高三理科數(shù)學(xué) 一輪總復(fù)習(xí)第十五章　復(fù)　數(shù)教師用書

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1、 第十五章　復(fù)　數(shù) 高考導(dǎo)航 考試要求 重難點擊 命題展望 　　1.理解復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件. 2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義. 3.會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運算及其運算的幾何意義. 4.了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想，體會理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用. 　　本章重點：1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；2.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算. 本章難點：運用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題. 　　近幾年高考對復(fù)數(shù)的考查無論是試題的難度，還是試題在試卷中所占比例都是呈下降趨勢，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，多為容易題.在復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)將

2、復(fù)數(shù)的概念及運算放在首位. 知識網(wǎng)絡(luò) 15.1　復(fù)數(shù)的概念及其運算 典例精析 題型一　復(fù)數(shù)的概念 【例1】 (1)如果復(fù)數(shù)(m2＋i)(1＋mi)是實數(shù)，則實數(shù)m＝　　　　　； (2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第　　　象限； (3)復(fù)數(shù)z＝3i＋1的共軛復(fù)數(shù)為＝　　　　　. 【解析】 (1)(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(1＋m3)i是實數(shù)?1＋m3＝0?m＝－1. (2)因為＝＝1－i，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1，－1)，位于第四象限. (3)因為z＝1＋3i，所以＝1－3i. 【點撥】 運算此類題目需注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，

3、b∈R)，并注意復(fù)數(shù)分為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何意義，共軛復(fù)數(shù)等概念. 【變式訓(xùn)練1】(1)如果z＝為純虛數(shù)，則實數(shù)a等于(　　) A.0 B.－1 C.1 D.－1或1 (2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】(1)設(shè)z＝xi，x≠0，則 xi＝?1＋ax－(a＋x)i＝0??或故選D. (2)z＝＝(1－i)(－i)＝－1－i，該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第三象限.故選C. 題型二　復(fù)數(shù)的相等 【例2】(1)已知復(fù)數(shù)z0＝3＋2i，復(fù)數(shù)z滿足z

4、83;z0＝3z＋z0，則復(fù)數(shù)z＝　　　　?。? (2)已知＝1－ni，其中m，n是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m＋ni＝　　　　??； (3)已知關(guān)于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實根，則這個實根為　　　　　，實數(shù)k的值為　　　　. 【解析】(1)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，又z0＝3＋2i， 代入z·z0＝3z＋z0得(x＋yi)(3＋2i)＝3(x＋yi)＋3＋2i， 整理得 (2y＋3)＋(2－2x)i＝0， 則由復(fù)數(shù)相等的條件得 解得所以z＝1－. (2)由已知得m＝(1－ni)(1＋i)＝(1＋n)＋(1－n)i. 則由復(fù)數(shù)相等的條件得

5、所以m＋ni＝2＋i. (3)設(shè)x＝x0是方程的實根，代入方程并整理得 由復(fù)數(shù)相等的充要條件得 解得或 所以方程的實根為x＝或x＝－， 相應(yīng)的k值為k＝－2或k＝2. 【點撥】復(fù)數(shù)相等須先化為z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再由相等得實部與實部相等、虛部與虛部相等. 【變式訓(xùn)練2】(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，若＝a＋bi(a，b∈R)，則a＋b的值是(　　) A.－ B.－2 C.2 D. (2)若(a－2i)i＝b＋i，其中a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則a＋b＝　　　　. 【解析】(1)C.＝＝，于是a＋b＝＋＝2. (2)3.2＋ai＝b＋i?a＝1，b

6、＝2. 題型三　復(fù)數(shù)的運算 【例3】 (1)若復(fù)數(shù)z＝－＋i， 則1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008＝　　　　??； (2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋i，那么z＝　　　　　. 【解析】 (1)由已知得z2＝－－i，z3＝1，z4＝－＋i ＝z. 所以zn具有周期性，在一個周期內(nèi)的和為0，且周期為3. 所以1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008 ＝1＋z＋(z2＋z3＋z4)＋…＋(z2 006＋z2 007＋z2 008) ＝1＋z＝＋i. (2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則x＋yi＋＝2＋i， 所以解得所以z＝＋i. 【點撥】 解(1)時要注意x3＝1?(x－1

7、)(x2＋x＋1)＝0的三個根為1，ω，， 其中ω＝－＋i，＝－－i， 則 1＋ω＋ω2＝0， 1＋＋2＝0 ，ω3＝1，3＝1，ω·＝1，ω2＝，2＝ω. 解(2)時要注意|z|∈R，所以須令z＝x＋yi. 【變式訓(xùn)練3】(1)復(fù)數(shù)＋等于(　　) A. B. C.－ D. (2)(20xx江西鷹潭)已知復(fù)數(shù)z＝＋()2 010，則復(fù)數(shù)z等于(　　) A.0 B.2 C.－2i D.2i 【解析】(1)D.計算容易有＋＝. (2)A. 總結(jié)提高 復(fù)數(shù)的代數(shù)運算是重點，是每年必考內(nèi)容之一，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算：①加減法按合并同類項法則進(jìn)行；②乘法展開、除法須分母實數(shù)化.因此，一些復(fù)數(shù)問題只需設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)代入原式后，就可以將復(fù)數(shù)問題化歸為實數(shù)問題來解決.