高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第十一章】統(tǒng)計與概率 第8講二項分布與正態(tài)分布

上傳人:仙*** 文檔編號:43052014 上傳時間:2021-11-29 格式:DOC 頁數(shù):8 大小:85.50KB
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1、 精品資料 第8講 二項分布與正態(tài)分布 一、選擇題 1.甲、乙兩地都位于長江下游,根據(jù)天氣預(yù)報的紀(jì)錄知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,兩市同時下雨占12%.則甲市為雨天,乙市也為雨天的概率為(  ) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.66 解析 甲市為雨天記為事件A,乙市為雨天記為事件B,則P(A)=0.2,P(B)=0.18, P(AB)=0.12, ∴P(B|A)===0.6. 答案 A

2、2. 投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次,記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 本題涉及古典概型概率的計算.本知識點在考綱中為B級要求.由題意得P(A)=,P(B)=,則事件A,B至少有一件發(fā)生的概率是1-P()·P()=1-×=. 答案 C 3.在4次獨立重復(fù)試驗中,隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率,則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是 (  ).

3、 A.[0.4,1] B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1] 解析 設(shè)事件A發(fā)生的概率為p,則Cp(1-p)3≤Cp2(1-p)2,解得p≥0.4,故選A. 答案 A 4.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1),則c等于(  ). A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵μ=2,由正態(tài)分布的定義,知其函數(shù)圖象關(guān)于x=2對稱,于是=2,∴c=2. 答案 B 5.在正態(tài)分布N中,數(shù)值前在(-∞,-1)∪(1,+∞)內(nèi)的概率為(  ). A.0.097

4、B.0.046 C.0.03 D.0.0026 解析 ∵μ=0,σ= ∴P(X<1或x>1)=1-P(-1≤x≤1)=1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=1-0.997 4=0.002 6. 答案 D 6.已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)=·e-(x∈R,i=1,2,3)的圖象如圖所示,則 (  ). A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 解析 正態(tài)分布密度函數(shù)φ2(x)和φ3(x)的圖象都是關(guān)于同一條直線對稱

5、,所以其平均數(shù)相同,故μ2=μ3,又φ2(x)的對稱軸的橫坐標(biāo)值比φ1(x)的對稱軸的橫坐標(biāo)值大,故有μ1<μ2=μ3.又σ越大,曲線越“矮胖”,σ越小,曲線越“瘦高”,由圖象可知,正態(tài)分布密度函數(shù)φ1(x)和φ2(x)的圖象一樣“瘦高”,φ3(x)明顯“矮胖”,從而可知σ1=σ2<σ3. 答案 D 二、填空題 7.三支球隊中,甲隊勝乙隊的概率為0.4,乙隊勝丙隊的概率為0.5,丙隊勝甲隊的概率為0.6,比賽順序是:第一局是甲隊對乙隊,第二局是第一局的勝者對丙隊,第三局是第二局勝者對第一局的敗者,第四局是第三局勝者對第二局?jǐn)≌?,則乙隊連勝四局的概率為________. 解析 設(shè)乙隊連勝

6、四局為事件A,有下列情況:第一局中乙勝甲(A1),其概率為1-0.4=0.6;第二局中乙勝丙(A2),其概率為0.5;第三局中乙勝甲(A3),其概率為0.6;第四局中乙勝丙(A4),其概率為0.50,因各局比賽中的事件相互獨立,故乙隊連勝四局的概率為:P(A)=P(A1A2A3A4)=0.62×0.52=0.09. 答案 0.09  8.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1),如果P(X≤1)=0.8413,則P(-1<X<0)=________. 解析 ∵P(X≤1)=0.841 3, ∴P(X>1)=1-P(X≤1)=1-0.841 3=0.158 7.

