【走向高考】全國通用高考數學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題2 函數的概念、圖象與性質含解析

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1、【走向高考】（全國通用）2016高考數學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題2 函數的概念、圖象與性質 一、選擇題 1．(文)(2014新課標Ⅰ文，5)設函數f(x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函數 B．|f(x)|g(x)是奇函數 C．f(x)|g(x)|是奇函數 D．|f(x)g(x)|是奇函數 [答案]　C [解析]　本題考查函數的奇偶性． 由f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，得 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)． ∴f(x)g(x)是奇函數，|f(x)|g(

2、x)是偶函數， f(x)|g(x)|是奇函數，|f(x)g(x)|是偶函數，選C. [方法點撥]　函數奇偶性判定方法： 緊扣函數奇偶性的定義和函數的定義域關于坐標原點對稱、函數圖象的對稱性等對問題進行分析轉化，特別注意“奇函數若在x＝0處有定義，則一定有f(0)＝0，偶函數一定有f(|x|)＝f(x)”在解題中的應用． (理)(2015安徽理，2)下列函數中，既是偶函數又存在零點的是(　　) A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1 [答案]　A [解析]　考查函數的奇偶性和函數零點的概念． 由選項可知，B，C項均不是偶函數，故排除B，C；A

3、，D項是偶函數，但D項與x軸沒有交點，即D項的函數不存在零點，故選A. 2．(文)函數f(x)＝＋的定義域為(　　) A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] [答案]　A [解析]　本題考查了定義域的求法． 由題意知即即 ∴－30，解得x<0或

4、x>1，選C. [方法點撥]　1.求解函數的定義域一般應遵循以下原則： ①f(x)是整式時，定義域是全體實數；②f(x)是分式時，定義域是使分母不為零的一切實數；③f(x)為偶次根式時，定義域是使被開方數為非負值時的實數的集合；④對數函數的真數大于零，且當對數函數或指數函數的底數中含變量時，底數需大于0且不等于1；⑤零指數冪的底數不能為零；⑥若f(x)是由有限個基本初等函數運算合成的函數，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集；⑦對于求復合函數定義域的問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為[a，b]，其復合函數f[g(x)]的定義域應由不等式a≤g(x)≤b解出；⑧對于含字母參數

5、的函數求其定義域，根據具體情況需對字母參數進行分類討論；⑨由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義． 2．高考中常將指數函數、對數函數與二次函數或冪函數(例如分式函數、含偶次方根的函數)等結合起來考查，這時一般應從外到內逐層剝離解決． 例如，y＝，從總體上看是分式，故先由分母不為0得到≠0，再由偶次方根下非負得到2－log3x>0，即log3x<2，最后由對數函數單調性及對數函數定義域得到0

6、案]　C [解析]　當a≥1時，f(a)＝2a＞1， ∴f(f(a))＝2f(a)，當a＜1時，f(a)＝3a－1，若f(f(a))＝2f(a)，則f(a)≥1，即3a－1≥1，∴a≥，∴≤a＜1，綜上a≥.∴選C. [方法點撥]　1.分段函數求值或解不等式時，一定要依據條件分清利用哪一段求解，對于具有周期性的函數要用好其周期性． 2．形如f(g(x))的函數求值應遵循先內后外的原則． 4．(2015湖北理，6)已知符號函數sgn x＝f(x)是R上的增函數，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，則(　　) A．sgn [g(x)]＝sgn x B．sgn [g(x)]＝sg

7、n [f(x)] C．sgn [g(x)]＝－sgn x D．sgn [g(x)]＝－sgn [f(x)] [答案]　C [解析]　考查新定義問題及函數單調性的應用． 因為f(x)是R上的增函數，a＞1，所以當x＞0時，ax＞x，f(x)＜f(ax)，g(x)＜0；x＝0時，ax＝x，f(x)＝f(ax)＝f(0)，g(0)＝0；x＜0時，ax＜x，f(x)＞f(ax)，g(x)＞0. 因此sgn[g(x)]＝所以sgn[g(x)]＝－sgn x. 故本題正確答案為C. 5．(文)函數f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是(　　) [答案]　A [解析]　∵f(－x)＝

8、ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)， ∴f(x)是偶函數，排除C.∵x2＋1≥1，則ln(x2＋1)≥0，且當x＝0時f(0)＝0，所以排除B、D，選A. (理)若函數f(x)＝則當k>0時，函數y＝f[f(x)]＋1的零點個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　D [解析]　結合圖象分析．當k>0時，f[f(x)]＝－1，則f(x)＝t1∈(－∞，－)或f(x)＝t2∈(0,1)．對于f(x)＝t1，存在兩個零點x1、x2；對于f(x)＝t2，存在兩個零點x3、x4，共存在4個零點，故選D. 6．函數f(x)＝log(x2－4)的單調遞增區(qū)

