【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系學(xué)案 理 新人教A版

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1、 學(xué)案42　空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的含義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題． 自主梳理 1．平面的基本性質(zhì) 公理1：如果一條直線上的________在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)． 公理2：過______________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． 公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有________過該點(diǎn)的公共直線． 2．直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類 (2)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩

2、條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的____________叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)． ②范圍：______________. 3．直線與平面的位置關(guān)系有________、______、________三種情況． 4．平面與平面的位置關(guān)系有______、______兩種情況． 5．平行公理 平行于______________的兩條直線互相平行． 6．定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角____________． 自我檢測 1．(2011泉州月考)若直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，則直線a與c的位置

3、關(guān)系是(　　) A．相交 B．相交或異面 C．平行或異面 D．平行、相交或異面 2．已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，則c與b(　　) A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 3．如圖所示，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是(　　) 4．(2010全國Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于(　　) A．30 B．45 C．60 D．

4、90 5．下列命題： ①空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面； ②有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合； ③空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面； ④三角形是平面圖形； ⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形； ⑥垂直于同一直線的兩直線平行； ⑦一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交； ⑧兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形． 其中正確的命題是________．(填序號) 探究點(diǎn)一　平面的基本性質(zhì) 例1　 如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于H，連接EH. (

5、1)求AH∶HD； (2)求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn)． 變式遷移1　 如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且EH與FG相交于點(diǎn)O. 求證：B、D、O三點(diǎn)共線． 探究點(diǎn)二　異面直線所成的角 例2　(2009全國Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 變式遷移2　(2011淮南月考)在空間四邊形ABCD中，已知AD＝1，

6、BC＝，且AD⊥BC，對角線BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角． 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 例　 (12分)如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60. (1)求四棱錐的體積； (2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值． 多角度審題　對(1)只需求出高PO，易得體積；對(2)可利用定義，過E點(diǎn)作PA的平行線，構(gòu)造三角形再求解． 【答題模板】 解　(1)在四棱錐P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD， ∴∠PBO是PB與

7、平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60，[2分] 在Rt△AOB中，∵BO＝ABsin 30＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BOtan 60＝， ∵底面菱形的面積S＝222＝2， ∴四棱錐P—ABCD的體積VP—ABCD＝2＝2.[6分] (2) 取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF， ∵E為PB中點(diǎn)，∴EF∥PA， ∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角)．[8分] 在Rt△AOB中， AO＝ABcos 30＝， ∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝. 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝， 由余弦定理得cos∠DEF＝[10分] ＝＝＝. 所以異面

8、直線DE與PA所成角的余弦值為.[12分] 【突破思維障礙】 求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決．根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無關(guān)，往往將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上，特別地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面線段的端點(diǎn)．總之，頂點(diǎn)的選擇要與已知量有關(guān)，以便于計(jì)算，具體步驟如下： (1)利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上；(2)證明作出的角即為所求角；(3)利用三角形來求解，異面直線所成角的范圍是(0，90]． 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 1

9、．求異面直線所成的角時(shí)，僅指明哪個(gè)角，而不進(jìn)行證明． 2．忘記異面直線所成角的范圍，余弦值回答為負(fù)值． 1．利用平面基本性質(zhì)證明“線共點(diǎn)”或“點(diǎn)共線”問題： (1)證明共點(diǎn)問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上，有時(shí)也可將問題轉(zhuǎn)化為證明三點(diǎn)共線． (2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線． 2．異面直線的判定方法： (1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)． (2)反證法：用此方法可以證明兩直線是異面直線． 3．求異面直線所成的角的步驟： (1)一般是

10、用平移法(可以借助三角形的中位線、平行四邊形等)作出異面直線的夾角； (2)證明作出的角就是所求的角； (3)利用條件求出這個(gè)角； (4)如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是(　　) A．異面 B．相交 C．平行 D．異面或相交 2．給出下列命題： ①若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；②若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a

11、與c異面；③一定存在平面α同時(shí)和異面直線a、b都平行．其中正確的命題為(　　) A．① B．② C．③ D．①③ 3．(2011寧德月考) 如圖所示，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點(diǎn)，將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為(　　) A．90 B．60 C．45 D．0 4．(2009全國Ⅱ)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D

