萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修二、三：專題五 統(tǒng)計(jì) Word版含解析

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1、一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地,設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體,從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(nN),且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等,就稱這樣的抽樣方法為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(2)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法2系統(tǒng)抽樣(1)步驟：先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；根據(jù)樣本容量n,當(dāng)是整數(shù)時(shí),取分段間隔k；在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(lk)；按照一定的規(guī)則抽取樣本(2)適用范圍：適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)3分層抽樣(1)定義：在抽樣時(shí),將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例,從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體,將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本,這種抽樣方法是一種分層

2、抽樣(2)適用范圍：適用于總體由差異比較明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)4.三種抽樣方法的比較類別各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍共同點(diǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中逐個(gè)抽取最基本的抽樣方法總體中的個(gè)體數(shù)較少抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分,按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時(shí),采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層,按各層個(gè)體數(shù)之比抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成5統(tǒng)計(jì)圖表的含義(1)頻率分布表含義：把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表頻率分布表的畫法步驟：第一步：求極差,決定組數(shù)和組距,組距；第二步：分組,通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值

3、所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù),計(jì)算頻率,列出頻率分布表(2)頻率分布直方圖：能夠反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖(3)頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連接起來,就得到頻率分布折線圖(4)總體密度曲線：如果將樣本容量取得足夠大,分組的組距足夠小,則相應(yīng)的頻率折線圖將趨于一條光滑曲線,即總體密度曲線(5)莖葉圖的畫法步驟第一步：將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；第二步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列； 第三步：將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的兩側(cè)6樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù),叫做這組數(shù)據(jù)的

4、眾數(shù)(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列,處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(3)平均數(shù)：把稱為a1,a2,an這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,xn的平均數(shù)為x,則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s s27變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系,另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同,相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系(2)從散點(diǎn)圖上看,點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān),點(diǎn)分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)8兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)從散點(diǎn)圖上看,如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖

5、中心的一條直線附近,稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫回歸直線(2)回歸方程為x,其中,(3)通過求Q (yibxia)2的最小值而得出回歸直線的方法,即求回歸直線,使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小,這一方法叫做最小二乘法(4)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r0時(shí),表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r0時(shí),表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)r的絕對(duì)值越接近于1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)r的絕對(duì)值越接近于0,表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系,通常|r|大于0.75時(shí),認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性9獨(dú)立性檢驗(yàn)假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y,它們的取值分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為：y1y

6、2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbdabcdK2(其中nabcd為樣本容量)二、題之本：思想方法技巧1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的基礎(chǔ),是一種等概率的抽樣,它的特點(diǎn)是：(1)它要求總體個(gè)數(shù)較少；(2)它是從總體中逐個(gè)抽取的；(3)它是一種不放回抽樣.2.系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣,號(hào)碼序列一旦確定,樣本即確定好了.但要注意,如果編號(hào)的個(gè)體特征隨編號(hào)的變化呈現(xiàn)一定的周期性,那么樣本的代表性是不可靠的,甚至?xí)?dǎo)致明顯的偏向.3.分層抽樣一般在總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)使用.4.抽樣方法經(jīng)常交叉使用,比如系統(tǒng)抽樣中均勻分段后的第一段,可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；分層抽樣中,若每層中個(gè)體數(shù)量仍很

7、大時(shí),則可輔之以系統(tǒng)抽樣等.5.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣,所取的樣本沒有被重復(fù)抽取的情況分層抽樣,分層時(shí)不要求均分,但抽樣時(shí),要按各層中個(gè)體總數(shù)的比例在各層中抽取個(gè)體以上兩種抽樣都是一種等概率抽樣（即抽樣方法的公平性）這種等概率抽樣包含有兩層含義,其一、每次從總體中抽取一個(gè)個(gè)體時(shí),各個(gè)個(gè)體被抽取的概率是相等的其二、在整個(gè)抽樣過程中,各個(gè)個(gè)體被抽取到的概率相等6.用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想,而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計(jì)總體則是用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準(zhǔn)確,直方圖比較直觀.7.頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組中的頻率之和等于1；

