高三六校高考模擬考試理科數學 試題及參考答案

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1、 20xx屆高三六校高考模擬考試 理科數學試題 本試卷共21小題，滿分150分。 考試用時120分鐘。 一、選擇題（本大題共8小題，每題5分，滿分40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．滿足的復數的共軛復數是（ ） A． B． C． D． 2．已知函數的定義域為，的定義域為，則（ ） A． B． C． D． 3．如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，圖中空白執(zhí)行框內應填入（ ） 開 始 i=1, S=0 S=S+ 輸出S 結 束 否 是 第4題圖 2013 A． B． C． D． 4．若變量滿足則

2、的最大值是（ ） A．90 B．80 C．50 D．40 5．記等比數列的前項和為，若，，則 （ ） A．2 B．6 C．16 D．20 6． 已知直線，，過的直線與分別交于，若是線段的中點，則等于（ ） A．12 B． C． D． 7．已知某四棱錐的三視圖，如右圖。則此四棱錐的體積為（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．設，定義，則+2等于（ ） A． B． C． D． 二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分30分） （一）必做題（第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答） 9．某校共有學生20

3、00名，各年級男、女生人數如下表．已知在全校 學生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0．19．現用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，則應在三年級抽取的學生人數為 ． 一年級 二年級 三年級 女生 373 男生 377 370 10．若則的值為 . 11．曲線在點（1，）處的切線方程為，則 ．（為常數） 12．已知，若是它一條對稱軸，則 ． 13．如右圖，等邊△中，，則 ． （二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題） 14．（坐標系

4、與參數方程選做題）曲線（為參數）上一點到點與的距離之和為 ． 15．（幾何證明選講選做題）如右圖，在△中，斜邊，直角邊，如果以為圓心的圓與相切于，則⊙的半徑長為 ． 三、解答題（本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟） 16．（本小題滿分12分）已知函數． （1）求函數的最小值和最小正周期； （2）設△的內角的對邊分別為且，，若，求的值。 17．（本小題滿分12分）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物。我國PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方

5、米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標． 某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)20xx年全年每天的PM2.5監(jiān)測數據中隨機的抽取15天的數據作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉） （1）從這15天的PM2.5日均監(jiān)測數據中，隨機抽出三天，求恰有一天空氣質量達到一級的概率； （2）從這15天的數據中任取三天數據，記表示抽到PM2.5監(jiān)測數據超標的天數，求的分布列； （3）以這15天的PM2.5日均值來估計一年的空氣質量情況，則一年（按360天計算）中平均有多少天的空氣質量達到一級或二級。 D B E C

6、 A 18．（本小題滿分14分）在如圖所示的幾何體中，是邊長為2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，BD=CD，且． （1）若AE=2，求證：AC∥平面BDE； （2）若二面角A—DE—B為60．求AE的長。 19．（本小題滿分14分）數列{}的前n項和為，，． （1）設，證明：數列是等比數列； （2）求數列的前項和； （3）若，．求不超過的最大整數的值。 20．（本小題滿分14分）如圖所示：已知過拋物線的焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點。 （1）求證：以AF為直徑的圓與x軸相切； （2）設拋物線在A，B兩點處的切線的交點為M，若點M的橫坐標為2，求△A

7、BM的外接圓方程； （3）設過拋物線焦點F的直線與橢圓的交點為C、D，是否存在直線使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。 21．（本小題滿分14分）已知函數， （1）求函數的單調區(qū)間； （2）當時，函數恒成立，求實數的取值范圍； （3）設正實數滿足．求證： ． 20xx屆高三六校高考模擬考試 理科數學參考答案 一、選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D C D B B A 1．【解析】．故選D． 2．【解析】，．故選C． 3．【解析】因為分

8、母為1，3，5，7，9，…，20xx，所以應填入．故選D． 4．【解析】畫出可行域（如圖），在點取最大值．答案： C． 5．【解析】， ．故選D ． 6．【解析】設、，所以、． 所以．故選B． 7．【解析】如圖，四棱錐． ．故選B． 8．【解析】設終邊過點的角（不妨設）則 ，其中是終邊過的角（不妨設）． 當時，有+2．故選A． 二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分30分） 9．16，10．2，11．，12．，13．，14．，15．， 9．【解析】依題意我們知道二年級的女生有380人，那么三年級的學生的人數應該是，即總體中各個年級的