9、間為(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) [答案]　D [解析]　本題考查復合函數的單調性，f(x)＝log(x2－4)由y＝logu及u＝x2－4復合而成，y＝logu在定義域內為減函數，而u＝x2－4在(－∞，－2)上是減函數，在(2，＋∞)上是增函數，所以f(x)＝log(x2－4)的單調遞增區(qū)間(－∞，－2)，選D. 7．(文)已知函數f(x)＝g(x)＝log2x，則f(x)與g(x)兩函數圖象的交點個數為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 [答案]　C [解析]　畫出兩函數的圖象知，當0

10、f(1)＝g(1)＝0；當x>1時，f(x)＝00，排除D，故選C. 解法2：利用復合函數單調性的判斷方法，由于u＝cosx在區(qū)間(－，0)、(0，)上分別為增函數和減函數，而y＝logu為減函數，故復合函數f(x)＝logcosx在區(qū)間(－，0)、(0，)上分別為減函數和增函數，故選C. 8．(文)如果我們定義一種運算：g?

11、h＝已知函數f(x)＝2x?1，那么函數f(x－1)的大致圖象是(　　) [答案]　B [解析]　由定義知，當x≥0時，2x≥1，∴f(x)＝2x，當x<0時，2x<1，∴f(x)＝1， ∴f(x)＝其圖象易作，f(x－1)的圖象可由f(x)的圖象向右平移1個單位得到，故選B. [方法點撥]　1.新定義題型要準確理解把握新定義的含義，發(fā)掘出其隱含條件． 2．恒成立問題要注意恒成立的臨界點及特值法應用． 3．分段函數的單調性和最值問題，一般是在各段上分別討論． (理)定義兩種運算：a⊕b＝，a?b＝，則函數f(x)＝為(　　) A．奇函數 B．偶函數 C．既是奇函數又為偶函

12、數 D．非奇函數且非偶函數 [答案]　A [解析]　本題考查對新運算的理解和應用以及函數奇偶性的判斷方法，難度中等． 根據所給的運算定義得函數f(x)＝＝，求出函數的定義域為[－2,0)∪(0,2]，關于原點對稱，且x－2≤0，所以函數f(x)＝＝＝，易知f(－x)＝－f(x)，所以原函數為奇函數，故選A. [易錯分析]　本題中常見錯誤是不化簡函數的解析式而直接將－x代入，導致選擇錯誤答案D. 9．(文)已知f(x)＝，則f(2013)等于(　　) A．－1 B．2 C．0 D．1 [答案]　D [解析]　∵2013＝4035－2，∴f(2013)＝f(－2)＝log22＝1

13、. (理)(2014湖南理，3)已知f(x)、g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 [答案]　C [解析]　本題考查函數的奇偶性． 分別令x＝1和x＝－1可得f(1)－g(1)＝3且f(－1)－g(－1)＝1?f(1)＋g(1)＝1，則 ??f(1)＋g(1)＝1，故選C. 10．(2015浙江嘉興測試一)偶函數f(x)在[0，＋∞)上為增函數，若不等式f(ax－1)

14、，2) D．(－2,2) [答案]　B [解析]　本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，如何利用單調性構造不等式是解答本題的關鍵所在，難度中等． 由于函數為偶函數，故f(ax－1)＝f(|ax－1|)，因此f(ax－1)

15、拓展，利用整體性思想解決問題可以回避分類討論的過程． 11．(文)若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝在區(qū)間(1,2)上都是減函數，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1] [答案]　D [解析]　由f(x)在(1,2)上為減函數得a≤1；由g(x)＝在(1,2)上為減函數得a>0，∴0

16、2－1≤－1， ∴()－x2＋2mx－m2－1≥2， ∴f(x)的值域為[2，＋∞)， ∵y＝()x單調遞減，y＝－(x－m)2－1的單調減區(qū)間為[m，＋∞)，∴f(x)的單調增區(qū)間為[m，＋∞)． 由條件知m＝2. [方法點撥]　函數單調性判定方法 一是緊扣定義；二是充分利用函數的奇偶性、函數的周期性和函數圖象的直觀性進行分析轉化．函數的單調性往往與不等式的解、方程的解等問題交匯，要注意這些知識的綜合運用．三是利用導數研究． 對于選擇、填空題若能畫出圖象一般用數形結合法；而對于由基本初等函數通過加、減運算或復合而成的函數常轉化為基本初等函數單調性的判斷問題；對于解析式為分式、指

