精編高中數(shù)學北師大版選修22教案：第5章 拓展資料：復數(shù)中數(shù)學思想

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1、精編北師大版數(shù)學資料 復數(shù)中數(shù)學思想“碰頭會” 數(shù)學解題講究的是最基本思想方法，那么復數(shù)問題中主要有哪些基本的數(shù)學思想？ 1．函數(shù)思想 函數(shù)思想是一種重要的數(shù)學思想，有關(guān)復數(shù)的最值問題，常通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解． 例1　已知復數(shù)，則的最大值是______ 解析：設(shè)出復數(shù)的代數(shù)形式，將問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)函數(shù)的最值問題． 設(shè)． ，， ． ，∴當時，有最大值，故選（Ｂ）． 評注：依據(jù)復數(shù)模的定義，將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題。 2．整體思想 對于有些復數(shù)問題，若從整體上去觀察、分析題設(shè)結(jié)構(gòu)，充分利用復數(shù)的有關(guān)概念、共軛復數(shù)的性質(zhì)與模的意義等，對問題進行整體處理，能收到簡

2、捷、明快的效果． 例2　設(shè)復數(shù)和它的共軛復數(shù)滿足，求復數(shù)的值． 解析：設(shè)，將化為． 由，整體代入，得， ． 根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，得 故． 評注：在求解過程中，充分利用共軛復數(shù)性質(zhì)，整體代入可獲得簡捷、明快、別具一格的解法． 3．分類討論思想 復數(shù)問題中若含有參數(shù)，常常需要根據(jù)參數(shù)的范圍分類討論． 例3　設(shè)，在內(nèi)解方程． 解析：∵，，∴，　　∴為實數(shù)或純虛數(shù)． （1）若為實數(shù)，原方程轉(zhuǎn)化為，　　解得； （2）若為純虛數(shù)，　　設(shè)， 于是方程轉(zhuǎn)化為． ①當時，解得； ②當時，方程無解． 綜上，時，，或；時，． 評注：在復數(shù)集內(nèi)解含有參數(shù)的方程，根可能是實數(shù)也可能是虛數(shù)，因此需對此分類討論． 4．數(shù)形結(jié)合思想 在處理復數(shù)問題時，靈活地運用復數(shù)的幾何意義，以數(shù)思形、以形助數(shù)，可使許多問題得到直觀、快捷地解決． 例4　已知虛數(shù)的模為，求的最大值． 解析：由于與為變量，且，可由已知條件得到關(guān)于與的等式，也就是動點的軌跡，再結(jié)合圖1考慮的取值情況，求出最大值． 由是虛數(shù)，得， 又由，得． 這是以為圓心，為半徑的圓，是圓上動點（除去）與連線的斜率，過點作圓的切線、，則斜率的最大值為． ∴的最大值為． 評注：與復數(shù)有關(guān)的最值問題通常要利用復數(shù)的幾何意義。