高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第7章 立體幾何 第7節(jié) 第2課時 利用空間向量求空間角學案 理 北師大版

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1、 第2課時　利用空間向量求空間角 (對應學生用書第125頁) 求異面直線的夾角 　如圖7­7­15，四面體ABCD中，O是BD的中點，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝. 圖7­7­15 (1)求證：AO⊥平面BCD； (2)求異面直線AB與CD夾角的余弦值． [解]　(1)證明：連接OC，由CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，O是BD的中點，知CO＝，AO＝1，AO⊥BD. 在△AOC中，AC2＝AO2＋OC2， 則AO⊥OC． 又BD∩OC＝O，因此AO⊥平面BCD. (2)如圖建立空間直角坐

2、標系O­xyz，則A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，＝(1,0，－1)，＝(－1，－，0)， 所以|cos〈，〉|＝＝. 即異面直線AB與CD夾角的余弦值為. [規(guī)律方法]　利用向量法求異面直線夾角的步驟 (1)選好基底或建立空間直角坐標系. (2)求出兩直線的方向向量v1，v2. (3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解. 易錯警示：兩異面直線夾角的范圍是θ∈，兩向量的夾角α的范圍是[0，π]，當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線的夾角.

3、[跟蹤訓練]　(20xx·湖南五市十校3月聯(lián)考)有公共邊的等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD夾角的余弦值為________. 【導學號：79140254】 　[設等邊三角形的邊長為2. 取BC的中點O，連接OA、OD，∵等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，∴OA，OC，OD兩兩垂直，以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系． 則A(0,0，)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)， ∴＝(0，－1，－)，＝(，－1,0)， ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴異面直線AB和CD夾角的余弦值為.] 求直線與平面的

4、夾角 　(20xx·浙江高考)如圖7­7­16，已知四棱錐P­ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E為PD的中點． 圖7­7­16 (1)證明：CE∥平面PAB； (2)求直線CE與平面PBC夾角的正弦值． [解]　(1)證明：如圖，設PA的中點為F，連接EF，FB. 因為E，F分別為PD，PA的中點， 所以EF∥AD且EF＝AD. 又因為BC∥AD，BC＝AD， 所以EF∥BC且EF＝BC， 所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥B

5、F. 因為BF平面PAB，CE平面PAB， 所以CE∥平面PAB. (2)分別取BC，AD的中點M，N. 連接PN交EF于點Q，連接MQ. 因為E，F，N分別是PD，PA，AD的中點， 所以Q為EF的中點． 在平行四邊形BCEF中，MQ∥CE. 由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD. 由DC⊥AD，BC∥AD，BC＝AD，N是AD的中點得BN⊥AD. 所以AD⊥平面PBN. 由BC∥AD得BC⊥平面PBN， 那么平面PBC⊥平面PBN. 過點Q作PB的垂線， 垂足為H，連接MH. MH是MQ在平面PBC上的射影， 所以∠QMH是直線CE與平面PBC的夾角．

6、設CD＝1. 在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝得CE＝， 在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝得QH＝， 在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝， 所以sin∠QMH＝. 所以，直線CE與平面PBC夾角的正弦值是. [規(guī)律方法]　(1)線面角范圍，向量夾角范圍為[0，π]. (2)線面角θ的正弦值等于斜線對應向量與平面法向量夾角余弦值的絕對值.即sin θ＝. 即斜向量，n為平面法向量. [跟蹤訓練]　(20xx·廣州綜合測試(二))如圖7­7­17 ，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，∠BAD＝60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平

7、面ABCD，EB＝2FD＝a. 圖7­7­17 (1)求證：EF⊥AC； (2)求直線CE與平面ABF夾角的正弦值． [解]　(1)證明：連接BD， 因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 因為FD⊥平面ABCD，AC平面ABCD， 所以AC⊥FD. 因為BD∩FD＝D，所以AC⊥平面BDF. 因為EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD， 所以EB∥FD. 所以B，D，F，E四點共面． 因為EF平面BDFE，所以EF⊥AC． (2)法一：如圖，以D為坐標原點，分別以，的方向為y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系D­xyz.

8、 可以求得A，B， F，C(0，a,0)，E. 所以＝(0，a,0)，＝. 設平面ABF的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令x＝1，則平面ABF的一個法向量為n＝(1,0,1)． 設直線CE與平面ABF的夾角為θ， 因為＝， 所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. 所以直線CE與平面ABF夾角的正弦值為. 法二：如圖，設AC∩BD＝O，以O為坐標原點，分別以，，的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系O­xyz. 可以求得A，B，C，E，F. 所以＝. ＝. 設平面ABF的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令x＝1，則平面ABF

9、的一個法向量為n＝(1，，2)． 設直線CE與平面ABF夾角為θ， 因為＝， 所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. 所以直線CE與平面ABF夾角的正弦值為. 求二面角 　(20xx·全國卷Ⅰ)如圖7­7­18，在四棱錐P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. 圖7­7­18 (1)證明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A­PB­C的余弦值． [解]　(1)證明：由已知∠BAP＝∠CD

10、P＝90°， 得AB⊥AP，CD⊥PD. 因為AB∥CD，所以AB⊥PD. 又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD. 因為AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2)在平面PAD內作PF⊥AD，垂足為點F. 由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD. 以F為坐標原點，的方向為x軸正方向，||為單位長度建立如圖所示的空間直角坐標系F­xyz. 由(1)及已知可得A，P， B，C， 所以＝，＝(，0,0)， ＝，＝(0,1,0)． 設n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一個法向量，則 即 所以可取n＝(0，－

11、1，－)． 設m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一個法向量，則 即 所以可取m＝(1,0,1)，則cos〈n，m〉＝＝＝－. 所以二面角A­PB­C的余弦值為－. [規(guī)律方法]　利用向量計算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳(鈍)二面角. (2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小. [跟蹤訓練]　(20xx·福州質檢)如圖

12、7­7­19(1)，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB＝3，DC＝1，∠DPB＝45°，DA⊥PB于點A，將△PAD沿AD折起，構成如圖7­7­19(2)所示的四棱錐P­ABCD，點M在棱PB上，且PM＝MB. (1)　　　　　　(2) 圖7­7­19 (1)求證：PD∥平面MAC； (2)若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M­AC­B的余弦值． [解]　(1)證明：連接BD交AC于點N，連接MN， 依題意知AB∥CD，∴△ABN∽△CDN， ∴＝＝2. ∵PM＝MB，

13、∴＝＝2， ∴在△BPD中，MN∥DP. 又PD平面MAC，MN平面MAC， ∴PD∥平面MAC． (2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊥AD，PA平面PAD， ∴PA⊥平面ABCD. 又AD⊥AB，∴PA，AD，AB兩兩垂直． 以A為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系A­xyz. 依題意AP＝AD＝1，AB＝2，又PM＝MB， ∴A(0,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,1)，M，C(1,1,0)， ∴＝(0,0,1)，＝，＝(1,1,0)． ∵PA⊥平面ABCD. ∴取n1＝＝(0,0,1)為平面BAC的一個法向量． 設n2＝(x，y，z)為平面MAC的法向量， 則即 令x＝1，則y＝－1，z＝1， ∴n2＝(1，－1,1)為平面MAC的一個法向量， ∴cos〈n1，n2〉＝＝＝， ∴二面角M­AC­B的余弦值為.