高考數(shù)學理一輪資源庫 選修系列學案74不等式選講

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1、 精品資料學案74不等式選講(一)不等式的基本性質及含有絕對值的不等式導學目標： 1.理解不等式的基本性質.2.理解絕對值的幾何意義，理解絕對值不等式的性質：|ab|a|b|.3.求解以下類型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c(c>0)自主梳理1不等式的基本性質(1)對稱性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b_.(2)傳遞性：如果a>b，b>c，那么_即a>b，b>c_.(3)可加性：如果_，那么ac>bc，如果a>b，c>d，那么ac>bd.(4)可乘性：如果a>

2、;b，c>0，那么_；如果a>b，c<0，那么_；如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(5)乘方：如果a>b>0，那么an_bn(nN，n>1)(6)開方：如果a>b>0，那么>(nN，n>1)2形如|axb|>c(c>0)的不等式的解法(1)換元法：令taxb，則|t|>c，故t>c或t<c，即axb>c或axb<c，然后求x，得原不等式的解集；(2)分段討論法：|axb|>c(c>0)或.(3)兩端同時平方：即運用移項法則，使不等式兩邊都變

3、為非負數(shù)，再平方，從而去掉絕對值符號3形如|xa|xb|c的絕對值不等式的解法(1)運用絕對值的幾何意義(2)零點分區(qū)間討論法(3)構造分段函數(shù)，結合函數(shù)圖象求解4絕對值不等式的性質|a|b|a±b|a|b|.自我檢測1若x>y，a>b，則在ax>by，ax>by，ax>by，xb>ya，>這五個式子中，恒成立的所有不等式的序號是_2(2011·天津)已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，則集合AB_.3(2010·濰坊一模)已知不等式|x2|x3|a的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是_4若不等式

4、|x1|x2|<a無實數(shù)解，則a的取值范圍是_5(2009·福建)解不等式|2x1|<|x|1.探究點一絕對值不等式的解法例1 解下列不等式：(1)1<|x2|3；(2)|2x5|>7x；(3)|x1|2x1|<2.變式遷移1 (1)(2011·江蘇，21D)解不等式x|2x1|<3.(2)設函數(shù)f(x)|2x1|x4|.解不等式f(x)>2；求函數(shù)yf(x)的最小值探究點二絕對值的幾何意義在不等式中的應用例2已知不等式|x2|x3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集為R；(3)若不等式解集為.分別求出實數(shù)m的取值范

5、圍變式遷移2設函數(shù)f(x)|x1|x2|，若f(x)>a對xR恒成立，求實數(shù)a的取值范圍探究點三絕對值三角不等式定理的應用例3“|xA|<，且|yA|<”是“|xy|<”(x，y，A，R)成立的_條件變式遷移3(1)求函數(shù)y|x2|x2|的最大值；(2)求函數(shù)y|x3|x2|的最小值轉化與化歸思想的應用例(10分)設aR，函數(shù)f(x)ax2xa (1x1)，(1)若|a|1，求證：|f(x)|；(2)求a的值，使函數(shù)f(x)有最大值.多角度審題第(1)問|f(x)|f(x)，因此證明方法有兩種，一是利用放縮法直接證出|f(x)|；二是證明f(x)亦可第(2)問實質上是已

6、知f(x)的最大值為，求a的值由于x1,1，f(x)是關于x的二次函數(shù)，那么就需判斷對稱軸對應的x值在不在區(qū)間1,1上【答題模板】證明(1)方法一1x1，|x|1.又|a|1，|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2分2.若|a|1，則|f(x)|.5分方法二設g(a)f(x)ax2xa(x21)ax.1x1，當x±1，即x210時，|f(x)|g(a)|1；1分當1<x<1即x21<0時，g(a)(x21)ax是單調遞減函數(shù)|a|1，1a1，g(a)maxg(1)x2x12；3分g(a)ming(1)x2x12.4分|f(x)|

7、g(a)|.5分(2)當a0時，f(x)x，當1x1時，f(x)的最大值為f(1)1，不滿足題設條件，a0.又f(1)a1a1，f(1)a1a1.故f(1)和f(1)均不是最大值，7分f(x)的最大值應在其對稱軸上的頂點位置取得，命題等價于，8分解得，9分a2.即當a2時，函數(shù)f(x)有最大值.10分【突破思維障礙】由于|a|1，f(x)的表達式中有兩項含有a，要想利用條件|a|1，必須合并含a的項，從而找到解題思路；另外，由于x的最高次數(shù)為2，而a的最高次數(shù)為1，把ax2xa看作關于a的函數(shù)更簡單，這兩種方法中，對a的合并都是很關鍵的一步【易錯點剖析】在第(1)問中的方法一中，如果不合并含a