9、人數比例為，故在分層抽樣中應在三年級抽取的學生人數為．答案：． 10．【解析】．答案：． 11．【解析】．答案：． 12．【解析】由已知得，由代入得， 又，所以．答案：． 13．【解析】, ． 答案：． （二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題） 14．【解析】曲線表示的橢圓標準方程為，可知點，為橢圓的焦點，故．答案：． 15．【解析】連則，在中，, ．答案：． 三、解答題（本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟） 16．【解析】（1），…3分 則的最小值是， 最小正周期是；…………6分 （2），則，…………7分 ,,

10、所以， 所以，，…………9分 因為，所以由正弦定理得，……①…………10分 由余弦定理得，即……②………11分 由①②解得：，．…………12分 17．【解析】（1）記“從15天的PM2.5日均監(jiān)測數據中，隨機抽出三天，恰有一天空氣質量達到一級”為事件，． ……………………4分 （2）依據條件，服從超幾何分布：其中，的可能值為，其分布列為：……………………7分 ……………………7分 （3）依題意可知，一年中每天空氣質量達到一級或二級的概率為，10分 一年中空氣質量達到一

11、級或二級的天數為，則~ ，一年中平均有240天的空氣質量達到一級或二級。12分 18．【解析】（1）分別取 的中點,連接 ,則∥,∥,且， 因為，,為的中點， 所以,， 又因為平面⊥平面， 所以平面．……………3分 B E D C A M N P 又平面, 所以∥，……5分 所以∥，且,因此四邊形為平行四邊形， 所以∥，所以∥，又平面，平面， 所以∥平面.…7分 B E D C A M H （或者建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，計算即證） （2）解法一: 過作垂直的延長線于,連接. 因為,, 所以平面,平面 則有.

12、所以平面,平面, 所以. 所以為二面角的平面角， 即. ……10分 在中，，則 ,. 在中，. 設，則,所以，又 在中,,即=， 解得，所以． ………………14分 解法二: 由（1）知平面，, 建立如圖所示的空間直角坐標系. 設，則,, ,， ,. D y B E C A M(o) x z 設平面的法向量 則所以 令, 所以 ， ……………………11分 又平面的法向量， 所以， 解得， 即．……………………14分 19．【解析】(1) 因為， 所以 ① 當時，，則，………………………………1分 ②

13、當時，，……………………2分 所以，即， 所以，而，……………………4分 所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以．……………5分 （2）由(1)得． 所以 ①， ②，……………7分 ②-①得：，……………8分 .………………10分 （3）由(1)知 ………………11分 ，………13分 所以 ， 故不超過的最大整數為．……………………………………………14分 20．【解析】（1）解法一（幾何法）設線段AF中點為，過作垂直于x軸，垂足為,則 ，…………… 2分 又∵， …………… 3分 ∴∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切。……………4分 解

14、法二（代數法）設,線段AF中點為，過作垂直于x軸， 垂足為，則， ∴． ……………2分 又∵點為線段AF的中點，∴，……………3分 ∴， ∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切?！?分 （2）設直線AB的方程為，， 由 ， ∴．……………5分 由， ， ……………6分 ，故的外接圓圓心為線段的中點。 設線段AB中點為點P，易證⊙P與拋物線的準線相切，切點為點M ， ．……7分 8分 又， ．……………9分 （3），設，10分 則 ，設，則 ……………11分 將代入可得： ． ①……………12分 由， 聯立可得，②……………13分

15、 聯立①②可得 ，解得． 。 ……………14分 21．【解析】（1） ，…… 1分 由的判別式， ①當即時，恒成立，則在單調遞增；…2分 ②當時，在恒成立，則在單調遞增； …3分 ③當時，方程的兩正根為 則在單調遞增，單調遞減，單調遞增． 綜上，當時，只有單調遞增區(qū)間； 當時，單調遞增區(qū)間為，； 單調遞減區(qū)間為． …… 5分 （2）即時，恒成立． 當時，在單調遞增， ∴當時，滿足條件． …7分 當時，在單調遞減， 則在單調遞減， 此時不滿足條件， 故實數的取值范圍為． …… 9分 （3）由（2）知，在恒成立， 令 ，則 ， …… 10分 ∴． …… 11分 又， ∴ ， ……13分 ∴ ． ……14分