高考數學復習：第九章 ：第一節(jié)變化率與導數、導數的計算突破熱點題型

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1、△+△2019年數學高考教學資料△+△ 第一節(jié)　變化率與導數、導數的計算 [來源:] 考點一 導數的計算 　 [例1]　求下列函數的導數：[來源:] (1)y＝(1－)；(2)y＝； (3)y＝tan x； (4)y＝3xex－2x＋e； (5)y＝. [自主解答]　(1)∵y＝(1－)＝－＝x－－x， ∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－. (2)y′＝′＝＝＝. (3)y′＝′＝＝＝. (4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln 3)ex＋3xex－2xln 2＝

2、(ln 3＋1)(3e)x－2xln 2. (5)y′＝ ＝＝. 【互動探究】 若將本例(3)中“tan x”改為“sin ”，應如何求解？ 解：∵y＝sin ＝－sin cos ＝－sin x，∴y′＝－cos x．　　　　　 【方法規(guī)律】 導數的計算方法 (1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導． (2)分式形式：觀察函數的結構特征，先化為整式函數或較為簡單的分式函數，再求導． (3)對數形式：先化為和、差的形式，再求導． (4)根式形式：先化為分數指數冪的形式，再求導． (5)三角形式：先利用三角函數公式轉化為和或差的形式，再求導． (6)復合函數：確

3、定復合關系，由外向內逐層求導． 求下列函數的導數： (1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝＋；(4)y＝；(5)y＝＋e2x. 解：(1)∵y＝＝x－＋x3＋， y′＝(x－)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′＝－x－＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x. (2)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11. (3)∵y＝＋＝，∴y′＝′＝＝. (4)∵y＝＝cos x－sin x，∴y′＝－sin x－cos x. (5)y′＝(3－x)－(3－x)′＋e2x(2x)′＝－(3－x)

4、－＋2e2x. [例2]　(1)已知函數f(x)的導函數f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(1)＝(　　) A．－e B．－1 C．1 D．e (2)等比數列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝(　　) A．26 B．29 C．212 D．215 (3)(2013江西高考)設函數f(x)在(0，＋∞)內可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________. [自主解答]　(1)∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(

5、x)＝′＋(ln x)′＝2f′(1)＋， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1. (2)因為f′(x)＝x′＋′x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋′x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋0＝a1a2…a8.因為數列{an}為等比數列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212. (3)令t＝ex，故x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝2. [答案]　(1)B　(2)C　(3)2 【方法規(guī)律】 導數運算的兩個技巧 (1)求函數的導數

6、要準確地把函數分解為基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導數． (2)在求導過程中，要仔細分析函數解析式的結構特征，緊扣法則，記準公式，預防犯運算錯誤． 1．若函數f(x)＝cos x＋2xf′，則f與f的大小關系是(　　) A．f＝f　　　 　B．f>f[來源:] C．ff. 2．(2014臺州模擬)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是

7、fn(x)的導函數，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2 014(x)等于(　　) A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x 解析：選C　f1(x)＝sin x＋cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(sin x＋cos x)′＝cos x－sin x， f3(x)＝f2′(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x－cos x， f5(x)＝f4′(x)＝sin

8、x＋cos x.故fn(x)是以4為周期的周期函數，又2 014＝5034＋2， ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x＋cos x. 高頻考點 考點二 導數的幾何意義　　 1．導數的幾何意義是每年高考的必考內容，考查題型既有選擇題、填空題，也常出現在解答題的第(1)問中，難度偏小，屬中低檔題． 2．高考對導數幾何意義的考查主要有以下幾個命題角度： (1)已知切點求切線方程； (2)已知切線方程(或斜率)求切點或曲線方程； (3)已知曲線求切線傾斜角的取值范圍． [例3]　(1)(2012新課標全國卷)曲線y＝x(3lnx＋1)在點(1,1)處的切線方程

9、為________________． (2)(2013廣東高考)若曲線y＝ax2－ln x在點(1，a)處的切線平行于x軸，則a＝________. (3)(2013江西高考)若曲線y＝xα＋1(α∈R)在點(1,2)處的切線經過坐標原點，則α＝________.[來源:數理化網] (4)(2014南京模擬)已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是________． [自主解答]　(1)y′＝3ln x＋1＋x＝3ln x＋4，k＝y(tǒng)′|x＝1＝4，故切線方程為y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. (2)∵f(x)＝ax2－ln x，則f′(x)＝2a

10、x－，∴f′(1)＝2a－1＝0，得a＝. (3)求導得y′＝αxα－1，切線的斜率k＝α，由點斜式得切線方程為y－2＝α(x－1)． ∵切線經過原點(0,0)，∴－2＝α(－1)，α＝2.(4)∵y＝，∴y′＝＝＝.∵ex>0，∴ex＋≥2，∴y′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)．又α∈[0，π)，∴α∈. [答案]　(1)y＝4x－3　(2)　(3)2　(4) 與導數幾何意義有關問題的常見類型及解題策略 (1)已知切點求切線方程．解決此類問題的步驟為：①求出函數y＝f(x)在點x＝x0處的導數，即曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的斜率； ②由點斜式

11、求得切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)已知斜率求切點．已知斜率k，求切點(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (3)求切線傾斜角的取值范圍．先求導數的取值范圍，即確定切線斜率的取值范圍，然后利用正切函數的單調性解決． 1．已知直線y＝kx＋b與曲線y＝x3＋ax＋1相切于點(2,3)，則b的值為(　　) 　A．－3 B．9 C．－15 D．－7 解析：選C　將點(2,3)分別代入曲線y＝x3＋ax＋1和直線y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.又k＝y(tǒng)′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，∴b＝3－2k＝3－18＝

12、－15. 2．已知a為常數，若曲線y＝ax2＋3x－ln x存在與直線x＋y－1＝0垂直的切線，則實數a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題意知曲線上存在某點的導數為1，所以y′＝2ax＋3－＝1有正根， 即2ax2＋2x－1＝0有正根．當a≥0時，顯然滿足題意；當a<0時，需滿足Δ≥0，解得－≤a<0.綜上，a≥－. 3．若點P是曲線y＝x2－ln x上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為________． 解析：設P(x0，y0)到直線y＝x－2的距離最小，則y′|x＝x0＝2x

13、0－＝1，得x0＝1或x0＝－(舍)．∴P點坐標為(1,1)．∴P到直線y＝x－2的距離d＝＝. 答案： ————————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 1個區(qū)別——“過某點”與“在某點”的區(qū)別 　曲線y＝f(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點，而后者P(x0，y0)不一定為切點．[來源:] 4個注意點——導數運算及切線的理解應注意的問題 　(1)利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆． (2)利用導數公式求導數時，只要根據幾種基本函數的定義，判斷原函數是哪類基本函數，再套用相應的導數公式求解，切不可因判斷函數類型失誤而出錯． (3)直線與曲線公共點的個數不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點． (4)曲線未必在其切線的同側，如曲線y＝x3在其過(0,0)點的切線y＝0的兩側. 高考數學復習精品 高考數學復習精品