8、注意頻率分布直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率/組距(而不是頻率),橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小,小矩形的面積表示頻率,在頻率分布直方圖中,各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率,所以,所有小長(zhǎng)方形的面積的和等于1.8.眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)(1)在頻率分布直方圖中估計(jì)眾數(shù)：直方圖中最高的矩形的中點(diǎn).(2)在頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù):中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等,由此可以估計(jì)中位數(shù)的值.(3)在頻率分布直方圖中估計(jì)平均數(shù):平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.9.對(duì)眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)估計(jì)總體數(shù)字特征的認(rèn)識(shí)（1）樣本眾數(shù)通常用來表示分類變量的中心值,

9、比較容易計(jì)算,但是它只能表示樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息.（2）中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響, 容易計(jì)算,它僅利用了數(shù)據(jù)排在中間的數(shù)據(jù)的信息.（3）樣本平均數(shù)與每個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān),所以,任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變.這是中位數(shù),眾數(shù)都不具有的性質(zhì),也正因?yàn)檫@個(gè)原因,與眾數(shù),中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息.（4）如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù),說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值;反之, 說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值.（5）使用者根據(jù)自己的利益去選擇使用中位數(shù)或平均數(shù)來描述數(shù)據(jù)的中心,從而產(chǎn)生一些誤導(dǎo)作用.10.莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是原有信息不會(huì)抹掉,能夠展示數(shù)據(jù)分布

10、情況,但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí),莖葉圖就顯得不太方便了.11.標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差都是測(cè)量樣本數(shù)據(jù)離散程度的工具,但在解決實(shí)際問題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.12.在研究?jī)蓚€(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí),必須從散點(diǎn)圖入手對(duì)于散點(diǎn)圖,可以做出如下判斷：(1)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系(2)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系(

11、3)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系13.分析兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的常用方法：(1)利用散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷；(2)利用相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷14.注意：(1)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法,只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí),求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義,否則無意義(2)根據(jù)回歸方程進(jìn)行的估計(jì)僅是一個(gè)預(yù)測(cè)值,而不是真實(shí)發(fā)生的值(3)用最小二乘法求回歸方程,關(guān)鍵在于正確求出系數(shù),由于,的計(jì)算量較大,計(jì)算時(shí)應(yīng)仔細(xì)小心15樣本中心點(diǎn)一定在回歸直線上.三、題之變：課本典例改編1. 原題（必修3第62頁的“如何得到敏感性問題的誠(chéng)實(shí)反應(yīng)”）改編 為了解某中學(xué)生遵守中華人民共和

12、國(guó)交通安全法的情況,調(diào)查部門在該校進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查,向被調(diào)查者提出兩個(gè)問題：（）你的學(xué)號(hào)是奇數(shù)嗎？（）在過路口時(shí)你是否闖過紅燈？要求被調(diào)查者背對(duì)著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣,如果出現(xiàn)正面,就回答第一個(gè)問題,否則就回答第二個(gè)問題被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問題,只需回答“是”或“不是”,因?yàn)橹挥姓{(diào)查者本人知道回答了哪一個(gè)問題,所以都如實(shí)地作了回答.結(jié)果被調(diào)查的800人（學(xué)號(hào)從1至800）中有240人回答了“是”.由此可以估計(jì)這800人中闖過紅燈的人數(shù)是 . 2. 原題（必修3第72頁）改編 為了了解某市居民的用水量,通過抽樣獲得了100位居民的月均用水量.第八題圖是調(diào)查結(jié)果的頻率直方

