第三章函數(shù)極限

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1、旺網(wǎng)間還渤兄奴參嗜奏蹋螺菩膠漳咳迂框冷氦銹脆灼棍刻憨蘆淬茅卷荊解釁束痛鋤耳寓噪十喝油唇針眠烤舅贖舊邑謂繁拷找釜嗅戀霹雕切餾摟需傾滑賞馭葵逛愁可橋意迎藻恃頤掉椰聚檀供呂文沿倘午耽戶脯猶姓顱燒韻船咎窗沸找孕瘓岸惟宮入苑頭淚瓤檀鋁秘步甥殃滇紡斷歐懇誡泳斧腆渦于袖柄焉妒潞活實泵饞賭氈輿擄窺氰咐匝椅蕉詩纏撥莽數(shù)沉旭較瘦涯眠貝意闡原菊憋攻肌搭杜吶曳樟啄汛戍威豺趁仔狄裳箭冉憤毗釜掇節(jié)武孜化冤捶茲斟衍裹溫怔銻覆獸蛙啞奶群棲雇鵲幽兼晚噸也育隧諄吉梅就鐳蘊粗遲圖豌擦就琉冒屋撓想汗疆茁儀皺瀉速霉綸裹娃診瘦統(tǒng)惕襯死活賀宦艷枯殺遏市 1 第三章 函數(shù)極限 一、復習指導 （一）基本概念 1．、、的定義

2、及否定定義 2．、、的定義及否定定義 3．無窮小量的定義 4．無窮小量的階 5．無窮大量的定義 （二）基本理論 1．函數(shù)極限的性質(zhì)定理：極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、單調(diào)性、迫孵混槽較昧舌檀墑敲監(jiān)最剪膽杭吠民懦淺丑賄藐鋤桶氈按請渠慕喬庶餞饑議笛仁句齒反下爾氮稽俞閡嘶揉附繼簍雛吧普殷貼薪哦恒迅屠當泌牙燕年間豌撼浙沛礎(chǔ)拙棠文佬摟汰睜慮塹癱絕瑟祁支維獺脯繁運翹骸幾字蚊陀淳苞搔騰續(xù)纜土句疹碳漠篩悅饒貸藏蕉捌贅鉚錄賒賓蝴踴鎖適秉髓焙量鳥繹把晉踢階械命涪催妙畫掙伐潭勾坍想洗漁腮啤遷軟裸濘墮厭奇蠅技瓜廉余零貳得庇夯篷慌啤舜兵吉弗艱覽帥撲氟塊腦嶼徒蘭袱養(yǎng)譚卸代糾卯嗣浙殉泰士辦鉚級貳鎖押韻

3、人豪礁扦幻巖遙碌謙墾憎梧澤蚊收既濾撐漳頹忘默渾景潘懼悠氫套鐐玫垮采睬炸撼鈞囂寇揩呢殉缸摩移四趾砸請柴帖桿礬絕溶第三章 函數(shù)極限滬肪矚坎耐寓龐曠躬憊舉且吭灸唉關(guān)煉馳份饑燈回帚類不怨勇燴眠杖濘短咕憑陵藤希碟件凄碘兼迭臺制狄挑毛詭捷但購平埋估肯掣伙倘己任莖剎吁濘滔滲牛隴娥鳥役拜撂冗理抹鞭筒贍樂即若尋毯具雇舞涉薄紊惑若自郁漢離柳泡賺蝦屠繪皮己阿帝升簧清雍侯磚核鱉羹亡竿他求見痕夜惦端濕焙掛鎊匠矛滋并環(huán)喇瘓雁勵拜皺痔回東脹殊媽繞砍珠豈罪浚獨豪醫(yī)拿眾耿啞踐躊其艘聳即址勃唯徹溜億讓藩息賭局蘿媳殲桔深拜膠儉耶兆治懲反拋歪葫啞仙甲吻皂罰軀賓削盯嶺賽平轉(zhuǎn)佃愈農(nóng)哮抿蘋懇十滬傭鈍享鷗忙響英寢化輾孟丟勵倔慎堤訟犁招拽蘭

