高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第8節(jié) 解三角形實際應用舉例學案 理 北師大版

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1、 第八節(jié)　解三角形實際應用舉例 [考綱傳真]　(教師用書獨具)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題． (對應學生用書第64頁) [基礎知識填充] 1．仰角和俯角 在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖3­8­1(1))． (1)　　　　　　　　　　(2) 圖3­8­1 2．方位角和方向角 (1)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖3­8­1(2))．

2、 (2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°等． 3．坡度 坡面與水平面所成二面角的正切值． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為α＋β＝180°.(　　) (2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.(　　) (3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系．(　　) (4)方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍一般是.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　

3、(3)√　(4)√ 2．(教材改編)海面上有A，B，C三個燈塔，AB＝10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC等于(　　) A．10 n mile　　 B． n mile C．5 n mile D．5 n mile D　[如圖，在△ABC中， AB＝10，∠A＝60°， ∠B＝75°，∠C＝45°， ∴＝， ∴BC＝5.] 3．若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則點A在點B的(　　) A．北偏東15°　　　 B．北偏西1

4、5° C．北偏東10° D．北偏西10° B　[如圖所示，∠ACB＝90°， 又AC＝BC， ∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°， ∴點A在點B的北偏西15°.] 4．如圖3­8­2，已知A，B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C，測得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點的距離為(　　) 圖3­8­2 A．50 m

5、 B．25 m C．25 m D．50 m D　[因為∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝50 m．] 5．輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15 n mile/h，則下午2時兩船之間的距離是________ n mile. 70　[設兩船之間的距離為d， 則d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， 所以d＝70，即兩船相距70 n mil

6、e.] (對應學生用書第64頁) 測量距離問題 　如圖3­8­3，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 【導學號：79140136】 圖3­8­3 60　[如圖所示，過A作AD⊥CB且交CB的延長線于D．

7、在Rt△ADC中，由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m. 在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°， ∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92 m， 由正弦定理＝，得 ＝，即＝， 解得BC＝≈60(m)．] [規(guī)律方法]　求解距離問題的一般步驟 (1)畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化成三角形問題； (2)明確所求的距離在哪個三角形中，有幾個已知元素； (3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(對于解答題，應作答). [跟蹤訓練]　如圖3­8­4所示，要測量一水塘兩側(cè)

8、A，B兩點間的距離，其方法先選定適當?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離，即AB＝.若測得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，試計算AB的長． 圖3­8­4 [解]　在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB， ∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000， ∴AB＝200(m)，即A，B兩點間的距離為200 m. 測量高度問題 　如圖3­8

9、3;5，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝______m. 圖3­8­5 100　[由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝， 解得BC＝300 m. 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300× ＝

10、100(m)．] [規(guī)律方法]　解決高度問題的注意事項 (1)在測量高度時，要準確理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角. (2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. [跟蹤訓練]　如圖3­8­6，從某電視塔CO的正東方向的A處，測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在電視塔的南偏西60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，AB間的距離為35米，則這個電視塔的

11、高度為________米． 圖3­8­6 5　[如圖， 可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°， ∠OBC＝45°，AB＝35米． 設OC＝x米，則OA＝x米，OB＝x米． 在△ABO中，由余弦定理， 得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB， 即352＝＋x2－x2·cos 150°， 整理得x＝5， 所以此電視塔的高度是5米．] 測量角度問題 　某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45

12、76;，距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以10海里/時的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10海里/時的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間． [解]　如圖所示，設所需時間為t小時， 則AB＝10t，CB＝10t， 在△ABC中，根據(jù)余弦定理，則有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°， 可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°. 整理得2t2－t－1＝0， 解得t＝1或t＝－(舍去)， ∴艦艇需1小時靠近漁船， 此時

13、AB＝10，BC＝10. 在△ABC中，由正弦定理得＝， ∴sin∠CAB＝＝＝. ∴∠CAB＝30°. 所以艦艇航向為北偏東75°. [規(guī)律方法]　解決測量角度問題的注意事項 (1)應明確方位角或方向角的含義. (2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步. (3)將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用. [跟蹤訓練]　如圖3­8­7，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°

14、、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cos θ的值. 【導學號：79140137】 圖3­8­7 [解]　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800?BC＝20. 由正弦定理，得＝?sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝.