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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料
例談分析法在解題中的應(yīng)用
分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明的方法，從推理的程序上來(lái)講，它是一種從未知到已知（從結(jié)論到題設(shè)）的邏輯推理方法，具體說(shuō)，就是先假定問(wèn)題的結(jié)論成立，再利用公理、定義、定理和公式，經(jīng)過(guò)正確的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊徊讲降赝评?，最后得到一個(gè)顯然成立的關(guān)系，即已證的命題或題設(shè)的已知條件，從而判定問(wèn)題的結(jié)論成立。分析法的應(yīng)用較廣，通常在幾何、三角、不等式的證明中經(jīng)常采用。舉例說(shuō)明。
例1下面是真命題還是假命題，用分析法證明你的結(jié)論。
命題：若。
解：此命題是真命題。
因?yàn)椋?
。
要證成立，只要證，
即證，也就是證，
即證
因?yàn)?
所
2、以成立。
故原不等式成立。
評(píng)注：應(yīng)用分析法證題時(shí)，語(yǔ)氣總是假定的，通常的語(yǔ)氣有：“若要證明A，則先證明B；若要證明B，則先證明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，……”。值得注意的是，在證明過(guò)程中從一個(gè)命題推到下一個(gè)命題時(shí)，必須注意它們之間的等效性。
例2求證：當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大。
證明：設(shè)圓正方形的周長(zhǎng)為，則圓的面積為，正方形的面積為。
因此，本題只須證明：。
為了證明上式成立，只須證明：，
兩邊同乘以正數(shù)，得。
因此，只須證明。
因?yàn)樯鲜绞浅闪⒌模浴?
這就證明了如果一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等，那么圓的面積比正方形的面積大。
例3已知，且
①
②
求證：。
證明：因?yàn)?
所以將①、②兩式代入上式，得： ③
另一方面，要證，
即證，
即證，
即證，
即證，
由于上式與③式相同，于是問(wèn)題得證。
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