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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 3反證法課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2一、選擇題1反證法是()A從結(jié)論的反面出發(fā),推出矛盾的證法B對(duì)其否命題的證明C對(duì)其逆命題的證明D分析法的證明方法答案A解析反證法是先否定結(jié)論,在此基礎(chǔ)上,運(yùn)用演繹推理,導(dǎo)出矛盾,從而肯定原結(jié)論的真實(shí)性2否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說法中,正確的是()A有一個(gè)解B有兩個(gè)解C至少有三個(gè)解D至少有兩個(gè)解答案C3應(yīng)用反證法導(dǎo)出矛盾的推導(dǎo)過程中,要把下列哪些作為條件使用:結(jié)論相反判斷,即假設(shè);原命題的條件;公理、定理、定義等;原結(jié)論()ABC D答案C4“M不是N的子集”的充分必要條件是()A若xM
2、,則xNB若xN,則xMC存在x1M且x1N,又存在x2M且x2ND存在x0M且x0N答案D解析按定義,若M是N的子集,則集合M的任一個(gè)元素都是集合N的元素所以,要使M不是N的子集,只需存在x0M,但x0N.故選D.5“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定為()A自然數(shù)a、b、c都是奇數(shù)B自然數(shù)a、b、c都是偶數(shù)C自然數(shù)a、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D自然數(shù)a、b、c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)答案D解析恰有一個(gè)偶數(shù)的否定有兩種情況,其一是無偶數(shù),其二是至少有兩個(gè)偶數(shù)6若a、b、c不全為零,必須且只需()Aabc0Ba、b、c中至少有一個(gè)為0Ca、b、c中只有一個(gè)是0Da、b、c中至少有一個(gè)不為0答
3、案D解析a、b、c不全為零,即a、b、c中至少有一個(gè)不為0.二、填空題7某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下問題:函數(shù)f(x)在0,1上有意義,且f(0)f(1),如果對(duì)于不同的x1,x20,1,都有|f(x1)f(x2)|x1x2|,求證|f(x1)f(x2)|.那么其反設(shè)應(yīng)該是_答案如果對(duì)于不同的x1,x20,1,都有|f(x1)f(x2)|x1x2|,則|f(x1)f(x2)|解析根據(jù)題意知,反證法解題是從假設(shè)原命題不成立開始,把結(jié)論的否定作為條件,連同其他條件一起經(jīng)過推斷,得出與已知條件或已有原理相矛盾,從而肯定原命題的正確性這里進(jìn)行假設(shè)時(shí),注意把函數(shù)f(x)在0,1上有意義,且f(0)f(1)
4、剝離出來作為已知條件8用反證法證明命題“若p1p22(q1q2),則關(guān)于x的方程x2p1xq10與x2p2xq20中,至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根”時(shí),應(yīng)假設(shè)為_答案兩個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根三、解答題9求證:一個(gè)三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60.證明已知A、B、C為ABC的三個(gè)內(nèi)角求證:A、B、C中至少有一個(gè)不小于60.證明:假設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C都小于60,即A60,B60,C60,三式相加得ABC0,則三個(gè)數(shù),()A都大于2 B至少有一個(gè)大于2C至少有一個(gè)不小于2 D至少有一個(gè)不大于2答案C解析假設(shè)這三個(gè)數(shù)都小于2,則三個(gè)數(shù)之和小于6,又()()()2226,與假設(shè)矛盾,故這三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)
5、不小于2.另取xyz1,可排除A、B.2(2014山東理,4)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是()A方程x3axb0沒有實(shí)根B方程x3axb0至多有一個(gè)實(shí)根C方程x3axb0至多有兩個(gè)實(shí)根D方程x3axb0恰好有兩個(gè)實(shí)根答案A解析至少有一個(gè)實(shí)根的否定為:沒有實(shí)根反證法的假設(shè)為原命題的否定3設(shè)a、b、c為一個(gè)三角形的三邊,S(abc),若S22ab,試證S2aCS2a DS2a答案C解析對(duì)“0.將p兩邊平方,得ap2b2p,所以.因?yàn)閍、b、p均為有理數(shù),所以必為有理數(shù),這與已知條件矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤所以必為無理數(shù)點(diǎn)評(píng)數(shù)學(xué)中的有些命題,所給條件不
6、足以從正面證明結(jié)論正確,可采用反證法,否定結(jié)論,由此推出與已知或假設(shè)矛盾,證得結(jié)論8已知函數(shù)f(x)ax(a1)(1)證明:函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù);(2)用反證法證明方程f(x)0沒有負(fù)實(shí)數(shù)根分析(1)可直接用定義證明單調(diào)性;(2)應(yīng)用反證法要注意準(zhǔn)確作出反設(shè)證明(1)任取x1,x2(1,),不妨設(shè)x10.ax2x11,且ax10,所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因?yàn)閤110,x210,所以0.于是f(x2)f(x1)ax2ax10,故函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)(2)假設(shè)存在x00(x01)滿足f(x0)0,則ax0.又0ax01,所以01,即x02,與假設(shè)矛盾故x00不成立,故方程f(x)0沒有負(fù)實(shí)數(shù)根點(diǎn)評(píng)本題第(2)問如果不用反證法證明也可以利用第(1)問函數(shù)單調(diào)性證明,即x0,1x0時(shí),f(x)f(0)1,故當(dāng)x0時(shí),f(x)0,所以無負(fù)實(shí)數(shù)根