新版高中數(shù)學 2.2.1拋物線及其標準方程練習 北師大版選修11

新版數(shù)學北師大版精品資料【成才之路】高中數(shù)學 2.2.1拋物線及其標準方程練習 北師大版選修1-1一、選擇題1．平面內(nèi)到定點F的距離等于到定直線l的距離的點的軌跡是(　　)A．拋物線　　　　　 B．直線C．拋物線或直線 D．不存在[答案]　C[解析]　當點F在直線l上時，為過點F與l垂直的直線；當點F不在直線l上時，為拋物線．2．拋物線y2＝20x的焦點坐標為(　　)A．(20,0) B．(10,0)C．(5,0) D．(0,5)[答案]　C3．已知拋物線y＝x2，則它的焦點坐標是(　　)A．(0，) B．(，0)C．(，0) D．(0，)[答案]　D[解析]　由y＝x2，得x2＝y(tǒng)，則＝，拋物線開口向上，所以焦點坐標為(0，)．4．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則p的值為(　　)A．－2　　 B．2　　C．－4　　 D．4[答案]　D[解析]　橢圓的右焦點為(2,0)，∴＝2，∴p＝4.5．以拋物線y2＝4x的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為(　　)A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0[答案]　D[解析]　拋物線y2＝4x的焦點是(1,0)．∴圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.6．設拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是(　　)A．4　　 B．6　　C．8　　 D．12[答案]　B[解析]　本題考查拋物線的定義．由拋物線的定義可知，點P到拋物線焦點的距離是4＋2＝6.二、填空題7．在平面直角坐標系xOy中，若拋物線y2＝4x上的點P到該拋物線的焦點的距離為6，則點P的橫坐標x＝________.[答案]　5[解析]　設P(x0，y0)，拋物線y2＝4x的準線x＝－1，則P到準線的距離為x0＋1.∵P到焦點的距離為6，∴由拋物線定義得x0＋1＝6，∴x0＝5.8．根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：(1)準線方程為x＝－1，________；(2)焦點在x軸的負半軸上，焦點到準線的距離是2，________.[答案]　(1)y2＝4x　(2)y2＝－4x[解析]　(1)∵拋物線的準線方程為x＝－1，∴焦點在x軸正半軸，且＝1，∴p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x.(2)∵焦點到準線距離為2，∴p＝2.又∵焦點在x軸負半軸上，∴拋物線方程為y2＝－4x.三、解答題9．分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程．(1)過點(3，－4)；(2)焦點在直線x＋3y＋15＝0上．[解析]　(1)∵點(3，－4)在第四象限，∴拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝，∴所求拋物線的方程為y2＝x或x2＝－y.(2)對于直線x＋3y＋15＝0，令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15.∴拋物線的焦點坐標為(0，－5)或(－15,0)．∴所求拋物線的標準方程是x2＝－20y或y2＝－60x.10．某河上有座拋物線形拱橋，當水面距拱頂5m時，水面寬為8m，一木船寬4m，高2m，載貨后木船露在水面上的部分高為m，問水面上漲到與拱頂相距多少時，木船開始不能通航？[答案]　2m[解析]　以拱橋頂為坐標原點，拱高所在直線為y軸，建立如圖所示的坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意知，點A(4，－5)在拋物線x2＝－2py(p>0)上．∴16＝－2p×(－5)，2p＝.∴拋物線方程為x2＝－y(－4≤x≤4)．設水面上漲，船面兩側(cè)與拋物線拱橋接觸于B、B′時，船開始不能通航，設B(2，y′)．由22＝－×y′，∴y′＝－.∴水面與拋物線拱頂相距|y′|＋＝2(m)．水面上漲到與拋物線拱頂相距2m時，木船開始不能通航.一、選擇題1．在平面直角坐標系內(nèi)，到點(1,1)和直線x＋2y＝3的距離相等的點的軌跡是(　　)A．直線 B．拋物線C．圓 D．雙曲線[答案]　A[解析]　∵點(1,1)在直線x＋2y＝3上，故所求點的軌跡是過點(1,1)且與直線x＋2y＝3垂直的直線．2．拋物線y＝x2(a≠0)的焦點坐標為(　　)A．(0，)或(0，－) B．(0，)C．(0，)或(0，－) D．(0，)[答案]　B[解析]　拋物線的標準方程為x2＝ay，當a>0時，2p＝a，p＝，焦點坐標為(0，)；當a<0時，2p＝－a，p＝－，焦點坐標為(0，－)，即(0，)．故選B.3．過點F(0,3)，且和直線y＋3＝0相切的動圓圓心的軌跡方程為(　　)A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝12y D．x2＝－12y[答案]　C[解析]　由題意，知動圓圓心到點F(0,3)的距離等于到定直線y＝－3的距離，故動圓圓心的軌跡是以F為焦點，直線y＝－3為準線的拋物線．4．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，則p的值為(　　)A. B．1C．2 D．4[答案]　C[解析]　拋物線的準線為x＝－，將圓方程化簡得到(x－3)2＋y2＝16，準線與圓相切，則－＝－1?p＝2，選C.二、填空題5．(2014·西安市長安中學期中)已知橢圓x2＋ky2＝3k(k>0)的一個焦點與拋物線y2＝12x的焦點重合，則該橢圓的離心率是________．[答案]　[解析]　拋物線的焦點為F(3,0)，橢圓的方程為：＋＝1，∴3k－3＝9，∴k＝4，∴離心率e＝＝.6．若拋物線y2＝2px的焦點坐標為(1,0)，則p＝________，準線方程為________．[答案]　2　x＝－1[解析]　本題考查拋物線的焦點坐標及準線方程. 由＝1知p＝2，則準線方程為x＝－＝－1.三、解答題7．設拋物線的方程為y＝ax2(a≠0)，求拋物線的焦點坐標與準線方程．[答案]　(0，)　y＝－[解析]　拋物線方程y＝ax2(a≠0)化為標準形式：x2＝y(tǒng)，當a>0時，則2p＝，解得p＝，＝，∴焦點坐標是(0，)，準線方程是y＝－.當a<0時，則2p＝－，＝－.∴焦點坐標是(0，)，準線方程是y＝－，綜上，焦點坐標是(0，)，準線方程是y＝－.8．在拋物線y2＝2x上求一點P，使其到直線l：x＋y＋4＝0的距離最小，并求最小距離．[答案]　P　最小距離[解析]　解法一：設P(x0，y0)是拋物線上的點，則x0＝，P到直線x＋y＋4＝0的距離為d＝＝＝≥＝.故當點P的坐標為時，d有最小值.解法二：因為無實根，所以直線與拋物線沒有公共點．設與直線x＋y＋4＝0平行的直線為x＋y＋m＝0.由消去x，得y2＋2y＋2m＝0，設此直線與拋物線相切，即只有一個公共點．所以Δ＝4－8m＝0，所以m＝.由，得y＝－1，x＝.即點P到直線x＋y＋4＝0的距離最近，距離d＝＝.。