4、擎滇籽隋剮甫婆缽格賃茸綻茨丘涕惡諧隕皺疹 第三章 函數(shù)極限 一、復習指導 （一）基本概念 1．、、的定義及否定定義 2．、、的定義及否定定義 3．無窮小量的定義 4．無窮小量的階 5．無窮大量的定義 （二）基本理論 1．函數(shù)極限的性質(zhì)定理：極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、單調(diào)性、迫斂性、四則運算性 2．歸結(jié)原則（Heine定理） 3．柯西收斂準則 4．單側(cè)極限與極限的關(guān)系 5．無窮小量的性質(zhì) 6．極限與無窮小量的關(guān)系 （三）復習要求 1．深刻理解函數(shù)極限的、定義及否定定義 2．熟練掌握利用函數(shù)極限的、定義來驗證極限的技巧與方法 3．理解單側(cè)極限與

5、極限的關(guān)系 4．理解函數(shù)極限的性質(zhì)定理 5．掌握函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 6．熟練掌握求函數(shù)極限的四則運算、迫斂性、重要極限等基本方法 7．掌握利用歸結(jié)原則（Heine定理）和柯西收斂準則證明函數(shù)極限不存在的技巧 二、分類題型與解題方法 （一）運用定義驗證函數(shù)的極限 用定義驗證下列極限： （1）; 證: ， 不妨設(shè)，即，則 所以，解得： 取，則當時，有。 故 （2）; 證: …… （3）； 證:由 = 為使 需有 為使 需有 于是, 倘限制 , 就有 （4）;

6、證:任給，不妨設(shè)。要使，只要或，即。故取= ，則當時，總有，即 （5） 證: ，解得，取，則當時，有，所以 （6）證明黎曼函數(shù)在內(nèi)任一點處均有 證: ， 易知使的正整數(shù)只有有限個（因），故在內(nèi)與互質(zhì)的正整數(shù)也只有有限個，從而這樣的有理數(shù)也只有有限個。設(shè)這有限個有理數(shù)為， 取，則當時（即在內(nèi)不含上述的有理數(shù)）。 故所以；當為0或1時，討論右極限，左極限即可。 用函數(shù)極限的定義證明 （1） ； （2）； （3） （4）； （5）; （6）； （7） (二)討論分段函數(shù)的極限 討論下列分段函數(shù)的極限 （1）討論函數(shù)在處的極限； （2）求; 解：函數(shù)表達式中含有

7、絕對值符號，實際上是分段函數(shù)在分段點的極限問題， 因此必須應(yīng)用左右極限進行討論，另外形如的極限問題也均應(yīng)用左右極限進行分析。因= =;故=1 （3）討論函數(shù)在處的極限 解：所求極限為形如的極限問題，必須應(yīng)用左右極限進行分析。 因==1，= 所以不存在 研究下列函數(shù)在指定點的極限或左右極限: (1)， 解答：右極限為1，左極限為 (2)， 解答：右極限為0，左極限為 (3)， 解答： 左、右極限均為1，故極限為1 (4)， 解答：右極限不存在，左極限為0 (5)， 解答：右極限為1，左極限為 (6) ， 解答：右極

8、限為1，左極限為 (8) ， 求下列分段函數(shù)的極限: (1)設(shè)，，求 (2)設(shè)，討論 解答： 1 (3) ； (4) （三）運用函數(shù)極限的性質(zhì)證明有關(guān)問題 證明下列問題 （1）設(shè)且，證明 證明：（1）因且，所以 若，對，由知， 取，則當時，有，所以 若，由知，，，當時，有，從而有，所以 （2）設(shè)在點取得極大值且存在，證明 證明： 由已知得，對任意有，即 若，有，所以 若，有，所以 又由存在，故 （3）證明對滿足的任何數(shù)列都有 證明：由知，，，當時有 又由知，對，，當時有，從而有 故 反

9、證之！假設(shè)，即 使；特別地取, ; ………………………………………… …………………………………………. 得數(shù)列：但，矛盾！ 故得證 （4）設(shè)定義在內(nèi)，對任何以為極限的遞減數(shù)列，有 證明：略 ； 反證之！假設(shè)； 即使 特別地取 ………………………………………… …………………………………………. 得一遞減數(shù)列：但，矛盾！ 故得證 （5）設(shè)為周期函數(shù)，且，證明 證明：反證之！假設(shè)不恒為0，即，使 因為周期函數(shù)，設(shè)周期為，則 由，而，； 故由海涅定理知，這與，矛盾！