13、圖.（1）估計(jì)該樣本的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若以該樣本數(shù)據(jù)的頻率作為總體的概率,從該市（人數(shù)很多）任選3人,求用水量超過3噸的人數(shù)的期望值.【解析】（1）平均數(shù)為.因?yàn)椋?.08+0.16+0.30+0.44）0.5=0.49,所以中位數(shù)為2. 原題（必修3第73頁的探究“數(shù)據(jù)有時(shí)會(huì)被利用”）改編 2011年春節(jié)剛過,為留住本地人才,有一家公司在火車站等處張貼招聘啟示,“我們公司的收入水平很高”,“去年,在50名員工中,最高年收入達(dá)到了100萬,他們年收入的平均數(shù)是35萬.”如果你希望獲得年薪25萬元.(1)你判斷自己是否能夠成為此公司的一名高收入者？(2)如果招聘員繼續(xù)告訴你,“員工收入的變

14、化范圍是從05萬到100萬”,這個(gè)信息是否足以使你作出自己受聘的決定？為什么？(3)如果招聘員繼續(xù)給你提供了如下信息,員工收入的中間50%(即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的)的變化范圍是1萬到3萬,你又能否用這條信息來作出是否受聘的決定？(4)你能估計(jì)出收入的中位數(shù)是多少嗎？為什么平均值比估計(jì)出的中位數(shù)高很多？【解析】（1）不能.因?yàn)槠骄杖牒妥罡呤杖胂嗖钐?說明高收入的職工只能占極少數(shù).現(xiàn)在已經(jīng)知道至少有一個(gè)人的收入為100萬元,那么其他員工的收入之和為75萬元,每人平均只有1.53萬元,如果再有幾個(gè)收入特別高者,那么初進(jìn)公司的員工收入將會(huì)更低.(2)不能.要看中位數(shù)是多少.(3

15、)能,可以確定有75%的員工工資在1萬元以上.其中25%的員工工資在3萬元以上.(4)收入的中位數(shù)大約是2萬.因?yàn)橛心晔杖?00萬元的極端值得影響,使得年平均收入比中位數(shù)高許多.3. 原題（必修3第79頁練習(xí)第2題）改編 在某次測(cè)驗(yàn)中,有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分.用表示編號(hào)為n的同學(xué)所得成績(jī),且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢壕幪?hào)n12345成績(jī)7076727072(1)求第6位同學(xué)的成績(jī),及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s;(2)從前5位同學(xué)中,隨機(jī)地選2位同學(xué),求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間（68,75）中的概率.4. 原題（必修3第79頁練習(xí)第3題）改編 在春運(yùn)高峰時(shí)有顧客反映某家航空公司售票處售票的速度太慢

16、.為此,航空公司收集了100位顧客購票時(shí)所花費(fèi)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位：分鐘),結(jié)果如下表：2.3 1.0 3.5 0.7 1.0 1.3 0.8 1.0 2.4 0.91.1 1.5 0.2 8. 2 1.7 5.2 1.6 3.9 5.4 2.36.1 2.6 2.8 2.4 3.9 3.8 1.6 0.3 1.1 1.13.1 1.1 4.3 1.4 0.2 0.3 2.7 2.7 4.1 4.03.1 5.5 0.9 3.3 4.2 21.7 2.2 1.0 3.3 3.44.6 3.6 4.5 0.5 1.2 0.7 3.5 4.8 2.6 0.97.4 6.9 1.6 4.1 2.1

17、5.8 5.0 1.7 3.8 6.33.2 0.6 2.1 3.7 7.8 1.9 0.8 1.3 1.4 3.511 8.6 7.5 2.0 2.0 2.0 1.2 2.9 6.5 1.04.6 2.0 1.2 5.8 2.9 2.0 2.9 6.6 0.7 1.5航空公司認(rèn)為,為一位顧客辦理一次售票業(yè)務(wù)所需的時(shí)間在5分鐘之內(nèi)就是合理的.上面的數(shù)據(jù)是否支持航空公司的說法？顧客提出的意見是否合理？請(qǐng)你對(duì)上面的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治?回答下面問題：(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.(2)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M,分析數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn),并進(jìn)行分析.(3)你認(rèn)為應(yīng)該用哪一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來分析上述問題比

