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1、人教版高中數(shù)學精品資料
第四課時
組合數(shù)的性質(zhì)1：．
一般地，從n個不同元素中取出個元素后，剩下個元素．因為從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，與剩下的n - m個元素的每一個組合一一對應(yīng)，所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，等于從這n個元素中取出n - m個元素的組合數(shù)，即：．在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對應(yīng)”的思想
證明：∵
又 ，∴
說明：①規(guī)定：；
②等式特點：等式兩邊下標同，上標之和等于下標；
③此性質(zhì)作用：當時，計算可變?yōu)橛嬎悖軌蚴惯\算簡化.
例如＝＝=2002；
④或．
2．組合數(shù)的性質(zhì)2：＝+．
一般地，從這n+1個
2、不同元素中取出m個元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類：一類含有元素，一類不含有．含有的組合是從這n個元素中取出m -1個元素與組成的，共有個；不含有的組合是從這n個元素中取出m個元素組成的，共有個．根據(jù)分類計數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個性質(zhì)．在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想．
證明：
∴＝+．
說明：①公式特征：下標相同而上標差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多1而上標與大的相同的一個組合數(shù)；
②此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運算
例11．一個口袋內(nèi)裝有大小不同的7個白球和1個黑球，
（1）從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？
（2）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？
（3）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？
解：（1）,或，；（2）；（3）．
例12．（1）計算：；
（2）求證：＝++．
解：（1）原式；
證明：（2）右邊左邊
例13．解方程：（1）；（2）解方程：．
解：（1）由原方程得或，∴或，
又由得且，∴原方程的解為或
上述求解過程中的不等式組可以不解,直接把和代入檢驗,這樣運算量小得多.
（2）原方程可化為，即，∴，
∴，
∴，解得或，
經(jīng)檢驗：是原方程的解
人教版 高中數(shù)學選修23 1.2.2 組合教案5
