高中數(shù)學北師大版選修2－3同步導學案：第3章 章末分層突破

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1、2019年北師大版精品數(shù)學資料 章末分層突破 [自我校對] ①回歸分析 ②獨立性檢驗 ③相關系數(shù) ④相互獨立事件 　　 回歸分析 分析兩個變量線性相關的常用方法： (1)散點圖法，該法主要是用來直觀地分析兩變量間是否存在相關關系． (2)相關系數(shù)法，該法主要是從量上分析兩個變量間相互聯(lián)系的密切程度，|r|越接近于1，相關程度越大；|r|越接近于0，相關程度越?。? 　下表是一位母親給兒子作的成長記錄： 年齡/周歲 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 90.8 97.6 104.2 110.9 115.6 122.0 12

2、8.5 年齡/周歲 10 11 12 13 14 15 16 身高/cm 134.2 140.8 147.6 154.2 160.9 167.5 173.0 (1)年齡和身高之間具有怎樣的相關關系？ (2)如果年齡(3周歲～16周歲之間)相差5歲，其身高有多大差異？ (3)如果身高相差20 cm，其年齡相差多少？ 【精彩點撥】　本例考查對兩個變量進行回歸分析．首先求出相關系數(shù)，根據相關系數(shù)的大小判斷其是否線性相關，由此展開運算． 【規(guī)范解答】　(1)設年齡為x，身高為y，則＝(3＋4＋…＋15＋16)＝9.5， ＝(90.8＋97.6＋…＋167.5

3、＋173.0)≈131.985 7， x＝1 491，y＝252 958.2，xiyi＝18 990.6，14 ≈17 554.1， ∴x－14()2＝227.5，y－14()2≈9 075.05， xiyi－14 ＝1 436.5， ∴r＝ ＝≈0.999 7. 因此，年齡和身高之間具有較強的線性相關關系． (2)由(1)得b＝＝≈6.314， a＝－b＝131.985 7－6.3149.5≈72， ∴x與y的線性回歸方程為y＝6.314x＋72. 因此，如果年齡相差5歲，那么身高相差6.3145＝31.57(cm)． (3)如果身高相差20 cm，年齡相差≈3.168

4、 ≈3(歲)． [再練一題] 1．某運動員訓練次數(shù)與運動成績之間的數(shù)據關系如下： 次數(shù)x 30 33 35 37 39 44 46 50 成績y 30 34 37 39 42 46 48 51 (1)作出散點圖； (2)求出回歸直線方程； (3)計算相關系數(shù)并進行相關性檢驗； (4)試預測該運動員訓練47次及55次的成績． 【解】　(1)作出該運動員訓練次數(shù)x與成績y之間的散點圖，如圖所示，由散點圖可知，它們之間具有線性相關關系． (2)列表計算： 次數(shù)xi 成績yi x y xiyi 30 30 900 900 9

5、00 33 34 1 089 1 156 1 122 35 37 1 225 1 369 1 295 37 39 1 369 1 521 1 443 39 42 1 521 1 764 1 638 44 46 1 936 2 116 2 024 46 48 2 116 2 304 2 208 50 51 2 500 2 601 2 550 由上表可求得＝39.25，＝40.875， ＝12 656， ＝13 731，iyi＝13 180， ∴b＝≈1.041 5， a＝－b＝－0.003 88， ∴回歸直線方程為

6、y＝1.041 5x－0.003 88. (3)計算相關系數(shù)r＝0.992 7，因此運動員的成績和訓練次數(shù)兩個變量有較強的相關關系． (4)由上述分析可知，我們可用回歸直線方程y＝1.041 5x－0.003 88作為該運動員成績的預報值． 將x＝47和x＝55分別代入該方程可得y≈49和y≈57.故預測該運動員訓練47次和55次的成績分別為49和57. 獨立性檢驗 獨立性檢驗問題的基本步驟為： (1)找相關數(shù)據，作列聯(lián)表． (2)求統(tǒng)計量χ2. (3)判斷可能性，注意與臨界值做比較，得出事件有關的可信度． 　考察黃煙經過藥物處理跟發(fā)生青花病的關系，得到如下數(shù)據：在試驗的