17、數函數式、對數函數式等較復雜的函數用導數法；對于抽象函數一般用定義法． 12．(2015浙江寧波期末)設函數y＝f(x)是定義在R上以1為周期的函數，若g(x)＝f(x)－2x在區(qū)間[2,3]上的值域為[－2,6]，則函數g(x)在[－2012,2012]上的值域為(　　) A．[－2,6] B．[－4030,4024] C．[－4020,4034] D．[－4028,4016] [答案]　C [解析]　本題考查函數性質與歸納推理的應用，考查對抽象函數的理解和應用，難度較大． 求出幾個區(qū)間的值域，再進行歸納推理．當x∈[3,4]時，x－1∈[2,3]，g(x－1)＝f(x－1)－2

18、(x－1)，且g(x－1)∈[－2,6]，又f(x)的周期為1，所以f(x)－2x＝f(x－1)－2x＝g(x－1)－2∈[－4,4]，所以g(x)在[2,4]內的值域為[－4,6]．同理，當x∈[4,5]時，g(x)的值域是[－6,2]，所以g(x)在[2,5]內的值域為[－6,6]，…，g(x)在[2,2012]內的值域為[－4020,6]．g(x)在[1,2]內的值域為[0,8]，g(x)在[1,2012]內的值域為[－4020,8]，…，所以g(x)在[－2012,2012]內的值域為[－4020,4034]，故選C. [易錯分析]　抽象函數值域的求解是一個難點，尤其是與年份相關的周

19、期函數的值域問題，難度更大．利用函數的周期性及整體思想將函數進行變換，使函數g(x)能夠特殊化，從而歸納得出結論． 13．(文)已知f(x＋1)為偶函數，且f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞減，a＝f(2)、b＝f(log32)、c＝f()，則有 (　　) A．a

20、()1，f(2)＝，則實數a的取值范圍是___

21、_____． [答案]　(－1，) [解析]　f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<－1，即<－1，解得－1

22、2，解得x＝1；對于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg3，也無實數解；對于④，方程cos[π(x＋1)]＝cosπx＋cosπ，即cosπx＝，顯然存在x使等式成立，故填②④. 15．如圖所示，f(x)是定義在區(qū)間[－c，c](c>0)上的奇函數，令g(x)＝af(x)＋b，并有關于函數g(x)的四個論斷： ①若a>0，對于[－1,1]內的任意實數m、n(m0恒成立； ②函數g(x)是奇函數的充要條件是b＝0； ③?a∈R，g(x)的導函數g′(x)有兩個零點； ④若a≥1，b<0，則方程g(x)＝0必有3個實數根； 其中所有正確結論的序號是__

23、______． [答案]?、佗冖? [解析]　①∵g(x)＝af(x)＋b，∴＝，由圖知對于f(x)在[－1,1]上任意兩點A(m，f(m))，B(n，f(n))，有kAB＝>0，又a>0，∴>0恒成立，故①正確； ②g(x)為奇函數?g(－x)＝－g(x)?af(－x)＋b＝－af(x)－b?2b＝－a[f(－x)＋f(x)]，∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＋f(x)＝0，故g(x)為奇函數?b＝0，故②正確； ③g′(x)＝af ′(x)，由圖知f(x)在[－c，c]上減、增、減， ∴f ′(x)在[－c，c]上取值為負、正、負，從而當a≠0時，g′(x)＝0在[－c，c]上與x

24、軸必有兩個交點，又a＝0時，g′(x)＝0在[－c，c]上恒成立，∴?a∈R，g′(x)在[－c，c]上有兩個零點，故③正確； ④取a＝1，b＝－5，則g(x)＝f(x)－5與x軸無交點，∴方程g(x)＝0無實根，∴④錯誤． 三、解答題 16．已知函數f(x)的定義域為R，對任意的實數x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋，且f()＝0，當x>時，f(x)>0. (1)求f(1)； (2)判斷f(x)的增減性并證明． [解析]　(1)令x＝y＝，得f(1)＝f()＋f()＋＝. (2)f(x)為增函數，證明：任取x1、x2∈R，且x2>x1，Δx＝x2－x1>0，則： Δ

25、y＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝f(Δx)＋f(x1)＋－f(x1)＝f(Δx)＋＝f(Δx)＋f()＋＝f(Δx＋)， 又∵Δx>0，∴Δx＋>，∴f(Δx＋)>0， ∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在R上是增函數． [方法點撥]　抽象函數的求值與性質討論，常結合條件式通過賦值轉化解決，賦值時要緊扣目標進行．如判斷奇偶性要創(chuàng)設條件產生f(－x)與f(x)的關系式；判斷單調性，則要在設出x1