【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.4平面向量的應(yīng)用教案 理 新人教A版

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1、 5.4　平面向量的應(yīng)用 2014高考會(huì)這樣考　1.考查向量與平面幾何知識(shí)、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用；2.考查向量的物理應(yīng)用，利用向量解決一些實(shí)際問(wèn)題． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.掌握向量平行、垂直的條件和數(shù)量積的意義，會(huì)求一些角、距離；2.體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，重視向量的工具性作用． 1． 向量在平面幾何中的應(yīng)用 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題． (1)證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用共線向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)

2、算性質(zhì) a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式 cos θ＝＝ (θ為a與b的夾角)． 2． 平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識(shí)來(lái)解決． (2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，這是力F與位移s的數(shù)量積．即W＝Fs＝|F||s|cos θ (θ為F與s的夾角)． 3． 平面向量與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯 平面向量作為一個(gè)運(yùn)算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)結(jié)合，當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)

3、系式．在此基礎(chǔ)上，可以求解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問(wèn)題． 此類(lèi)問(wèn)題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)． [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1． 向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀，向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物．在利用向量解決問(wèn)題時(shí)，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合． 2． 要注意變換思維方式，能從不同角度看問(wèn)題，要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題． 1． 一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1，F(xiàn)2成120角，且F1，F(xiàn)2

4、的大小分別為1和2，則F1與F3所成的角為_(kāi)_______． 答案　90 解析　如圖，F(xiàn)3＝－(F1＋F2)． 在?OACB中，|OA|＝1，|AC|＝2， ∠OAC＝60， ∴|OC|＝ ＝， ∴∠AOC＝90，即⊥，∴F1⊥F3. 2． 平面上有三個(gè)點(diǎn)A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)____． 答案　y2＝8x (x≠0) 解析　由題意得＝，＝， 又⊥，∴＝0， 即＝0，化簡(jiǎn)得y2＝8x (x≠0)． 3． 河水的流速為2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為_(kāi)_______． 答案　

5、2 m/s 解析　如圖所示小船在靜水中的速度為 ＝2 m/s. 4． 已知A、B是以C為圓心，半徑為的圓上的兩點(diǎn)，且||＝，則等于(　　) A．－ B. C．0 D. 答案　A 解析　∵||＝＝r，∴∠ACB＝60， ＝－＝－||||cos∠ACB ＝－cos 60＝－. 5． a，b為非零向量，“a⊥b”是“函數(shù)f(x)＝(xa＋b)(xb－a)為一次函數(shù)”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　因?yàn)閒(x)＝(xa＋b)(xb－a)＝(ab)x2＋(|b|

6、2－|a|2)x－ab.當(dāng)f(x)為一次函數(shù)時(shí)，必須滿足即故f(x)為一次函數(shù)時(shí)一定有a⊥b.當(dāng)a⊥b且|a|＝|b|時(shí)，f(x)為常函數(shù)，所以“a⊥b”不是“f(x)為一次函數(shù)”的充分條件，故選B. 題型一　應(yīng)用平面向量的幾何意義解題 例1　平面上的兩個(gè)向量，滿足||＝a，||＝b，且⊥，a2＋b2＝4.向量＝x＋y (x，y∈R)，且a22＋b22＝1. (1)如果點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，求證：＝＋； (2)求||的最大值，并求此時(shí)四邊形OAPB面積的最大值． 思維啟迪：對(duì)第(1)問(wèn)，可先求，再由條件即可得到結(jié)論；對(duì)第(2)問(wèn)，先設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，進(jìn)而利用第(1)問(wèn)的結(jié)論

7、，并由條件確定P，O，A，B四點(diǎn)共圓，結(jié)論即可得到． (1)證明　因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)， 所以＝＋. 所以＝－＝(x＋y)－ ＝＋. (2)解　設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)， 則由⊥，知||＝||＝||＝||＝1. 又由(1)及a22＋b22＝1，得 ||2＝|－|2＝22＋22 ＝2a2＋2b2＝1. 所以||＝||＝||＝||＝1. 故P，O，A，B四點(diǎn)都在以M為圓心、1為半徑的圓上，所以當(dāng)且僅當(dāng)OP為圓M的直徑時(shí)，||max＝2. 這時(shí)四邊形OAPB為矩形，則S四邊形OAPB＝||||＝ab≤＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，四邊形OAPB的面積最大，最大值為2. 探究

