河北省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第3章函數(shù)及其圖像第6節(jié)二次函數(shù)的實際應(yīng)用精講試題

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1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 第六節(jié)　二次函數(shù)的實際應(yīng)用 河北五年中考命題規(guī)律 年份 題號 考查點 考查內(nèi)容 分值 總分 2017 26 二次函數(shù)的實際應(yīng)用 以銷售節(jié)能產(chǎn)品為背景，代入相關(guān)數(shù)據(jù)，求滿足關(guān)系的二次函數(shù)表達(dá)式，并求利潤之差最大值 12 12 2016、2015年未考查 2014 9 二次函數(shù)的實際應(yīng)用 以正方形板材面積與成本關(guān)系為背景，利用二次函數(shù)關(guān)系求板材邊長 3 3 2013 25 二次函數(shù)的實際應(yīng)用 以運輸為背景，給出幾組數(shù)據(jù)，(1)求二次函數(shù)表達(dá)式；(2)(3)問通過二次函數(shù)表達(dá)式求某一點的值；(4)求使二次函數(shù)

2、值保持不變的條件 12 12 命題規(guī)律 二次函數(shù)的實際應(yīng)用為河北近五年中考每年的必考考點，題型一般為選擇、解答題，分值為2～12分，在選擇中考查比較簡單，解答中綜合性較強．縱觀河北五年考查內(nèi)容可以看出，常考類型有：(1)單純二次函數(shù)的實際應(yīng)用，其中在選擇題中考查了1次，在解答題中考查了2次；(2)二次函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合，其中在解答題中考查了1次.2017年與反比例函數(shù)結(jié)合考查1次. 河北五年中考真題及模擬　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　二次函數(shù)的實際應(yīng)用 1．(2014河北中考)某種正方形合金板材的成本y(元)與它的面積成正比，設(shè)邊長為x cm，當(dāng)x＝3時，y

3、＝18，那么當(dāng)成本為72元時，邊長為(　A　) A．6 cm　B．12 cm　C．24 cm　D．36 cm 2．(2013河北中考)某公司在固定線路上運輸，擬用運營指數(shù)Q量化考核司機的工作業(yè)績．Q＝W＋100，而W的大小與運輸次數(shù)n及平均速度x(km/h)有關(guān)(不考慮其他因素)，W由兩部分的和組成：一部分與x的平方成正比，另一部分與x的n倍成正比．試行中得到了表中的數(shù)據(jù)． 次數(shù)n 2 1 速度x 40 60 指數(shù)Q 420 100 (1)用含x和n的式子表示Q； (2)當(dāng)x＝70，Q＝450時，求n的值； (3)若n＝3，要使Q最大，確定x的值； (4)設(shè)n

4、＝2，x＝40，能否在n增加m%(m>0)同時x減少m%的情況下，而Q的值仍為420？若能，求出m的值；若不能，請說明理由． [參考公式：拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點坐標(biāo)是] 解：(1)Q＝－x2＋6nx＋100； (2)將x＝70，Q＝450代入Q＝－x2＋6nx＋100中，得450＝－×702＋6×70n＋100，解得n＝2； (3)當(dāng)n＝3時，Q＝－x2＋18x＋100＝－(x－90)2＋910. ∵－<0，∴函數(shù)圖像開口向下，有最大值， 則當(dāng)x＝90時，Q有最大值， 即要使Q最大，x＝90； (4)由題意，得420＝－[40

5、(1－m%)]2＋6×2(1＋m%)×40(1－m%)＋100，即2(m%)2－m%＝0，解得m1＝50，m2＝0(舍去)，∴m＝50. ,中考考點清單　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　二次函數(shù)的實際應(yīng)用 二次函數(shù)的實際應(yīng)用為每年的必考點，題型多為選擇、解答題，有以下兩種?？碱愋停?1)單純二次函數(shù)的實際應(yīng)用；(2)與一次函數(shù)結(jié)合的實際應(yīng)用． 出題形式有三種：(1)以某種產(chǎn)品的銷售為背景；(2)以公司的工作業(yè)績?yōu)楸尘埃?3)以某公司裝修所需材料為背景． 設(shè)問方式主要有：(1)列函數(shù)關(guān)系式并求值；(2)求最優(yōu)解；(3