12、. 5．(2011三明模擬)正四棱錐S—ABCD的側(cè)棱長為，底面邊長為，E為SA的中點(diǎn)，則異面直線BE和SC所成的角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論： ①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.則正確結(jié)論的序號是______． 7．(2009四川)如圖所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________． 8．如圖所示，正四

13、面體P—ABC中，M為棱AB的中點(diǎn)，則PA與CM所成角的余弦值為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2011溫州月考) 如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)． 求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)． 10．(12分) 在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P，Q，R分別是棱CC1，A1D1，A1B1的中點(diǎn)，畫出過這三點(diǎn)的截面，并求這個(gè)截面的周長． 11．(14分)(2011舟山模擬) 如圖，正方體ABCD—A

14、1B1C1D1的棱長為2，E為AB的中點(diǎn)． (1)求證：AC⊥平面BDD1； (2)求異面直線BD1與CE所成角的余弦值． (3)求點(diǎn)B到平面A1EC的距離． 學(xué)案42　空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 自主梳理 1．兩點(diǎn)　不在一條直線上　一條　2.(1)平行　相交 (2)①銳角或直角?、凇?.平行　相交　在平面內(nèi) 4．平行　相交　5.同一條直線　6.相等或互補(bǔ) 自我檢測 1．D　[a，c都與直線b異面，并不能確定直線a，c的關(guān)系．] 2．C　[a，b是異面直線，直線c∥直線a. 因而cD b， 否則，若c∥b，則a∥b與已知矛

15、盾， 因而cDb.] 3．C　[A中PQ∥RS；B中RS∥PQ； D中RS和PQ相交．] 4．C　[ 將直三棱柱ABC—A1B1C1補(bǔ)成如圖所示的幾何體． 由已知易知：該幾何體為正方體． 連接C1D，則C1D∥BA1. ∴異面直線BA1與AC1所成的角為∠AC1D(或補(bǔ)角)， 在等邊△AC1D中，∠AC1D＝60.] 5．④ 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　證明線共點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn)，由公理3得證． (1)解　∵＝＝2，∴EF∥AC. ∴EF∥平面ACD.而EF?平面EFGH， 且平面EF

16、GH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH. 而EF∥AC，∴AC∥GH. ∴＝＝3，即AH∶HD＝3∶1. (2)證明　∵EF∥GH，且＝，＝， ∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形． 令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD， P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點(diǎn)． 變式遷移1　證明　∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD. 同理可證O∈平面BCD， ∴O∈平面ABD∩平面BCD， 即O∈BD，∴B、D、O三點(diǎn)共線． 例

17、2　解題導(dǎo)引　高考中對異面直線所成角的考查，一般出現(xiàn)在綜合題的某一步，求異面直線所成角的一般步驟為： (1)平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn)． (2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角． (3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之． (4)取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角θ的取值范圍是0<θ≤90，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角． D　[ 如圖，A1D⊥平面ABC，且D為BC的中點(diǎn)，設(shè)三棱柱的各棱長為1，則AD＝，由A1D⊥平面

18、ABC知A1D＝，Rt△A1BD中，易求A1B＝＝. ∵CC1∥AA1，∴AB與AA1所成的角即為AB與CC1所成的角．在△A1BA中，由余弦定理可知cos∠A1AB＝＝.∴AB與CC1所成的角的余弦值為.] 變式遷移2　解　 如圖所示，分別取AD、CD、AB、BD的中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、FH、HG、GE、GF. 由三角形的中位線定理知，EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角． 同理，GH∥AD，HF∥BC.GH＝，HF＝， 又AD⊥BC，∴∠GHF＝90，∴GF2＝GH2＋HF2＝1. 在△EFG中，EG2＋

19、EF2＝1＝GF2， ∴∠GEF＝90，即AC和BD所成的角為90. 課后練習(xí)區(qū) 1．D 2．C　[①錯(cuò)，c可與a、b都相交； ②錯(cuò)，因?yàn)閍、c可能相交也可能平行； ③正確，例如過異面直線a、b的公垂線段的中點(diǎn)且與公垂線垂直的平面即可滿足條件．] 3．B　[ 將三角形折成三棱錐，如圖所示，HG與IJ為一對異面直線，過D分別作HG與IJ的平行線， 因GH∥DF， IJ∥AD， 所以∠ADF為所求， 因此HG與IJ所成角為60.] 4．C　[ 如圖所示，連接A1B，則A1B∥C D1故異面直線BE與CD1所成的角即為BE與A1B所成的角．設(shè)AB＝a，則A1E＝a

