻率分布直方圖的縱軸(矩形的高)表示頻率與組距的比值，其各小組的頻率等于該小組上的矩形的面積． 方法與技巧 1． 用樣本頻率分布來估計(jì)總體分布的重點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣

20、本頻率分布估計(jì)總體分布；難點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用．在計(jì)數(shù)和計(jì)算時一定要準(zhǔn)確，在繪制小矩形時，寬窄要一致．通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計(jì)． 2． 莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的．莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成，沒有損失任何樣本信息，可以隨時記錄；而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息，必須在完成抽樣后才能制作． 3． 若取值x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均值為x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均

21、數(shù)為a＋b，方差為a2s2. 失誤與防范 頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率/組距，每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率；條形圖的縱坐標(biāo)為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見的錯誤． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (2011·四川)有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： [11.5,15.5)　2　[15.5,19.5)　4　[19.5,23.5)　9 [23.5,27.5)　18　[27.5,31.5)　11　[31.5,35.5)　12 [35.5,39.5)　7　[39.

22、5,43.5)　3 根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，數(shù)據(jù)落在[31.5,43.5)的概率約是 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由條件可知，落在[31.5,43.5)的數(shù)據(jù)有12＋7＋3＝22(個)，故所求概率約為＝. 2． 為了了解高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，抽取了某班60名學(xué)生，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出其頻率分布直方圖(如圖)，已知從左到右各長方形高的比為2∶3∶5∶6∶3∶1，則該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在(80,100)之間的學(xué)生人數(shù)是 (　　) A．32 B．27 C．24 D．33 答案　D 解析

23、　80～100之間兩個長方形高占總體的比例為 ＝，即為頻數(shù)之比， ∴＝，∴x＝33. 3． 在某項(xiàng)體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下： 90　89　90　95　93　94　93 去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為 (　　) A．92,2 B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8 答案　B 解析　去掉最高分95和最低分89后，剩余數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝＝92，方差為s2＝[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8. 4． 如圖，樣本A和B分別取自兩個不同

24、的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為A和B，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB，則 (　　) A.A>B，sA>sB B.A<B，sA>sB C.A>B，sA<sB D.A<B，sA<sB 答案　B 解析　A中的數(shù)據(jù)都不大于B中的數(shù)據(jù)，所以A<B，但A中的數(shù)據(jù)比B中的數(shù)據(jù)波動幅度大，所以sA>sB. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． (2012·廣東)由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為_____________

25、___．(從小到大排列) 答案　1,1,3,3 解析　假設(shè)這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為x1，x2，x3，x4， 則 ∴ 又s＝ ＝ ＝＝1， ∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2. 同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2. 由x1，x2，x3，x4均為正整數(shù)，且(x1，x2)，(x3，x4)均為圓(x－2)2＋(y－2)2＝2上的點(diǎn)，分析知x1，x2，x3，x4應(yīng)為1,1,3,3. 6． (2012·山東)如圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是[20.5,26.5]，樣本數(shù)據(jù)的分組為[20.5

26、,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知樣本中平均氣溫低于22.5 ℃的城市個數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5 ℃的城市個數(shù)為________． 答案　9 解析　最左邊兩個矩形面積之和為0.10×1＋0.12×1＝0.22，總城市數(shù)為11÷0.22＝50，最右面矩形面積為0.18×1＝0.18，50×0.18＝9. 7． 將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，

27、且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n＝________. 答案　60 解析　∵第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1， ∴前三組頻數(shù)和為·n＝27，故n＝60. 三、解答題(共22分) 8． (10分)甲乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖． (1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差； (2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價． 解　(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． 甲＝＝13， 乙＝＝13， s＝[(10

28、－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s>s可知乙的成績較穩(wěn)定． 從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高． 9． (12分)(2012·廣東)某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求圖中a的值； (2)根據(jù)

29、頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分； (3)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50,90)之外的人數(shù). 分?jǐn)?shù)段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 解　(1)由頻率分布直方圖知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005. (2)由頻率分布直方圖知這100名學(xué)生語文成績的平均分為55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×