8、提高　本題是一道典型的考查向量幾何意義的應(yīng)用問(wèn)題．求解第(2)問(wèn)的難點(diǎn)就是如何利用第(1)問(wèn)的結(jié)論來(lái)解決新的問(wèn)題，突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵主要是從設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)入手，借助條件及第(1)問(wèn)的結(jié)論，去探究||的最大值問(wèn)題． 在△ABC所在平面上有一點(diǎn)P，滿足＋＋＝，則△PAB與△ABC的面積之比是 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由已知可得＝2，∴P是線段AC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A)，易知S△PAB＝S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3. 題型二　平面向量在物理計(jì)算題中的應(yīng)用 例2　質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，

9、F2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為_(kāi)_______． 答案　2 解析　方法一　由已知條件F1＋F2＋F3＝0， 則F3＝－F1－F2，F(xiàn)＝F＋F＋2|F1||F2|cos 60＝28. 因此，|F3|＝2. 方法二　如圖，||2＝|F1|2＋ |F2|2－2|F1||F2|cos 60＝12， 則||2＋||2＝||2， 即∠OF1F2為直角， |F3|＝2＝2. 如圖所示，已知力F與水平方向的夾角為30(斜向 上)，F(xiàn)的大小為50 N，F(xiàn)拉著一個(gè)重80 N的木塊在摩擦因數(shù)μ ＝0.0

10、2的水平平面上運(yùn)動(dòng)了20 m，問(wèn)F、摩擦力f所做的功分別 為多少？ 解　設(shè)木塊的位移為s， 則Fs＝|F||s|cos 30＝5020＝500 (J)， F在豎直方向上的分力大小為 |F|sin 30＝50＝25(N)， 所以摩擦力f的大小為|f|＝(80－25)0.02＝1.1(N)， 所以fs＝|f||s|cos 180＝1.120(－1)＝－22(J)． ∴F，f所做的功分別為500 J，－22 J. 題型三　平面向量與三角函數(shù)的交匯 例3　已知在銳角△ABC中，兩向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，且

11、p與q是共線向量． (1)求A的大??； (2)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos取最大值時(shí)，B的大?。? 解　(1)∵p∥q， ∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(cos A＋sin A)(sin A－cos A)＝0， ∴sin2A＝，sin A＝， ∵△ABC為銳角三角形，∴A＝60. (2)y＝2sin2B＋cos ＝2sin2B＋cos ＝2sin2B＋cos(2B－60) ＝1－cos 2B＋cos(2B－60) ＝1－cos 2B＋cos 2Bcos 60＋sin 2Bsin 60 ＝1－cos 2B＋sin 2B＝1＋sin(2B－30)， 當(dāng)2B－3

12、0＝90，即B＝60時(shí)，函數(shù)取最大值2. 探究提高　向量與三角函數(shù)的結(jié)合往往是簡(jiǎn)單的組合．如本題中的條件通過(guò)向量給出，根據(jù)向量的平行得到一個(gè)等式．向量與其他知識(shí)的結(jié)合往往也是這種簡(jiǎn)單組合，因此這種題目較為簡(jiǎn)單． △ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，設(shè)向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，則角B的大小為_(kāi)_______． 答案　 解析　∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0，又∵＝＝， 則化簡(jiǎn)得a2＋c2－b2＝－ac， ∴cos B＝＝－，∵0

13、與解析幾何的綜合問(wèn)題 例4　已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且＝0. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； (2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求的最小值． 解　(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)． 由＝0， 得||2－||2＝0，即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0， 化簡(jiǎn)得＋＝1. 所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為＋＝1. (2)因＝(－)(－) ＝(－－)(－) ＝(－)2－2＝2－1， P是橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，設(shè)P(x0，y0)， 則有＋＝1，即x＝16－， 又N(0,1)，所以2＝x＋(y