6、)求最大利潤及利潤最大時自變量的值；(4)求最小值；(5)選擇最優(yōu)方案． 解二次函數(shù)應(yīng)用題步驟及關(guān)鍵點： 步驟 關(guān)鍵點 (1)分析問題 明確題中的常量與變量及它們之間的關(guān)系，確定自變量及函數(shù) (2)建立模型，確定函數(shù)表達(dá)式 根據(jù)題意確定合適的表達(dá)式或建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 (3)求函數(shù)表達(dá)式 變量間的數(shù)量關(guān)系表示及自變量的取值范圍 續(xù)表 (4)應(yīng)用性質(zhì)，解決問題 熟記頂點坐標(biāo)公式或配方法，注意a的正負(fù)及自變量的取值范圍 【方法技巧】(1)利用二次函數(shù)解決實際生活中的利潤問題，應(yīng)理清變量所表示的實際意義，注意隱含條件的使用，同時考慮問題要周全，此類問題一般是運用“總利潤＝

7、總售價－總成本”或“總利潤＝每件商品所獲利潤×銷售數(shù)量”，建立利潤與價格之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)最值：若函數(shù)的對稱軸在自變量的取值范圍內(nèi)，頂點坐標(biāo)即為其最值，若頂點坐標(biāo)不是其最值，那么最值可能為自變量兩端點的函數(shù)值；若函數(shù)的對稱軸不在自變量的取值范圍內(nèi)，可根據(jù)函數(shù)的增減性求解，再結(jié)合兩端點的函數(shù)值對比，從而求解出最值． ,中考重難點突破 　二次函數(shù)的實際應(yīng)用 【例1】(2017唐山中考模擬)如圖所示，有長為24 m的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長度為10 m)，圍成中間隔有一道籬笆的矩形花

8、圃．設(shè)花圃的寬AB為x m，面積為S m2. (1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)如果要圍成面積為45 m2的花圃，那么AB的長是多少？ (3)能圍成面積比45 m2更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由． 【解析】(1)先設(shè)AB的長為x m，再用含x的代數(shù)式表示花圃的長BC，從而建立面積S(m2)與AB的長x m之間的函數(shù)關(guān)系式．然后依據(jù)方程與二次函數(shù)的知識來求解；(2)將S＝45代入二次函數(shù)關(guān)系式得一元二次方程，再求得解；(3)將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，將x的最小值代入求面積的最大值，再求出此時圍墻的長與寬． 【答案】解：(1)設(shè)寬AB為

9、x m，則BC為(24－3x)m. 這時面積S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x； (2)由條件得，－3x2＋24x＝45. 整理，得x2－8x＋15＝0. 解得x1＝5，x2＝3. ∵0＜24－3x≤10，∴≤x＜8. ∴x＝3不合題意，舍去．故花圃的寬為5 m； (3)能圍成面積比45 m2更大的花圃． S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x) ＝－3(x－4)2＋48. ∵≤x＜8， ∴當(dāng)x＝時，S最大＝48－3＝46(m2)． 故能圍成面積比45 m2更大的花圃． 圍法：24－3×＝10(m)，花圃的長為10 m，寬為4 m，這時有最大面積46 m

10、2. 1．某農(nóng)場要蓋一排三間長方形的羊圈，打算一面利用長為16 m的舊墻，其余各面用木材圍成柵欄，柵欄的總長為24 m，設(shè)每間羊圈與墻垂直的一邊長為x(m)，三間羊圈的總面積為S(m2)，則S與x的函數(shù)關(guān)系式為__S＝－4x2＋24x__，x的取值范圍是__2≤x＜6__，當(dāng)x＝__3__時，面積S最大，最大面積為__36__m2__． 【例2】(2017鄂州中考)某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)單價是30元．根據(jù)市場調(diào)查，在一段時間內(nèi)，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件． (1)設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為x元(x＞40)，請你用含x的代數(shù)式

11、分別來表示銷售量y(件)和銷售該品牌玩具獲得利潤W(元)，并把結(jié)果填寫在下面的表格中： 銷售單價(元) x 銷售量y(件) ________ 銷售玩具獲得利潤W(元) ________ 　　(2)若商場要獲得10 000元的銷售利潤，該玩具的銷售單價x應(yīng)定為多少元？ (3)若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單位不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務(wù)，則商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？ 【解析】(1)由“銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具”得y＝600－(x－40)×10＝1 000－10x，W＝(1 000－10x)(x－30)＝－10x2＋1