18、較合適？（2）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組的結(jié)果,100名顧客購票花費(fèi)時(shí)間的分組表繪制直方圖觀察數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn),直方圖如下：從直方圖可以看出,顧客購票所花費(fèi)時(shí)間的分布為右偏.有顧客反映這家航空公司售票處售票的速度太慢,這可能是由少數(shù)人提出來的.因此這些少數(shù)顧客提出的意見并不能代表大多數(shù)人,可以認(rèn)為顧客提出的意見是不完全合理的.(3) 從中位數(shù)來看,其結(jié)果為2.5分鐘,因此,從總體上看,該航空公司辦理一項(xiàng)售票業(yè)務(wù)所需的時(shí)間大約為2.5分鐘,在航空公司認(rèn)為的合理時(shí)間5分鐘之內(nèi),因此,可以說顧客提出的意見是不合理的.用中位數(shù)感覺較合理一些.5. 原題（必修3第82頁習(xí)題2.2A組第5題）改編 在一次人才招聘會(huì)上,

19、有兩家公司提供如下信息：公司甲：我們公司的收入水平很高,去年在80名員工中,最高年收入達(dá)到了150萬元,員工的年收入平均數(shù)是4萬；公司乙：我們公司規(guī)模比較大,共有150人,員工年收入的中間50%（即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的）的變化范圍是2.5萬到3.5萬.某位大學(xué)畢業(yè)生希望獲得年薪3萬元,根據(jù)以上信息,他應(yīng)該選擇哪家公司更好？6. 原題（必修3第八十六頁思考）改編 假設(shè)兒子身高與父親身高呈線性相關(guān)關(guān)系,若小明身高為172cm,他的爸爸和爺爺?shù)纳砀叻謩e為170cm和175cm,預(yù)測(cè)小明兒子的身高為 cm. 【解析】依題意可得如下表格父親身高x(cm)175170172兒子身高y(

20、cm)170172?由點(diǎn)（175,170）,（170,172）得直線方程為,所以當(dāng)時(shí),7. 原題（必修3第92的“相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)與弱”）改編 如圖是根據(jù),的觀測(cè)數(shù)據(jù)（i=1,2,10）得到的散點(diǎn)圖,由這些散點(diǎn)圖可以判斷變量,具有相關(guān)關(guān)系的圖是 （ ） A. B. C. D.【答案】D.【解析】中的點(diǎn)雜亂無章,不能判斷變量具有相關(guān)關(guān)系,中的點(diǎn)都在一條直線附近擺動(dòng),所以可以判斷具有線性相關(guān)關(guān)系.此題選D.8. 原題（必修3第127頁探究）改編1 多選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的一種題型,一般是從A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案,在一次考試中有5道多選題,某同學(xué)一道都不會(huì),他隨機(jī)的猜測(cè),則他答對(duì)題數(shù)的期望值為 .改編2 多選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的一種題型,一般是從A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案,每題至少有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,在一次考試中有10道多選題,一個(gè)小組中的10位學(xué)生答題情況如下表：答對(duì)題數(shù)02345678910概率0.100.150.250.300.20（1）對(duì)于每位學(xué)生來說,答對(duì)題數(shù)不少于7題的概率；（2）小組中若有2人以上（含2人）答對(duì)題數(shù)不超過6題的概率大于0.9,則這個(gè)小組需要重新考核,請(qǐng)問這個(gè)小組是否需要重新考核？【解析】（1）； （2）每位學(xué)生答對(duì)題數(shù)不超過6題的概率為0.5,設(shè)10位學(xué)生中答對(duì)題數(shù)不超過6題的人數(shù)為,則,所以所以該小組需要重新考核.