14、0－1)2 ＝－y－2y0＋17＝－(y0＋3)2＋20. 因y0∈[－2，2]， 所以當(dāng)y0＝2時(shí)，2取得最小值(2－1)2＝13－4，(此時(shí)x0＝0)，故的最小值為12－4. 探究提高　本題是平面向量與解析幾何的綜合性問(wèn)題，涉及向量數(shù)量積的基本運(yùn)算，數(shù)量積的求解以及軌跡、直線和曲線等問(wèn)題，該題的難點(diǎn)是向量條件的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，破解此問(wèn)題應(yīng)從向量的坐標(biāo)運(yùn)算入手，這也是解決解析幾何問(wèn)題的基本方法——坐標(biāo)法．在解題過(guò)程中應(yīng)該注意結(jié)合向量的有關(guān)運(yùn)算技巧，先化簡(jiǎn)后運(yùn)算． 已知圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及點(diǎn)A(1,1)，M是圓C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段MA的延長(zhǎng)線上，且＝2，求點(diǎn)N的

15、軌跡方程． 解　設(shè)M(x0，y0)、N(x，y)．由＝2得 (1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)， ∴　∵點(diǎn)M(x0，y0)在圓C上， ∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4， 即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4. ∴x2＋y2＝1. ∴所求點(diǎn)N的軌跡方程是x2＋y2＝1. 利用平面向量解三角形 典例：(12分)已知角A，B，C是△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對(duì)邊長(zhǎng)，向量m＝，n＝，m⊥n. (1)求角A的大??； (2)若a＝2，cos B＝，求b的長(zhǎng)． 審題視角　先根據(jù)m⊥n，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積將已知條件轉(zhuǎn)化成三角形中邊、角的條件，然后利

16、用正弦定理或余弦定理解題． 規(guī)范解答 解　(1)已知m⊥n， 所以mn＝ ＝sin A－(cos A＋1)＝0，[2分] 即sin A－cos A＝1，即sin＝，[4分] 因?yàn)?

17、余弦定理解三角形； 第四步：反思回顧，檢查所得結(jié)果是否適合題意作答． 溫馨提醒　解三角形問(wèn)題要分析清楚題目條件，利用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為三角形中各邊之間的關(guān)系或各角之間的關(guān)系，靈活進(jìn)行變形．向量只是題目的載體，三角形中的條件及轉(zhuǎn)化才是解題關(guān)鍵. 方法與技巧 1．向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問(wèn)題． 2．以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題．通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法． 3．用向量方法解決平面幾何問(wèn)

18、題的步驟 (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題； (2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系； (3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 4．解析幾何問(wèn)題和向量的聯(lián)系：可將向量用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，利用向量運(yùn)算及性質(zhì)解決解析幾何問(wèn)題． 失誤與防范 1．注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系：兩者并不等價(jià)． 2．注意向量的共線和直線平行的關(guān)系． 3．構(gòu)造向量解題：要根據(jù)題目需要靈活構(gòu)造向量． A組　專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 在△ABC中，已知向量與滿足＝0且＝，則△A

19、BC為(　　) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 答案　A 解析　因?yàn)榉橇阆蛄颗c滿足＝0，所以∠BAC的平分線垂直于BC，所以AB＝AC. 又cos∠BAC＝＝，所以∠BAC＝. 所以△ABC為等邊三角形． 2． 已知|a|＝2|b|，|b|≠0且關(guān)于x的方程x2＋|a|x－ab＝0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是 (　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　由已知可得Δ＝|a|2＋4ab＝0， 即4|b|2＋42|b||b|cos θ

20、＝0， ∴cos θ＝－，又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 3． 已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若＝λ＋，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在(　　) A．△ABC的內(nèi)部 B．AC邊所在直線上 C．AB邊所在直線上 D．BC邊所在直線上 答案　B 解析　由題意知：－＝λ， 即＋＝λ，∴＝λ，即與共線， ∴點(diǎn)P在AC邊所在直線上． 4．已知點(diǎn)A(－2,0)、B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足＝x2，則點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 答案　D 解析?。?－2－x，－y)，＝(3－x，－y)， ∴＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴

21、y2＝x＋6. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若＝＝1，那么c＝________. 答案　 解析　由題意知＋＝2， 即－＝(＋) ＝2＝2?c＝||＝. 6． 已知在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足不等式0≤≤1,0≤≤1，則z＝的最大值為_(kāi)_______． 答案　3 解析　＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)， ∴＝x＋y，＝y(tǒng)， 即在條件下，求z＝2x＋3y的最大值，由線性規(guī)劃知識(shí)，當(dāng)x＝0，y＝1時(shí)，zmax＝3. 7． 已知在△ABC