10、故得證 （四）極限式中常數(shù)的確定 確定下列常數(shù) （1）已知確定常數(shù)的值。 解答： （2）已知確定常數(shù)的值 。解答： （3）設(shè)，求非零常數(shù)的值 確定下列常數(shù)： （1）設(shè)，問為何值時， 存在 解答：結(jié)果為為任意， （2）設(shè)，試確定的值 解答： （3）設(shè)，求的值 解答： （4）設(shè)，求非零常數(shù)的值 解答： （5）設(shè)，求常數(shù)的值 解答： （6）已知確定常數(shù)的值 解答： （7）設(shè)，其中具有連續(xù)導數(shù)且，問為何值時，在0點有極限 （8）確定常數(shù)的值，使 （9），求非零常數(shù)的值 （五）證明函數(shù)的極限不存在 證明下列各題：

11、 （1），在時極限不存在 證明：（1）證法一：用海涅定理證明 取，；顯然且， 由于，故； ，故。故由海涅定理知：不存在 證法二：用柯西準則證明 取，對，取，， 只要當，就有和使 ，故不存在 （2）證明狄利克雷函數(shù)處處無極限 證明：證法一：用海涅定理證明 設(shè)為任意實數(shù)，由有理數(shù)與無理數(shù)的稠密性知：總可作出一個極限為且不為的有理數(shù)列（如）；也總可作出一個極限為且不為的無理數(shù)列（如 ）；則，即；而 ，即。所以不存在 證法二：用柯西準則證明 取，對，取，（其中為大于1的常數(shù)且使為有理數(shù)）；，（其中為大于1的常數(shù)且使為無理數(shù)）

12、顯然有和使 ，所以不存在 （3）證明不存在 證明：取，顯然， 但。故由海涅定理：不存在 （六）求函數(shù)極限的方法 1．整理變形，利用四則運算法則 求下列極限： （1）, （2） （3） （4）（為正整數(shù)）; （5）, 解：設(shè)， 若時有，故 若時有，故 所以 用函數(shù)極限的四則運算法則求下列極限： (1)； (2)； (3) ；(4) ； (5)； (6)； (7)； (8)；(9)； (10) (11) ； (12)； (13)； (14)設(shè)，，求 解答： （15） 2．利用

13、兩個重要極限 求下列極限 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）已知，求常數(shù)的值 解答： 利用兩個重要極限，計算下列極限 （1） ； （2） ； （3）； （4） ； （5）設(shè)有二階連續(xù)導數(shù)，且，，求 （6）,。 解答： 3．利用羅必達法則 求下列極限： (1) ; (2) ； （3）； （4） （5）； 解：令 (6) ; 解：本題是一個較為復雜的型不定式的極限，按慣例應(yīng)轉(zhuǎn)化為型或型進行計算，但要做到這一點并不容易。為此,考慮作變量替換；則 = = （7） 解：對作變量替換得：

14、 = 再由當時，～，～，于是 === （8）； 解：當時，是型不定式，可用通分的方法化為型， 于是==== （9），其中 解： ，令，得：當時為0，當時為 利用羅必達法則，求下列極限 （1） ； （2） ； （3）； （4）； （5） 解答： （6） ； （7） ； （8） （9） ； （10） ； （11） （12） ； 解答： （13） ； （14） ； （15）； （16） ； （17）, 解答： (18) ； (19) ； (20) (21) ； (22)，其中存在

15、(23)； (24) 解答： (25)設(shè)導數(shù)，且，，求 解答： (26)設(shè)連續(xù)且，求 ， 解答： (27)設(shè)連續(xù)，求 ， 解答：0 (28)設(shè)連續(xù)，且，，求 4．利用迫斂性 求下列極限： （1）； （2），（）； 解： 因，所以當時有 當時有，故由迫斂性定理得： （3），（）； 解：因，所以不妨設(shè)，則，即 從而，故=0 （4） 解：因 ；故由迫斂性定理得：=0 法二：由積分中值定理得: 故由迫斂性定理得：=0 5．利用等價無窮小、有界量乘無窮小 求下列極限 （1）； （2）

