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1、專題升級訓(xùn)練 橢圓、雙曲線、拋物線(時間:60分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)1.(2013·遼寧師大附中模擬,6)若拋物線y2=ax的焦點與雙曲線=1的右焦點重合,則a的值為()A.4B.8C.16D.82.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為()A.=1B.=1C.=1D.=13.若點P為共焦點的橢圓C1和雙曲線C2的一個交點,F1,F2分別是它們的左、右焦點,設(shè)橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2.若=0,則=()A
2、.1B.2C.3D.44.若直線mx+ny=4與圓x2+y2=4沒有交點,則過點P(m,n)的直線與橢圓=1的交點有()A.至少1個B.2個C.1個D.0個5.已知點A,B是雙曲線x2-=1上的兩點,O為坐標(biāo)原點,且滿足=0,則點O到直線AB的距離等于()A.B.C.2D.26.直線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x交于A,B兩點,若|AB|=4,則弦AB的中點到直線x+=0的距離等于()A.B.2C.D.4二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)7.已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M(1,m),到其焦點的距離為5,雙曲線x2-=1的左頂點為A,若雙曲線的一條漸近線與直
3、線AM垂直,則實數(shù)a=. 8.在ABC中,AB=BC,cos B=-,若以A,B為焦點的橢圓經(jīng)過點C,則該橢圓的離心率e=. 9.連接拋物線x2=4y的焦點F與點M(1,0)所得的線段與拋物線交于點A,設(shè)點O為坐標(biāo)原點,則OAM的面積為. 三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)10.(本小題滿分15分)已知橢圓C:=1(a>b>0)的短軸長等于焦距,橢圓C上的點到右焦點F的最短距離為-1.(1)求橢圓C的方程;(2)過點E(2,0)且斜率為k(k>0)的直線l與C交于M,N兩點,P是點M關(guān)于x軸的對稱
4、點,證明:N,F,P三點共線.11.(本小題滿分15分)(2013·山東東營模擬,22)已知圓的方程為x2+y2=4,過點M(2,4)作圓的兩條切線,切點分別為A1,A2,直線A1A2恰好經(jīng)過橢圓=1(a>b>0)的右頂點和上頂點.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)AB是橢圓=1(a>b>0)垂直于x軸的一條弦,AB所在直線的方程為x=m(|m|<a且m0),P是橢圓上異于A,B的任意一點,直線AP,BP分別交定直線l:x=于Q,R兩點,求證:>4.12.(本小題滿分16分) (2013·重慶九校聯(lián)考,20)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知
5、橢圓C:=1(a>b>0),經(jīng)過點(1,e),其中e為橢圓的離心率,且橢圓C與直線y=x+有且只有一個交點. (1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)不經(jīng)過原點的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,第一象限內(nèi)的點P(1,m)(m>0)在橢圓上,直線OP平分線段AB,求:當(dāng)PAB的面積取得最大值時直線l的方程.#一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)1.C2.D解析:由題意知a2=4b2,故橢圓C的方程為=1.(*)又雙曲線的一條漸近線方程為y=x,假設(shè)它與橢圓的一個交點坐標(biāo)為(m,m),由對稱性及題意知8×m2=16,得m2=4,(2,2)在橢圓上,代入(*)式得b2
6、=5,從而a2=20,故選D.3.B解析:設(shè)橢圓方程為=1(a>b>0),雙曲線方程為=1(m>0,n>0),其中兩焦點距離為2c.不妨令P在第一象限,由題意知|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,又·=0,PF1PF2,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,2(a2+m2)=4c2,=2,故選B.來源:4.B解析:直線mx+ny=4與圓x2+y2=4沒有交點,圓心到直線的距離d=>2,解得m2+n2<4,即點P(m,n)在以原點為圓心,半徑為2的圓的內(nèi)部,而此圓在橢圓=1的內(nèi)部,故點P在橢圓內(nèi)部,經(jīng)過此點的任意直線與橢圓有兩個交點.故選B
7、.5.A解析:由·=0OAOB,由于雙曲線為中心對稱圖形,因此可考查特殊情況,令點A為直線y=x與雙曲線在第一象限的交點,因此點B為直線y=-x與雙曲線在第四象限的一個交點,因此直線AB與x軸垂直,點O到直線AB的距離就為點A或點B的橫坐標(biāo)的值.由x=.故選A.6.C解析:據(jù)拋物線定義知,|AB|=x1+x2+=4,x1+x2=.故弦AB的中點到x=-的距離為.二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)7.解析:根據(jù)拋物線的性質(zhì)得1+=5,p=8.不妨取M(1,4),則AM的斜率為2,由已知得-×2=-1.故a=.來源:8.解析:如圖所示,設(shè)AB=BC=x,由cos
8、 B=-及余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=x2+x2+2x2×,AC2=x2,AC=x.橢圓以A,B為焦點,焦距為2c=AB=x.又橢圓經(jīng)過點C,AC+BC=x+x=2a,來源:2a=x,e=.9.解析:線段FM所在直線方程x+y=1與拋物線交于A(x0,y0),則y0=3-2或y0=3+2(舍去).來源:SOAM=×1×(3-2)=.三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)10. 解: (1)由題可知解得a=,c=1,b=1.橢圓C的方程為+y2=1.(2)證明:設(shè)直線l為y=k(x
9、-2),M(x1,y1),N(x2,y2),P(x1,-y1),F(1,0),由得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0.x1+x2=,x1x2=.而=(x2-1,y2)=(x2-1,kx2-2k),=(x1-1,-y1)=(x1-1,-kx1+2k).(x1-1)(kx2-2k)-(x2-1)(-kx1+2k)=k2x1x2-3(x1+x2)+4=k=0,.N,F,P三點共線.11. 解: (1)觀察知,x=2是圓的一條切線,切點為(2,0).設(shè)O為圓心,根據(jù)圓的切線性質(zhì),MOA1A2,所以=-=-,所以直線A1A2的方程為y=-(x-2).直線A1A2與y軸相交于點(0,1),依題意
10、可知a=2,b=1,故橢圓的方程為+y2=1.(2)證明:橢圓方程為+y2=1,設(shè)P(x0,y0),A(m,n),B(m,-n),則有+4-4=0,m2+4n2-4=0.在直線AP的方程y-n=(x-m)中,令x=,整理,得yQ=.同理,yR=.×,并將=1-,n2=1-m2代入得來源:yQ·yR=.故··+yQ·yR=1+.因為|m|<2且m0,所以0<m2<4,>3,所以·>4.12.解:(1)橢圓經(jīng)過點(1,e),=1.又e=,=1,b2=1,橢圓C的方程為+y2=1.又橢圓C與直線y=x+有且只有
11、一個交點,方程+(x+)2=1,即(1+a2)x2+2a2x+2a2=0有兩個相等的實根,=(2a2)2-4(1+a2)·2a2=0,a2=2,橢圓C的方程為+y2=1.(2)由(1)知橢圓的方程為+y2=1,故P.設(shè)不經(jīng)過原點的直線l的方程為y=kx+t(t0),A(x1,y1),B(x2,y2).由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.又y1+y2=k(x1+x2)+2t=,直線OP方程為y=x且OP平分線段AB,在直線OP上,解得k=-,|AB|=·.又點P到直線l的距離d=h,SPAB=|AB|h=.設(shè)f(t)=(-t)2(4-2t2)=-2t4+4t3-8t+8.由直線l與橢圓C相交于A,B兩點可得-<t<,求導(dǎo)可得當(dāng)t=-時,f(t)在(-)上有最大值,此時SPAB取得最大值.此時直線l的方程為y=-x-.
專題六 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線
