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第六節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
考點一
對數(shù)式的化簡與求值
[例1] (1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n；
(2)計算；
(3)計算(log32＋log92)(log43＋log83)．
[自主解答] (1)法一：∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2an＝223＝12.
法二：∵loga2＝m，loga3＝n，
∴a2m＋n＝(am)2an＝(aloga2)2aloga3＝223＝12.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝＝＝1.
(3)原式＝
＝
2、
＝
＝.
【互動探究】
在本例(1)的條件下，求loga36的值．
解：loga36＝loga4＋loga9＝2＝2(m＋n)．
【方法規(guī)律】
對數(shù)運算的一般思路[來源:]
(1)首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算性質化簡合并．
(2)將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質，轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算．
1．計算100－＝________.
解析：原式＝＝－20.
答案：－20
2．設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m＝________.
解析：∵2a
3、＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m2＝10，∴m＝.
答案：
考點二
對數(shù)函數(shù)的圖象及其應用
[例2] (1)函數(shù)y＝logax與y＝－x＋a在同一坐標系中的圖象可能是( )
A B
C D
(2)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關系是( )
A．0
4、y＝logax的圖象為選項B，D中所示過(1,0)點的曲線，此時函數(shù)y＝－x＋a的圖象與y軸的交點的縱坐標a應滿足a＞1，選項B，D中所示的圖象都不符合要求；
當0＜a＜1時，函數(shù)y＝logax的圖象為選項A，C中所示過(1,0)點的曲線，此時函數(shù)y＝－x＋a的圖象與y軸的交點的縱坐標a應滿足0＜a＜1，選項A中所示的圖象符合要求，選項C中所示的圖象不符合要求．
(2)令g(x)＝2x＋b－1，這是一個增函數(shù)，而由圖象可知函數(shù)f(x)＝logag(x)是單調遞增的，所以必有a>1.
又由圖象知函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標介于－1和0之間，即－1
5、－1
6、＜x2
C．x1 ＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1
解析：選A 在同一坐標系中畫出三個函數(shù)的圖象及直線y＝a(a＜0)(圖略)，易知x1＞x3＞x2，故選A.
2．函數(shù)y＝log2|x＋1|的單調遞減區(qū)間為________，單調遞增區(qū)間為________．
解析：作出函數(shù)y＝log2x的圖象，將其關于y軸對稱得到函數(shù)y＝log2|x|的圖象，再將圖象向左平移1個單位長度就得到函數(shù)y＝log2|x＋1|的圖象(如圖所示)．由圖知，函數(shù)y＝log2|x＋1|的單調遞減區(qū)間為(－∞，－1)，單調遞增區(qū)間為(－1，＋∞)．
答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)
7、
高頻考點
考點三 對數(shù)函數(shù)的性質及其應用
1．對數(shù)函數(shù)的性質是每年高考的必考內容之一，多以選擇題或填空題的形式考查，難度低、中、高檔都有．[來源:]
2．高考對對數(shù)函數(shù)性質的考查主要有以下兩個命題角度：
(1)考查對數(shù)函數(shù)的定義域；
(2)考查對數(shù)函數(shù)的單調性在比較大小、解不等式、求最值等問題中的應用．
[例3] (1)(2013廣東高考)函數(shù)y＝的定義域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)[來源:]
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
(2)(2013新課標全國卷Ⅱ)設a＝log32，b＝lo
8、g52，c＝log23，則( )
A．a＞c＞b B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(3) (2014杭州模擬)設函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)[來源:]
(4)(2014中山模擬)已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，a≠1)，若f(x)＞1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．
[自主解答] (1)要使有意義，需
9、滿足x＋1＞0且x－1≠0，得x＞－1且x≠1.
(2)∵＜2＜3,1＜2＜，3＞2，∴l(xiāng)og3＜log32＜log33，log51＜log52＜log5，log23＞log22，
∴＜a＜1,0＜b＜，c＞1.
∴c＞a＞b.
(3)由題意可得
或
解得a＞1或－1＜a＜0.
(4)當a＞1時，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是減函數(shù)，由f(x)＞1恒成立，則f(x)min＝loga(8－2a)＞1，
解得1＜a＜.
若0＜a＜1時，f(x)在x∈[1,2]上是增函數(shù)，
由f(x)＞1恒成立，
則f(x)min＝loga(8－a)＞1，
且8－2a＞0，∴
10、a＞4，且a＜4，故不存在．
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.
[答案] (1)C (2)D (3)C (4)
對數(shù)函數(shù)的性質及其應用問題的常見類型及解題策略
(1)求函數(shù)的定義域．要注意對數(shù)函數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的取值范圍，列出對應的不等式(組)求解即可．
(2)比較對數(shù)式的大?。偃舻讛?shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調性直接進行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對底數(shù)進行分類討論．
②若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較．
③若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進行比較．
(3)解對數(shù)不等式．形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調
11、性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論；形如logax＞b的不等式，需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式．
1．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，則( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
解析：選C a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3＝5log3.
又∵log23.4＞log3＞1,0＜log43.6＜1，
∴5log23.4＞log30.3＞5log43.6，即a＞c＞b.
2．(2014嘉興模擬)已知函數(shù)f(x)＝log
12、a(3－ax)．
(1)當x∈[0,2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．
解：(1)∵a>0且a≠1，設t＝3－ax，則t＝3－ax為減函數(shù)，x∈[0,2]時，t最小值為3－2a.當x∈[0,2]時，f(x)恒有意義，即x∈[0,2]時，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0，即a<.
又a>0且a≠1，
∴a∈(0,1)∪.
(2)t＝3－ax，∵a>0，∴函數(shù)t(x)在R上為減函數(shù)．
∵f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，∴y
13、＝logat為增函數(shù)．∴a>1，x∈[1,2]時，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)，
∴即故這樣的實數(shù)a不存在．[來源:]
——————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
1種關系——指數(shù)式與對數(shù)式的互化
ab＝N?logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．
2個注意點——解決對數(shù)問題應注意的兩點
解決與對數(shù)有關的問題時：(1)務必先研究函數(shù)的定義域；(2)對數(shù)函數(shù)的單調性取決于底數(shù)a，應注意底數(shù)的取值范圍．
3個關鍵點——對數(shù)函數(shù)圖象的畫法
畫對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象應抓住三個關鍵點：(a,1)，(1,0)，.
4種方法——對數(shù)值的大小比較方法
(1) 化同底后利用函數(shù)的單調性；(2)作差或作商法；(3)利用中間量(0或1)；
(4)化同真數(shù)后利用圖象比較.
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高考數(shù)學復習：第二章 ：第六節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)突破熱點題型