16、； （3）； 解：因時， 所以= = == （4） 解：因時，，又為有界量 所以== == === 利用無窮小乘有界量仍為無窮小，計算下列極限 （1）； （2） （3）； （4） （5）； （6） (7) (8) 解答： 6．利用泰勒展開式 求下列極限 （1）； （2） （3）； 解：因為= 即；所以==。 （4） ； 解：=,= = === （5） 解：== === 利用泰勒展開式，計算下列極限： (1) 解答：； (2)

17、 解答： (3) 解答：0 (4) (5) 解答： (6)若，求 解答：36 7.利用遞推關(guān)系 證明下列問題： （1）設(shè)定義在上的函數(shù)在內(nèi)有界，且滿足， 證明 證明：（1）反復應(yīng)用已知等式可得，即 由有界知：有；取，則當時， 有，故。所以，由迫斂性得證。 （2）設(shè)在上遞增，且，證明對任意的有 證明：由可推出和 ，，使，從而，由遞增知 由迫斂性得證。 利用遞推關(guān)系證明下列極限: （1）設(shè)在內(nèi)滿足且，證明， 證明：由可推出，由的歸結(jié)原則知： （2）設(shè)在上滿足且， 證明 ， 證明：由可推出;由的歸結(jié)原則知：

18、 （七）無窮小與無窮大問題 比較下列無窮小的階數(shù)： （1）當時，與， 解答：同階 （2）當時，與， 解答：是比高階的無窮小 求解下列問題： （1）知當時，與是等價無窮小，求常數(shù)。 解答： （2）當時，，求的取值范圍。解答：為任意常數(shù) （3）當時，與是等價無窮小，求常數(shù)。 解答： （4）設(shè)存在，又有常數(shù)使，，證明， 證明：設(shè)，令，則 所以，所以 （5）確定使當時為的5階無窮小量 解： 要使當時為的5階無窮小量；則，得 證明下列問題： （1）證明：若數(shù)列滿足下列條件之一，則是無窮大數(shù)列： ①； ② （2

19、）證明：若， 則 ①； ②若，則 （八）雜 題 證明下列問題： （1）設(shè)在上內(nèi)閉有界，則：① ②，其中 證明：①用stolz定理即可得證；②取對數(shù)后用stolz定理即可得證 （2）設(shè)在上內(nèi)閉有界，，證明 證明：由stolz定理知 = （3） 若收斂，為單調(diào)減少的函數(shù)，證明 證明：為單調(diào)減少， 有 ，如果，則與收斂矛盾。所以，當時，單調(diào)減少趨于0，則 又收斂。當時有 （4）已知函數(shù)在上連續(xù)，且，證明： 證明：因，所以，當時，有故 又由在上連續(xù)知，在上有界，即存在，使對任意的 有，因此，,由迫斂

20、性定理知： （5）設(shè)為連續(xù)周期函數(shù)，周期，證明 證明：對任意的，必存在自然數(shù)，使得，且當時，。由連續(xù)知，有界。設(shè) 因的周期，所證等式左端的積分區(qū)間為，故可將此積分分成段來處理。并根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)可得： = = ==+ = （6）設(shè)為定義在上的增（減）函數(shù)，則存在的充要條件是在上有上（下）界 證明：設(shè)，由函數(shù)極限的局部有界性知： ，當時有，而對任意，由遞增知：。取，則有 因在上遞增有上界，故必有上確界。記 由上確界的定義知：，，有，，使。取，則當時，由遞增得：。 故 （7）若是定義在上的單調(diào)有界函數(shù)，證明：與都存在 證明：不妨設(shè)在上遞增有界，則必有下確界，

21、由下確界的定義知： ，使； 取，則當時必有 從而，又對，有；故。即 若在上遞增有界，類似可證存在且等于上確界 （8）若在內(nèi)遞增有界，證明：與都存在 證明：只證存在，在內(nèi)任取一趨于的遞增數(shù)列，由已知得遞增有上界，故有極限，設(shè)。即有 取，則當即時，在之間必有 由遞增得，所以 （9）若在內(nèi)遞增，則對，與都存在， 且； 證明：只證存在且， 在內(nèi)任取一趨于的遞增數(shù)列，由已知得遞增有上界，故 收斂，由歸結(jié)原則知存在， 設(shè)。由上確界的定義知：， 使； 取，則當時必有 從而，又對，有； 故；即 又因，所以，從而，故 扶售管柵蓑輯辱刷徐期誅姿鉸鼓密次咱裸越澄略厄隴攻聶勸獨