22、中，＝a，＝b，ab<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，則∠BAC＝________. 答案　150 解析　∵<0，∴∠BAC為鈍角， 又S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝. ∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE＝2EB，求證：AD⊥CE. 證明　建立如圖所示的直角坐標(biāo)系， 設(shè)A(a,0)，則B(0，a)，E(x，y)． ∵D是BC的中點(diǎn)，∴D. 又∵＝2， 即(x－a，y)＝2(－x，a－y)， ∴解得x＝，y＝a. ∵＝－(a,

23、0)＝， ＝＝， ∴＝(－a)＋a ＝－a2＋a2＝0. ∴⊥，即AD⊥CE. 9． (12分)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)． (1)若x＝，求向量a與c的夾角； (2)當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)f(x)＝2ab＋1的最大值，并求此時(shí)x的值． 解　(1)設(shè)a與c的夾角為θ，當(dāng)x＝時(shí)， a＝，cos θ＝ ＝＝－. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. (2)f(x)＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1 ＝sin 2x－cos 2x＝sin. 又x∈，∴2x－∈. ∴當(dāng)2x－＝，即x＝時(shí)， f(x)的最大值為＝1

24、. B組　專(zhuān)項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)＝a，＝b，則△OAB的面積等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)∠AOB＝θ，那么cos θ＝， 則sin θ＝＝， 那么△OAB的面積 S＝|a||b|sin θ ＝|a||b| ＝. 2. 如圖，△ABC的外接圓的圓心為O，AB＝2，AC＝3，BC＝，則 等于 (　　) A. B. C．2 D．3 答案　B 解析?。?－)＝－， 因?yàn)镺A＝OB，所以

25、在上的投影為||， 所以＝||||＝2， 同理＝||||＝， 故＝－2＝. 3． 已知向量m，n的夾角為，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中，＝m＋n，＝m－3n，D為BC邊的中點(diǎn)，則||等于 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　由題意知：||＝|＋| ＝|2m－2n|＝|m－n|＝＝1. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4. 給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120.如圖所示， 點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng)．若＝x＋y，其中x，y∈R， 則x＋y的最大值是________． 答案　2 解析　依題意

26、，||＝1，則||2＝1， 又＝x＋y，||＝||＝1，〈，〉＝120， ∴x22＋y22＋2xy＝1， 因此x2＋y2＋2xycos 120＝1，xy＝x2＋y2－1. ∴3xy＝(x＋y)2－1≤32，(x＋y)2≤4. ∴x＋y的最大值是2. 5． (2012湖南)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為 P，且AP＝3，則＝________. 答案　18 解析　根據(jù)向量的加法幾何意義及數(shù)量積運(yùn)算律求解． ∵＝(＋)＝＋ ＝＋(＋)＝＋2， 又∵AP⊥BD，∴＝0. ∵＝||||cos∠BAP＝||2， ∴＝2||2＝29＝18. 6． 已知直線

27、x＋y＝a與圓x2＋y2＝4交于A、B兩點(diǎn)，且|＋|＝|－|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 答案　2 解析　如圖所示，以O(shè)A、OB為邊作平行四邊形OACB，則由|＋|＝|－|得，平行四邊形OACB是矩形，⊥.由圖象得，直線y＝－x＋a在y軸上的截距為2. 三、解答題 7． (13分)帆船比賽是借助風(fēng)帆推動(dòng)船只在規(guī)定距離內(nèi)競(jìng)速的一項(xiàng)水上運(yùn)動(dòng)，如果一帆船所受的風(fēng)力方向?yàn)楸逼珫|30，速度為20 km/h，此時(shí)水的流向是正東，流速為20 km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向． 解　建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，風(fēng)的方向?yàn)楸逼珫|30，速度為|v1|＝20(km/h)，水流的方向?yàn)檎龞|，速度為|v2|＝20(km/h)， 設(shè)帆船行駛的速度為v， 則v＝v1＋v2. 由題意，可得向量v1＝(20cos 60，20sin 60)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)， 則帆船的行駛速度 v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)， 所以|v|＝＝20(km/h)． 因?yàn)閠an α＝＝(α為v和v2的夾角，α為銳角)， 所以α＝30. 所以帆船向北偏東60的方向行駛，速度為20 km/h. 15