7、 ∵X~N(0,1),∴μ=0. ∴P(X<-1)=P(X>1)=0.158 7, ∴P(-1<X<1)=1-P(X<-1)-P(X>1)=0.682 6. ∴P(-1<X<0)=P(-1<X<1)=0.341 3. 答案 0.341 3 9.設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),記Ф(x)=P(ξ<x),給出下列結(jié)論: ①Φ(0)=0.5; ②Φ(x)=1-Φ(-x); ③P(|ξ|<2)=2Φ(2)-1. 則正確結(jié)論的序號是________. 答案 ①②③ 10.商場經(jīng)營的某種包裝大米的質(zhì)量(單位:kg)服從

8、正態(tài)分布X~N(10,0.12),任選一袋這種大米,質(zhì)量在9.8~10.2 kg的概率是________. 解析 P(9.8<X<10.2)=P(10-0.2<X<10+0.2)=0.954 4. 答案 0.954 4 三、解答題 11.設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X~N(110,202),且知試卷滿分150分,這個班的學(xué)生共54人,求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù). 解 由題意得μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ), ∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)

9、+P(X-μ>σ) =2P(X-μ<-σ)+0.682 6=1, ∴P(X-μ<-σ)=0.158 7, ∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158 7=0.841 3. ∴54×0.841 3≈45(人),即及格人數(shù)約為45人. ∵P(X≥130)=P(X-110≥20)=P(X-μ≥σ), ∴P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ) =0.682 6+2P(X-μ≥σ)=1, ∴P(X-μ≥σ)=0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人), 即130分以上的人數(shù)約為9人. 12.在

10、某市組織的一次數(shù)學(xué)競賽中全體參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布N(60,100),已知成績在90分以上的學(xué)生有13人. (1)求此次參加競賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人? (2)若計劃獎勵競賽成績排在前228名的學(xué)生,問受獎學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是多少? 解 設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機變量X,X~N(60,100). 則μ=60,σ=10. (1)P(30<X≤90)=P(60-3×10<X≤60+3×10)=0.997 4. ∴P(X>90)=[1-P(30<X≤90)]=0.001 3 ∴學(xué)生總數(shù)為:=10 000(人). (2)成績排在前228名的學(xué)生數(shù)占總數(shù)的0.022 8.

11、 設(shè)分?jǐn)?shù)線為x. 則P(X≥x0)=0.022 8. ∴P(120-x0<x<x0)=1-2×0.022 8=0.954 4. 又知P(60-2×10<x<60+2×10)=0.954 4. ∴x0=60+2×10=80(分). 13.某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10 結(jié)算時間(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3

12、 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55 %. (1)確定x,y的值,并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望; (2)若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨立,求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.(注:將頻率視為概率) 解 (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本,將頻率視為概率得 P(X=1)==,P(X=1.5)==,P(X=2)==,P(X=2.5)==,P(X

13、=3)==. X的分布列為 X 1 1.5 2 2.5 3 P X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)=1×+1.5×+2×+2.5×+3×=1.9. (2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘”,Xi(i=1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時間,則 P(A)=P(X1=1且X2=1)+P(X1=1且X2=1.5)+P(X1=1.5且X2=1). 由于各顧客的結(jié)算相互獨立,且X1,X2的分布列都與X的分布列相同,所以 P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+P(X1=1)×

14、P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×P(X2=1) =×+×+×=. 故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為. 14.現(xiàn)有甲、乙兩個靶,某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊. (1)求該射手恰好命中一次的概率; (2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X). 解 (1)記:“該射手恰好命中一次”為事件A,“該射手射擊甲靶命中”為事件B,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C,

15、“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D. 由題意,知P(B)=,P(C)=P(D)=, 由于A=B +C+ D, 根據(jù)事件的獨立性和互斥性,得 P(A)=P(B +C+ D) =P(B )+P(C)+P( D) =P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D) =××+××+×× =. (2)根據(jù)題意,知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的獨立性和互斥性,得 P(X=0)=P( ) =[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)] =××=; P(X=1

16、)=P(B )=P(B)P()P() =××=; P(X=2)=P( C+ D)=P( C)+P( D) =××+××=; P(X=3)=P(BC+BD)=P(BC)+P(BD) =××+××=; P(X=4)=P(CD)=××=, P(X=5)=P(BCD)=××=. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.

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