12、300x－30 000；(2)令－10x2＋1 300x－30 000＝10 000，求出x的值即可；(3)首先求出x的取值范圍，然后把W＝－10x2＋1 300x－30 000轉(zhuǎn)化成頂點式，結(jié)合x的取值范圍求出最大利潤． 【答案】解：(1) 銷售單價(元) x 銷售量y(件) 1 000－10x 銷售玩具獲得利潤W(元) －10x2＋1 300x－30 000 　　(2)由題意，得－10x2＋1 300x－30 000＝10 000. 解得x1＝50，x2＝80. 答：該玩具銷售單價為50元或80元時，可獲得10 000元的銷售利潤； (3)根據(jù)題意，得 解得44≤x

13、≤46. W＝－10x2＋1 300x－30 000 ＝－10(x－65)2＋12 250， ∵a＝－10＜0，∴w隨x增大而增大， ∴當(dāng)x＝46時，w最大值＝8 640(元)． 2．(2017邢臺中考模擬)某民俗旅游村為接待游客住宿需要，開設(shè)了有100張床位的旅館，當(dāng)每張床位每天收費100元時，床位可全部租出，若每張床位每天收費提高20元，則相應(yīng)的減少了10張床位租出．如果每張床位每天以20元為單位提高收費，為使租出的床位少且租金高，那么每張床位每天最合適的收費是(　C　) A．140元 B．150元 C．160元 D．180元 【例3】(2017湖州中考)雜技團(tuán)進(jìn)行

14、雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體(看成一點)的運動路線是拋物線y＝－x2＋3x＋1的一部分，如圖所示． (1)求演員彈跳離地面的最大高度； (2)已知人梯高BC＝3.4 m，在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4 m，則這次表演是否成功？請說明理由． 【解析】(1)將函數(shù)表達(dá)式配方成頂點式，即可求得演員彈跳地面的最大高度；(2)將點(4，3.4)代入函數(shù)表達(dá)式，驗證該點是否在拋物線上．在，說明表演能夠成功；不在，說明表演不能成功． 【答案】解：(1)y＝－x2＋3x＋1 ＝－＋. ∵a＝－＜0，∴函數(shù)有最大值， 即演員彈跳離地面的最大高度是 m

15、； (2)由于OC＝4 m，故將x＝4代入函數(shù)表達(dá)式，得y＝－×42＋3×4＋1＝3.4，因此點(4，3.4)在該拋物線上，說明這次表演能夠成功． 3．(仙桃中考)如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4 m時，拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2 m，水面下降1 m時，水面的寬度為__2__m. 【例4】如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1 cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2 cm/s的速度移動． (1)如果點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ

16、的面積等于4 cm2? (2)如果點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5 cm? (3)在問題(1)中，當(dāng)運動時間為多少秒時，△PBQ的面積最大？ 【解析】(1)設(shè)運動時間為x s表示出PB和BQ，再用三角形面積計算公式即可；(2)依然是用含x的代數(shù)式先表示出PB和BQ，再用勾股定理立方程即可；(3)求最值，對代數(shù)式配方即可． 【答案】解：(1)設(shè)x s后，△PBQ的面積等于4 cm2，根據(jù)題意，得×2x(5－x)＝4，解得x1＝1，x2＝4， ∵當(dāng)x＝4時，2x＝8＞7，不合題意，舍去， ∴x＝1； (2)設(shè)x s后，PQ的長度等于5 cm，根據(jù)題意，得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2； (3)設(shè)x s后，△PBQ的面積等于y cm2，根據(jù)題意，得y＝x(5－x)＝－x2＋5x，∵a＝－1＜0，∴當(dāng)x＝－＝時，y有最大值． 4．(2017唐山中考模擬)如圖，已知等腰Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝2 cm，在三角形內(nèi)作矩形CDEF，使D在AC上，E在AB上，F(xiàn)在BC上，則矩形CDEF的最大面積為__1__cm2__；此時矩形CDEF為__正方形__．