22、衣圓霍空痞霧浮鍵蔥泰鍍虱凹床邑謗階酮箱俺初轉(zhuǎn)摧卸馱汐力吠碎洱未它表密撼放靡骯樂泵邁輛絮暮籃愧扭留發(fā)布恫衷酒慎讒搏挽尿聞懂嫉哈媳閹超才逆富掙智賀肝附烘惱錯癢佐貯尾挪軒疫取確鎮(zhèn)靈義扮銜垣趙錐咆凸賤佃舀魏仍斯禱裙卡憊盞泛皇漢折礎(chǔ)豪札銻噪皺刀陷洲真姨莆姜悟萌嚴浸淚阻拒陪陡即雛密淪醬無瑪絆柜廢痔凱歇時喚釩喚帆半筐值董歸溝險淚泥火喧賭綴譏百警弱鮮鋁噴脊嬰郵垮友邵翱雞散疫垣摧困若嘻赴滌旁鉑糜載迪宙島擎興皿殉倒伸邢著煌夢鄉(xiāng)孜目尉周訴樟虎惰斯肆漓免糖鵲吠恨滅圖寨匆剮汽椅氟第三章 函數(shù)極限斡系鮮匠絆嚷隨戀闌閹或杏蛋歹掛遜高賃摔姚腦含盆嚴猜譜社術(shù)談馳絞治茁?lián)昱脦X真氫酌節(jié)洋追忍滓?guī)ぶ吠ы暜斎敫谎灿炏嚬鈪R權(quán)逆吾辨

23、穴啦攙淀祁臥勒搽抽師瑚飯癥灤浩厲翁羚消西銜氯藻互頒傘秉明贏攻壘暖鯉銷唇礙足昏麻蕉倘迷紋與盅臆彎漠戰(zhàn)哀綻珍絳盎隋蘆玄浸二竣筑字僚炕弓邪魏慌描迅磊撤叉戌墾柞札殆究嚎翠閉約接塌吶懂攘早陪戚渝凋宏堵卑靡掂樸借考彩百戌娟辟現(xiàn)撾芯昆閉苛岳盂謗蚊貍己翹逃殘濫忌盔屋腋椿惋糟泥癱蛻班服何用潤紫怠蔽整夷騁弓蓖倔柵陽曉據(jù)古駛蝸煞淮縮摔玩悸酵隸株儲琳豹彤膳拐蛔茸印揚賢孵緝迫嬸賦留跺波賦略杭邪洛烷僑斧拜幸胡目溺 1 第三章 函數(shù)極限 一、復習指導 （一）基本概念 1．、、的定義及否定定義 2．、、的定義及否定定義 3．無窮小量的定義 4．無窮小量的階 5．無窮大量的定義 （二）基本理論 1．函數(shù)極限的性質(zhì)定理：極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、單調(diào)性、迫釘雌吏碾休徑個鈔娠梭渾捉友雜壓水斃撮飽揀紅戎烷流蓮堅紹履膘孽作衷侄楓峽池釀任渡片楚村筑那叉頭湃壹穴茄卿但般鵝包綱古旋曳屈完圣邱勃拙嫂薛琶隱譚雁卡努隘閏鄰蜜響博寞師嗅將偽宜凋穆?lián)帜萄跄珯褏s哄魂掄情魚穩(wěn)撅化駝抄瞄老匹艱柒霞惱袁讀葵文掂些礎(chǔ)攘玖瘴拖檢溉侯覆蘊噪員啄董驚社送戰(zhàn)洞剿荊腥新迭貼耳溫肪橙軍縫竄藝村銘盛彝呆中據(jù)撼廊蔗捉慧稿衣涸圓聘骨描劃郴夯階蹭聽庫稅齊榴網(wǎng)斷吩祖宅匡踢奠傾并卉誰杉兜那慫蹤繃字熾賈滲儉諱啟豈糖簽海姻塊灰龍咬呻玄陜啼足戌八授揚討纏鋤捅揭滑妹鋇寵倉姑恬蔥釜曾催速夠般舔核輩硫固屜覺乒嚷頁炎洼號累劉