7、470株黃煙中，經過藥物處理的黃煙有25株發(fā)生青花病，60株沒有發(fā)生青花??；未經過藥物處理的有185株發(fā)生青花病，200株沒有發(fā)生青花?。囃茢嘟涍^藥物處理跟發(fā)生青花病是否有關系． 【精彩點撥】　提出假設，根據22列聯(lián)表求出χ2，從而進行判斷． 【規(guī)范解答】　由已知得到下表： 藥物處理 未經過藥物處理 總計 青花病 25 185 210 無青花病 60 200 260 總計 85 385 470 假設經過藥物處理跟發(fā)生青花病無關． 根據22列聯(lián)表中的數(shù)據，可以求得χ2＝≈9.788. 因為χ2＞7.879， 所以我們有99. 5%的把握認為經過藥物

8、處理跟發(fā)生青花病是有關系的． [再練一題] 2．某學校高三年級有學生1 000名，經調查研究，其中750名同學經常參加體育鍛煉(稱為A類同學)，另外250名同學不經常參加體育鍛煉(稱為B類同學)．現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類、B類分兩層)從該年級的學生中共抽查100名同學，如果以身高達165 cm作為達標的標準，對抽取的100名學生，得到以下列聯(lián)表： 體育鍛煉與身高達標22列聯(lián)表 身高達標 身高不達標 總計 積極參加體育鍛煉 40 不積極參加體育鍛煉 15 總計 100 (1)完成上表． (2)請問體育鍛煉與身高達標是否有關系(χ2值精確到

9、0.01)? 參考公式：χ2＝. 【解】　(1) 身高達標 身高不達標 總計 積極參加體育鍛煉 40 35 75 不積極參加體育鍛煉 10 15 25 總計 50 50 100 (2)根據列聯(lián)表得 χ2＝≈1.33＜2.706， 所以沒有充分的理由說明體育鍛煉與身高達標有關系. 1．(2015湖北高考)已知變量x和y滿足關系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關．下列結論中正確的是(　　) A．x與y正相關，x與z負相關 B．x與y正相關，x與z正相關 C．x與y負相關，x與z負相關 D．x與y負相關， x與z正相關 【解析】　因為y＝

10、－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負相關．因為y與z正相關，可設z＝by＋a，b>0，則z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故x與z負相關． 【答案】　C 2．(2015福建高考)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據表： 收入x(萬元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據上表可得回歸直線方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝－b.據此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為(　　) A．11.4萬元　　　　　 B．11.8萬元 C

11、．12.0萬元 D．12.2萬元 【解析】　由題意知，＝＝10， ＝＝8， ∴a＝8－0.7610＝0.4， ∴當x＝15時，y＝0.7615＋0.4＝11.8(萬元)． 【答案】　B 3．(2014湖北高考)根據如下樣本數(shù)據 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 得到的回歸方程為＝bx＋a，則(　　) A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【解析】　作出散點圖如下： 觀察圖象可知，回歸直線＝bx＋a的斜率b＜0，當x＝0時，＝a＞0.故a＞0，b＜0

12、. 【答案】　A 4．(2016全國卷Ⅲ)如圖31是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． 注：年份代碼1～7分別對應年份2008～2014. 圖31 (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明； (2)建立y關于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646. 參考公式：相關系數(shù)r＝，回歸方程＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b＝，a＝－b. 【解】　(1)由折線圖中的數(shù)據和附注中的參考數(shù)據得 ＝4，(ti－)2＝28，＝0.55， (ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－49.32＝2.89， ∴r≈≈0.99. 因為y與t的相關系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系． (2)由＝≈1.331及(1)得 b＝＝≈0.103. a＝－b≈1.331－0.1034≈0.92. 所以y關于t的回歸方程為＝0.92＋0.10t. 將2016年對應的t＝9代入回歸方程得＝0.92＋0.109＝1.82. 所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸．