3、3x＋4y－1＝0或x＝1
解析：將過直線l2：x＋2y＝0與l3：2x＋2y－1＝0的交點的直線系設為(x＋2y)＋λ(2x＋2y－1)＝0(*)，即(1＋2λ)x＋(2＋2λ)y－λ＝0，由相切得＝1，解得λ＝1，代入(*)式，整理得選D.
答案：D
4．若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對稱，則由點M(a，b)向圓所作的切線長的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：由題意知直線2ax＋by＋6＝0過圓心C(－1,2)，則a－b－3＝0，當點M(a，b)到圓心的距離最小時，切線長最短，|MC|＝＝，當a＝2時最小，此時b＝－
4、1，切線長等于4.
答案：C
5．已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B，O是坐標原點，且有|＋|≥||，那么k的取值范圍是( )
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，2) D．[，2)
解析：當|＋|＝||時，A，B，O三點為等腰三角形的三個頂點，其中|OA|＝|OB|，∠AOB＝120，從而圓心O到直線x＋y－k＝0(k>0)的距離為1，此時，k＝；當k>時，|＋|>||，又直線與圓x2＋y2＝4存在兩交點，故k<2.綜上，k的取值范圍為[，2)．
答案：C
6．已知方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為( )
A
5、. B．(1,2)
C．(－∞，0)∪(1,2) D．(－∞，－1)∪
解析：依題意得不等式組，解得m<－1或1b>0)，則，解得所以橢圓的標準方程為＋＝1.
答案：D
8．過拋物線y＝ax2(a>0)的焦點F作一條直線交拋物線于A，
6、B兩點，若線段AF，BF的長分別為m，n，則等于( )
A. B.
C．2a D.
解析：設直線方程為y＝kx＋，與y＝ax2聯(lián)立消去y得ax2－kx－＝0，設A(x1，ax)，B(x2，ax)，則x1＋x2＝，x1x2＝－，x＋x＝＋，m＝ax＋，n＝ax＋，可得mn＝，m＋n＝＋，∴＝.
答案：B
9．設F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，過點F且斜率為－1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若A為線段BF的中點，則雙曲線C的離心率e＝( )
A. B.
C. D.
解析：由題意知，直線l的方程為y＝－(x－c)，解方程組，得A，解方程
7、組，得B，因為A為線段BF的中點，所以＝＋c，即b＝3a，所以e2＝＝＝1＋9＝10，所以e＝.
答案：A
10．與拋物線y2＝－2x相切，且與雙曲線－＝1的漸近線平行的直線方程為( )
A．y＝x－或y＝－x＋
B．y＝x－或y＝－x＋
C．y＝x－或y＝－x＋
D．y＝x－或y＝－x＋
解析：雙曲線－＝1的漸近線為y＝x，設所求直線的方程為y＝x＋m.把y＝x＋m代入拋物線y2＝－2x，得x2＋x＋m2＝0，由Δ＝2－4m2＝0，得m＝－，所以切線方程為y＝x－；把y＝－x＋m代入拋物線y2＝－2x，得x2－x＋m2＝0，由Δ＝2－4m2＝0，得m＝，所以切線方程為y＝－x
8、＋.綜上，切線方程為y＝x－或y＝－x＋.
答案：A
二、填空題(每小題5分)
11．直線x－ky＋1＝0與圓O：x2＋y2＝4相交于兩點A、B，則動弦AB中點M的軌跡方程是__________．
解析：設動點M的坐標為(x，y)，易知直線恒過定點P(－1,0)，由垂徑定理可得⊥，故＝x(x＋1)＋y2＝0，即2＋y2＝.
答案：2＋y2＝
12．兩條互相垂直的直線2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0的交點為P，若圓C過點P和點M(－3，2)，且圓心C在直線y＝x上，則圓C的標準方程為__________．
解析：由2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0垂直得2a＋4＝0，故a＝－
9、2，代入直線方程，聯(lián)立解得交點坐標為P(－1,0)，易求得線段MP的垂直平分線l的方程為x－y＋3＝0.設圓C的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則圓心(a，b)為直線l和直線y＝x的交點，聯(lián)立，解得圓心C的坐標為(－6，－3)，從而解得r2＝34，所以圓C的標準方程為(x＋6)2＋(y＋3)2＝34.
答案：(x＋6)2＋(y＋3)2＝34
13．過拋物線x2＝4y上一點M(x0，y0)(x0>0)作拋物線的切線與拋物線的準線交于點N(x1，y1)，則x0－x1的最小值為__________．
解析：由x2＝4y，得y＝x2，則y′＝x，拋物線的準線方程為y＝－1.
