4、,0)時，f′(x)＜0，則f(x)在(－3,0)上是減函數．其他判斷均不正確．]
4．(20xx陜西高考)設f(x)＝x－sin x，則f(x)( )
A．既是奇函數又是減函數
B．既是奇函數又是增函數
C．是有零點的減函數
D．是沒有零點的奇函數
B [因為f′(x)＝1－cos x≥0，所以函數為增函數，排除選項A和C．又因為f(0)＝0－sin 0＝0，所以函數存在零點，排除選項D，故選B．]
5．(20xx浙江高考)函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖像如圖2112所示，則函數y＝f(x)的圖像可能是( )
圖2112
D [觀察導函數
5、f′(x)的圖像可知，f′(x)的函數值從左到右依次為小于0，大于0，小于0，大于0，
∴對應函數f(x)的增減性從左到右依次為減、增、減、增．
觀察選項可知，排除A、C．
如圖所示，f′(x)有3個零點，從左到右依次設為x1，x2，x3，且x1，x3是極小值點，x2是極大值點，且x2>0，故選項D正確．
故選D．]
(對應學生用書第32頁)
判斷或證明函數的單調性
已知函數f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x.討論f(x)的單調性．
[解] f(x)的定義域為(0，＋∞)．
f′(x)＝－2ax＋2－a
＝－.
①若a≤0，則f′(x)
6、＞0.
所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
②若a＞0，則由f′(x)＝0，得x＝，
且當x∈時，f′(x)＞0，
當x∈時，f′(x)＜0.
所以f(x)在上單調遞增，
在上單調遞減．
綜上所述，當a≤0時，
函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
當a＞0時，函數f(x)在上單調遞增，
在上單調遞減．
[規(guī)律方法] 用導數證明函數f(x)在(a，b)內的單調性的步驟
一求：求f′(x)；
二定：確認f′(x)在(a，b)內的符號；
三結論：作出結論：f′(x)＞0時為增函數；f′(x)＜0時為減函數．
易錯警示：研究含參數函數
7、的單調性時，需注意依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論．
[變式訓練1] (20xx四川高考節(jié)選)設函數f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…為自然對數的底數．
(1)討論f(x)的單調性；
(2)證明：當x>1時，g(x)>0. 【導學號：00090064】
[解] (1)由題意得f′(x)＝2ax－＝(x>0). 2分
當a≤0時，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)內單調遞減．
當a>0時，由f′(x)＝0有x＝，
當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調遞減； 5分
當x∈時，f′(x)>0
8、，f(x)單調遞增. 7分
(2)證明：令s(x)＝ex－1－x，則s′(x)＝ex－1－1. 9分
當x>1時，s′(x)>0，所以ex－1>x，
從而g(x)＝－>0. 12分
求函數的單調區(qū)間
(20xx天津高考節(jié)選)設函數f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的單調區(qū)間．
[解] 由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－A．
下面分兩種情況討論：
①當a≤0時，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，
所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，＋∞). 5分
②當a＞0時，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－.
當x
9、變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
－
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
單調遞增
極大值
單調遞減
極小值
單調遞增
所以f(x)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，. 12分
[規(guī)律方法] 求函數單調區(qū)間的步驟：
(1)確定函數f(x)的定義域；
(2)求f′(x)；
(3)在定義域內解不等式f′(x)＞0，得單調遞增區(qū)間；
(4)在定義域內解不等式f′(x)＜0，得單調遞減區(qū)間．
[變式訓練2] 已知函數f(x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e為自然對數的底數，則函數f(x)的單調遞增區(qū)間為_
10、_______．
(－，) [因為f(x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex
＝(－x2＋2)ex.
令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，
因為ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－＜x＜，
所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(－，)．]
已知函數的單調性求參數
已知函數f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上為增函數，求實數a的取值范圍．
[解] 因為f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2對x∈R恒成立．
因為3x2≥0
11、，所以只需a≤0.
又因為a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數，所以a≤0，即實數a的取值范圍為(－∞，0]．
[母題探究1] (變換條件)函數f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數，求a的取值范圍．
[解] 因為f′(x)＝3x2－a，且f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，
所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范圍為(－∞，3]．
[母題探究2] (變換條件)函數f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(－1,1)上為減函數，試求a的取
12、值范圍．
[解] 由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立．
因為－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即當a的取值范圍為[3，＋∞)時，f(x)在(－1,1)上為減函數．
[母題探究3] (變換條件)函數f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調，求a的取值范圍．
[解] ∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－A．由f′(x)＝0，得x＝(a≥0)．
∵f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調，∴0＜＜1，得0＜a＜3，即a的取值范圍為(0,3)．
[規(guī)律方法] 根據函數單調性求參數的一般方法
(1)利
13、用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集．
(2)轉化為不等式的恒成立問題，即“若函數單調遞增，則f′(x)≥0；若函數單調遞減，則f′(x)≤0”來求解．
易錯警示：(1)f(x)為增函數的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0，且在(a，b)內的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解．
(2)函數在其區(qū)間上不具有單調性，但可在子區(qū)間上具有單調性，如遷移3中利用了∈(0,1)來求解．
[變式訓練3] 已知函數f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)
(1)若函
14、數h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上是減少的，求a的取值范圍；
(2)若函數h(x)＝f(x)－g(x)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍.
【導學號：00090065】
[解] (1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2，
由h(x)在[1,4]上是減少的得，
當x∈[1,4]時，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．令G(x)＝－，
所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，
因為x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此時x＝4)，
所以a≥－，即a的取值范圍是.
(2)h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在單調遞減區(qū)間，
所以當x∈(0，＋∞)時，－ax－2＜0有解，
即a＞－有解．
設G(x)＝－，所以只要a＞G(x)min即可．
而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.
所以a＞－1.
高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第2章 函數、導數及其應用 第11節(jié) 導數與函數的單調性學案 文 北師大版