8、的項，就無法正確應用條件|a|1，從而導致出錯或證不出；方法二也需要先合并含a的項后，才容易把f(x)看作g(a)解含有絕對值不等式時，去掉絕對值符號的方法主要有：公式法、分段討論法、平方法、幾何法等這幾種方法應用時各有利弊，在解只含有一個絕對值的不等式時，用公式法較為簡便；但是若不等式含有多個絕對值時，則應采用分段討論法；應用平方法時，要注意只有在不等式兩邊均為正的情況下才能運用因此，在去絕對值符號時，用何種方法需視具體情況而定(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2011·廣東)不等式|x1|x3|0的解集是_2函數(shù)y|x4|x6|的最小值為_3不等式3|52x|

9、<9的解集為_4不等式|x3|x1|a23a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_5若不等式|8x9|<7和不等式ax2bx>2的解集相等，則實數(shù)a、b的值分別為_和_6若關于x的不等式|x1|x3|a22a1在R上的解集為，則實數(shù)a的取值范圍是_7函數(shù)f(x)|x2|x4|的值域是_8(2010·深圳一模)若不等式|x1|x3|a對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_二、解答題(共42分)9(14分)(2010·福建)已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集為x|1x5，求實數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，若f(x)f(x5)

10、m對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍10(14分)(2011·課標全國)設函數(shù)f(x)|xa|3x，其中a>0.(1)當a1時，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集為x|x1，求a的值11(14分)對于任意實數(shù)a(a0)和b，不等式|ab|ab|a|(|x1|x2|)恒成立，試求實數(shù)x的取值范圍學案74不等式選講(一)不等式的基本性質及含有絕對值的不等式答案自主梳理1(1)b<a(2)a>ca>c(3)a>b(4)ac>bcac<bc(5)>自我檢測1解析令x2，y3，a3，b2，符合題設條件x>y，a

11、>b，ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此不成立又ax6，by6，axby，因此也不正確又1，1，因此不正確由不等式的性質可推出成立2x|2x5解析|x3|x4|9，當x<3時，x3(x4)9，即4x<3；當3x4時，x3(x4)79恒成立；當x>4時，x3x49，即4<x5.綜上所述，Ax|4x5又x4t6，t(0，)，x262，當t時取等號Bx|x2，ABx|2x53a5解析由絕對值的幾何意義知|x2|x3|5，)，因此要使|x2|x3|a有解集，需a5.4a3解析由絕對值的幾何意義知|x1|x2|的最小值為3，而|x1|x2|<a無解，知a3

12、.5解當x<0時，原不等式可化為2x1<x1，解得x>0，又x<0，x不存在；當0x<時，原不等式可化為2x1<x1，解得x>0，又0x<，0<x<；當x時，原不等式可化為2x1<x1，解得x<2，又x，x<2.綜上，原不等式的解集為x|0<x<2課堂活動區(qū)例1 解題導引(1)絕對值不等式的關鍵是去掉絕對值符號其方法主要有：利用絕對值的意義；利用公式；平方、分區(qū)間討論等(2)利用平方法去絕對值符號時，應注意不等式兩邊非負才可進行(3)零點分段法解絕對值不等式的步驟：求零點；劃區(qū)間、去絕對值號；分別解去掉絕

13、對值的不等式；取每個結果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值解(1)原不等式等價于不等式組，即，解得1x<1或3<x5，所以原不等式的解集為x|1x<1，或3<x5(2)由不等式|2x5|>7x，可得2x5>7x或2x5<(7x)，整理得x>2，或x<4.原不等式的解集是x|x<4，或x>2(3)由題意x1時，|x1|0，x時，2x10(以下分類討論)所以當x<時，原不等式等價于得<x<.當x1時，原不等式等價于得x<0.當x>1時，原不等式等價于得x無解由得原不等式的解集為x|<x<

14、;0變式遷移1 解(1)原不等式可化為或解得x<或2<x<.所以原不等式的解集是x|2<x<(2)解令y|2x1|x4|，則y作出函數(shù)y|2x1|x4|的圖象(如圖)，它與直線y2的交點為(7,2)和(，2)所以|2x1|x4|>2的解集為(，7)(，)由函數(shù)y|2x1|x4|的圖象可知，當x時，y|2x1|x4|取得最小值.例2解題導引恒成立問題的解決方法(1)f(x)<m恒成立，需有f(x)max<m；(2)f(x)>m恒成立，需有f(x)min>m；(3)不等式的解集為R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集為，即不等式無解解因為