10、因為點M(x0，y0)是拋物線x2＝4y上一點，所以y0＝x，且過點M的拋物線的切線的斜率k＝x0，切線方程為y－y0＝x0(x－x0)，即y－x＝x0(x－x0)，令y＝－1，得x1＝x0－，所以x0－x1＝x0＋≥2，所以x0－x1的最小值為2.
答案：2
14．在平面直角坐標系中，點P為橢圓＋y2＝1上的一個動點，則點P到直線x－y＋6＝0的最大距離為__________．
解析：設直線x－y＋a＝0與橢圓相切，則方程組有唯一解，消去x，得4y2－2ay＋a2－3＝0，Δ＝4a2－16(a2－3)＝0，解得a＝2，所以直線x－y2＝0與橢圓相切，所以點P到直線x－y＋6＝0的最大距
11、離為直線x－y－2＝0與直線x－y＋6＝0間的距離，最大距離為＝4.
答案：4
15．過雙曲線x2－＝1左焦點F的直線交雙曲線于A，B兩點，若|AB|＝3，則△AOB的面積為__________．
解析：根據(jù)題意知，直線AB的斜率存在，設為k，F(xiàn)(－2,0)，則直線AB的方程為y＝k(x＋2)，代入雙曲線方程x2－＝1，得3x2－k2(x＋2)2－3＝0，即(3－k2)x2－4k2x－4k2－3＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4＝，所以|AB|＝＝＝3，解得k＝，所以直線AB的方程為y＝(x＋2)
12、，原點到直線AB的距離為d＝＝1，所以△AOB的面積為31＝.
答案：
三、解答題(第16,17,18,19題每題12分，第20題13分，第21題14分)
16．過平面內(nèi)M點的光線經(jīng)x軸反射后與圓C：x2＋(y－2)2＝2相切于A，B兩點．
(1)若M點的坐標為(5,1)，求反射光線所在直線的方程；
(2)若|AB|＝，求動點M的軌跡方程．
解：(1)由光的反射原理知，反射光線所在直線必過點(5，－1)，設反射光線所在直線的斜率為k，則此直線方程可以設為y＋1＝k(x－5)，即kx－y－5k－1＝0(*)．
又反射光線與圓C：x2＋(y－2)2＝2相切，所以＝，解得k＝－1或－，
13、代入(*)化簡整理，得反射光線所在直線的方程為x＋y－4＝0或7x＋23y－12＝0.
(2)設動點M的坐標為(x，y)(y≥0)，則反射光線所在直線必過點M關(guān)于x軸的對稱點Q(x，－y)，設動弦AB的中點為P，則|AP|＝，故|CP|＝＝.
由射影定理|CP||CQ|＝|AC|2，得|CQ|＝＝8，即＝8，即x2＋(y＋2)2＝128(y≥0)．
17．已知直線l1：mx－y＝0，l2：x＋my－2m－2＝0.
(1)證明：m取任意實數(shù)時，l1和l2的交點總在一個定圓C上；
(2)直線AB與(1)中的圓C相交于A，B兩點，
①若弦AB被點P平分，求直線AB的方程．
②若直線AB
14、經(jīng)過定點(2,3)，求使△ABC的面積取得最大值時的直線AB的方程．
解：(1)設l1和l2的交點坐標為(x，y)，則有，
消去m得，x2＋y2－2x－2y＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，所以l1和l2的交點總在圓心坐標為(1,1)，半徑為的圓上．
(2)①當弦AB被點P平分時，CP⊥AB，因為kCP＝＝1，所以kAB＝－1，由點斜式方程，得直線AB的方程為y－＝－，即x＋y－1＝0.
②當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x＝2，可求得|AB|＝2，S△ABC＝21＝1；當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，則圓心C到
15、直線AB的距離d＝＝，又S△ABC＝d2＝＝，當d2＝2
＝1，即k＝時，△ABC面積取得最大值1，此時，直線AB的方程為y－3＝(x－2)，即3x－4y＋6＝0.
綜上所求直線AB的方程為x＝2或3x－4y＋6＝0.
18．已知拋物線D的頂點是橢圓＋＝1的中心，焦點與橢圓的右焦點重合．
(1)求拋物線D的方程；
(2)已知動直線l過點P(4,0)，交拋物線D于A，B兩點．是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．
解：(1)由題意，可設拋物線D的方程為y2＝2px(p>0)．
由4－3＝1，得拋物線的焦點為
16、(1,0)，∴p＝2.