30、0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)． (3)由頻率分布直方圖知語文成績在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20. 由題中給出的比例關(guān)系知數(shù)學(xué)成績在上述各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為5,40×＝20,30×＝40,20×＝25. 故數(shù)學(xué)成績在[5

31、0,90)之外的人數(shù)為100－(5＋20＋40＋25)＝10. B組　專項(xiàng)能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． (2011·重慶)從一堆蘋果中任取10只，稱得它們的質(zhì)量如下(單位：克)：125　120　122　105　130　114　116　95　120　134 則樣本數(shù)據(jù)落在[114.5,124.5]內(nèi)的頻率為 (　　) A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 答案　C 解析　落在[114.5,124.5]內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)為120,122,116,120，共4個，故所求頻

32、率為＝0.4. 2． 為了了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖所示．由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b，則a，b的值分別為 (　　) A．0.27,78 B．0.27,83 C．2.7,78 D．2.7,83 答案　A 解析　由題意，4.5到4.6之間的頻率為0.09,4.6到4.7之間的頻率為0.27，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則有6×0.27＋1

33、5d＝1－0.01－0.03－0.09，解得d然后可求得各組頻率(也可用排除法)． 3． 一個樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的兩根，則這個樣本的方差是 (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　x2－5x＋4＝0的兩根是1,4. 當(dāng)a＝1時，a,3,5,7的平均數(shù)是4， 當(dāng)a＝4時，a,3,5,7的平均數(shù)不是1. ∴a＝1，b＝4.則方差s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5，故選C. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4．

34、從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)．由圖中數(shù)據(jù)可知a＝____________.若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動，則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為________． 答案　0.030　3 解析　∵小矩形的面積等于頻率，∴除[120,130)外的頻率和為0.700，∴a＝＝0.030.由題意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的學(xué)生分別為30人，20人，10人，∴由分層抽樣可知抽樣比為＝，

35、∴在[140,150]中選取的學(xué)生應(yīng)為3人． 5． 某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為________． 答案　4 解析　由題意可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，設(shè)x＝10＋t，y＝10－t，|x－y|＝2|t|＝4. 6． 已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是________、________. 答案　10.5　10.5 解析　∵中位數(shù)為10.5

36、， ∴＝10.5，a＋b＝21， ∵＝＝10， ∴s2＝[(2－10)2＋(3－10)2＋(3－10)2＋(7－10)2＋(a－10)2＋(b－10)2＋(12－10)2＋(13.7－10)2＋(18.3－10)2＋(20－10)2]． 令y＝(10－a)2＋(10－b)2＝2a2－42a＋221 ＝22＋， 當(dāng)a＝10.5時，y取最小值，方差s2也取最小值． ∴a＝10.5，b＝10.5. 三、解答題 7． (13分)某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位：t)的分組及各組的頻數(shù)如下： [0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；[

37、2,2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；[4,4.5)，2. (1)列出樣本的頻率分布表； (2)畫出頻率分布直方圖，并根據(jù)直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)； (3)當(dāng)?shù)卣贫巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn)，若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費(fèi)，當(dāng)?shù)卣f，85%以上的居民不超過這個標(biāo)準(zhǔn)，這個解釋對嗎？為什么？ 解　(1)頻率分布表 分組 頻數(shù) 頻率 [0,0.5) 4 0.04 [0.5,1) 8 0.08 [1,1.5) 15 0.15 [1.5,2) 22 0.22 [2,2.5) 25 0.25 [2.5,3) 14 0.14 [3,3.5) 6 0.06 [3.5,4) 4 0.04 [4,4.5) 2 0.02 合計(jì) 100 1 (2)頻率分布直方圖如圖： 眾數(shù)：2.25，中位數(shù)：2.02，平均數(shù)：2.02. (3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例為6%＋4%＋2%＝12%，即大約有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解釋是正確的． 16