20、，A1B＝a， BE＝a. △A1BE中，由余弦定理得 cos∠A1BE＝ ＝＝.] 5．C　[設(shè)AC中點(diǎn)為O，則OE∥SC，連接BO，則∠BEO(或其補(bǔ)角)即為異面直線BE和SC所成的角， EO＝SC＝，BO＝BD＝， 在△SAB中，cos A＝＝＝ ＝，∴BE＝. 在△BEO中，cos∠BEO＝＝， ∴∠BEO＝60. ] 6．①③ 解析　把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖所示，易知AB⊥EF，AB∥CM，EF與MN異面，MN⊥CD，故①③正確． 7．90 解析　延長A1B1至D，使A1B1＝B1D，則AB1∥BD， ∠MBD就是直線A

21、B1和BM所成的角．設(shè)三棱柱的各條棱長為2， 則BM＝，BD＝2， C1D2＝A1D2＋A1C－2A1DA1C1cos 60 ＝16＋4－24＝12. DM2＝C1D2＋C1M2＝13， ∴cos∠DBM＝＝0，∴∠DBM＝90. 8. 解析　如圖，取PB中點(diǎn)N，連接CN、MN. ∠CMN為PA與CM所成的角(或補(bǔ)角)， 設(shè)PA＝2，則CM＝， MN＝1，CN＝. ∴cos∠CMN＝＝. 9．證明　(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B， ∵E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)， ∴EF∥A1B，且EF＝A1B，(2分) 又∵A1D1綊BC， ∴四邊形A1B

22、CD1是平行四邊形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF與CD1確定一個(gè)平面α， ∴E，F(xiàn)，C，D1∈α， 即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(6分) (2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1， ∴四邊形CD1FE是梯形， ∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，(8分) 則P∈CE?平面ABCD，且P∈D1F?平面A1ADD1， ∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.(10分) 又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， ∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．(12分) 10．解　如圖所示，連接QR并延長，分別與C1B1，C1D1的延長線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．

23、連接EP交BB1于M點(diǎn)， 連接FP交DD1于N點(diǎn)． 再連接RM，QN，則五邊形PMRQN為過三點(diǎn)P，Q，R的截面．(3分) 由Q，R分別是邊A1D1，A1B1的中點(diǎn)，知△QRA1≌△ERB1，(6分) ∴B1E＝QA1＝a， 由△EB1M∽△EC1P， 知EM∶EP＝EB1∶EC1＝1∶3，(9分) PM＝EP＝＝a， 同理PN＝PM＝a， 易求RM＝QN＝a，QR＝a， ∴五邊形PMRQN的周長為a. (12分) 11．(1)證明　由已知有D1D⊥平面ABCD 得AC⊥D1D，又由ABCD是正方形， 得AC⊥BD，∵D1D與BD相交，∴AC⊥平面BDD1.(4分)

24、 (2)解　延長DC至G，使CG＝EB，連接BG、D1G， ∵CG綊EB，∴四邊形EBGC是平行四邊形． ∴BG∥EC. ∴∠D1BG就是異面直線BD1與CE所成的角．(6分) 在△D1BG中，D1B＝2， BG＝，D1G＝＝. ∴cos∠D1BG＝ ＝＝. ∴異面直線BD1與CE所成角的余弦值是.(8分) (3)解　連接A1B， ∵△A1AE≌△CBE，∴A1E＝CE＝. 又∵A1C＝2， ∴點(diǎn)E到A1C的距離d＝＝. ∴S△A1EC＝A1Cd＝， S△A1EB＝EBA1A＝1.(11分) 又∵VB—A1EC＝VC—A1EB， 設(shè)點(diǎn)B到平面A1EC的距離為h， ∴S△A1ECh＝S△A1EBCB，∴h＝2，h＝. ∴點(diǎn)B到平面A1EC的距離為.(14分) 12