∴拋物線D的方程為y2＝4x.
(2)設A(x1，y1)，假設存在直線m：x＝a滿足題意，則圓心M，過M作直線x＝a的垂線，垂足為E，設直線m與圓M的一個交點為G.則|EG|2＝|MG|2－|ME|2，
即|EG|2＝|MA|2－|ME|2＝－2＝y(tǒng)＋＋a(x1＋4)－a2＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.
當a＝3時，|EG|2＝3，此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值2.
因此存在直線m：x＝3滿足題意．
19．已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切．過點P(－4,0)作斜率
17、為的直線l，使得直線l和雙曲線G交于A，B兩點，和y軸交于點C，并且點P在線段AB上，|PA||PB|＝|PC|2.
(1)求雙曲線G的方程；
(2)橢圓S的中心在原點，焦點在y軸上，它的短軸是G的實軸．如果S中垂直于l的平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，求橢圓S的方程．
解：(1)設雙曲線G的漸近線的方程為y＝kx，則由已知可得＝，所以k＝，即雙曲線G的漸近線的方程為y＝x.
設雙曲線G的方程為x2－4y2＝m，A(xA，yA)，B(xB，yB)．由，得3x2－8x－16－4m＝0，
則xA＋xB＝，xAxB＝－.(*)
因為|PA||PB|＝|PC|2，P，A，
18、B，C共線且P在線段AB上，
所以(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，整理得：4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0，將(*)代入上式，解得：m＝28.
所以雙曲線G的方程為－＝1.
(2)由題可設橢圓S的方程為：＋＝1(a>2)，弦的兩個端點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為Q(x0，y0)，
由，得
＋＝0，
因為＝－4，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
所以－＝0，
所以S中垂直于l的平行弦的中點的軌跡為直線－＝0截在橢圓S內(nèi)的部分．
又這個軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，所以＝，
所以a2＝56，橢圓S的方程為＋＝1.
2
19、0．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，且過點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點(A，B不是橢圓C的頂點)．點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸交于點M，在第一象限內(nèi)是否存在A點，使得AM與橢圓相切？若存在，求出A點的坐標；若不存在，說明理由．
解：(1)由e＝，得a＝2b，把點代入橢圓方程可得：＋＝1?b＝1，所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)假設存在A(x1，y1)(x1>0，y1>0)，則B(－x1，－y1)，直線AB的斜率kAB＝，
又AB⊥AD，所以直線AD的斜率k＝－，
設直線AD的方程為y＝kx＋m，D(x2，y
20、2)，由題意知k≠0，m≠0，
由，可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0.
所以x1＋x2＝－，因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
由題意知，x1≠x2，所以kBD＝＝－＝，
所以直線BD的方程為y＋y1＝(x＋x1)，
令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1,0)，
可得kAM＝－.設過點A的直線l：y＝tx＋p與橢圓相切，則把y＝tx＋p代入＋y2＝1，得(1＋4t2)x2＋8ptx＋4p2－4＝0有兩個相等實根，所以Δ＝(8pt)2－44(p2－1)(1＋4t2)＝0，所以4t2＝p2－1.
又方程的解為x1，即x1＝－，y1＝，所以t＝－.
若AM是橢
21、圓的切線，則－＝－，即x＝2y，
又因為＋y＝1，
所以x＝，y＝，
所以x1＝，y1＝，所以在第一象限內(nèi)存在點A，使得AM與橢圓相切．
21．已知焦距為2的橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F1、上頂點為D，直線DF1與橢圓C的另一個交點為H，且|DF1|＝7|F1H|.
(1)求橢圓的方程；
(2)點A是橢圓C的右頂點，過點B(1,0)且斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點，直線AE，AF分別交直線x＝3于M，N兩點，線段MN的中點為P.記直線PB的斜率為k′，求證：kk′為定值．
解：(1)∵橢圓C的焦距為2，
∴F1(－，0)，又D(0，b)，|DF1|＝7|F1H|，
∴點H的坐標為，則＋＝1，解得a2＝4，則b2＝4－3＝1，
∴橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)根據(jù)已知可設直線l的方程為y＝k(x－1)．
由，得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.直線AE，AF的方程分別為：y＝(x－2)，
y＝(x－2)，令x＝3，
則M，N，
∴P.
∴kk′＝
＝
＝
＝＝－.
高考數(shù)學 理二輪專題復習 專題能力提升練五 Word版含解析