15、|x2|x3|的幾何意義為數(shù)軸上任意一點P(x)與兩定點A(2)、B(3)距離的差即|x2|x3|PAPB.易知(PAPB)max1，(PAPB)min1.即|x2|x3|1,1(1)若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可，即m<1.(2)若不等式的解集為R，即不等式恒成立，m小于|x2|x3|的最小值即可，所以m<1.(3)若不等式的解集為，m只要不小于|x2|x3|的最大值即可，即m1.變式遷移2解由|x1|x2|的幾何意義，即數(shù)軸上的點x到數(shù)軸上的點1,2的距離之和知，|x1|x2|1，要使|x1|x2|>a恒成立，只需1>a.即實數(shù)a的取值范圍為(，

16、1)例3解題導引對絕對值三角不等式|a|b|a±b|a|b|.(1)當ab0時，|ab|a|b|；當ab0時，|ab|a|b|.(2)該定理可以推廣為|abc|a|b|c|，也可強化為|a|b|a±b|a|b|，它們經常用于含絕對值的不等式的推證(3)利用“”成立的條件可求函數(shù)的最值答案充分不必要解析|xy|xA(yA)|，由三角不等式定理|a|b|ab|a|b|得：|xy|xA|yA|<.反過來由|xy|<，得不出|xA|<且|yA|<，應為充分不必要條件變式遷移3解(1)|x2|x2|(x2)(x2)|4，當x>2時，“”成立故函數(shù)y|x2

17、|x2|的最大值為4.(2)|x3|x2|(x3)(x2)|5.當2x3時，取“”故y|x3|x2|的最小值為5.課后練習區(qū)11，)解析方法一不等式等價轉化為|x1|x3|，兩邊平方得(x1)2(x3)2，解得x1，故不等式的解集為1，)方法二不等式等價轉化為|x1|x3|，根據絕對值的幾何意義可得數(shù)軸上點x到點1的距離大于等于到點3的距離，到兩點距離相等時x1，故不等式的解集為1，)22解析y|x4|x6|(x4)(x6)|2，ymin2.3(2,14,7)解析由得，解得2<x1或4x<7.不等式解集為(2,14,7)4(，14，)解析由|x3|x1|的幾何意義知，|x3|x1|

18、4,4，即|x3|x1|的最大值是4，要使|x3|x1|a23a對任意實數(shù)x恒成立，只需a23a4恒成立即可所以a(，14，)549解析由|8x9|<7，得7<8x9<7，2<x<.由題意知2，為方程ax2bx20的兩根，.61<a<3解析由|x1|x3|的幾何意義知|x1|x3|2，即|x1|x3|的最小值為2.當a22a1<2時滿足題意，a22a3<0，1<a<3.72,2解析|x2|x4|(x2)(x4)|2，故2|x2|x4|2，故函數(shù)f(x)的值域是2,28(，0)2解析由|x1|x3|的幾何意義知，|x1|x3|4，

19、)，a4.當a>0時，a4，當且僅當a2時，取等號，當a<0，顯然符合題意9解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.(3分)又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5，所以解得a2.(6分)(2)當a2時，f(x)|x2|，設g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|(9分)所以當x<3時，g(x)>5；當3x2時，g(x)5；當x>2時，g(x)>5.綜上可得，g(x)的最小值為5.(12分)從而若f(x)f(x5)m，即g(x)m對一切實數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(，5(14分)方法二(1)同方法一(6分)(2)當a2時，f(

20、x)|x2|.設g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(當且僅當3x2時等號成立)得，g(x)的最小值為5.(10分)從而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m對一切實數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(，5(14分)10解(1)當a1時，f(x)3x2可化為|x1|2.由此可得x3或x1.(4分)故不等式f(x)3x2的解集為x|x3或x1(6分)(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化為不等式組或(8分)即或(10分)因為a>0，所以不等式組的解集為x|x(12分)由題設可得1，故a2.(14分)11解由題知，|x1|x2|恒成立故|x1|x2|不大于的最小值(2分)|ab|ab|abab|2|a|，當且僅當(ab)(ab)0時取等號，的最小值等于2.(6分)x的取值范圍即為不等式|x1|x2|2的解解不等式得x.(14分)