高考數(shù)學復(fù)習：第五章 ：第五節(jié)　數(shù)列的綜合問題突破熱點題型

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1、 精品資料 第五節(jié)　數(shù)列的綜合問題 考點一 等差、等比數(shù)列的綜合問題 　 [例1]　在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)． (1)設(shè)bn＝an＋1－an(n∈N*)，證明：{bn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； (3)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：此時對任意的n∈N*，an是an＋3與an＋6的等差中項． [自主解答]　(1)證明：由題設(shè)an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(a

2、n－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2. 又b1＝a2－a1＝1，q≠0， 所以{bn}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列． (2)由(1)，得a2－a1＝1，a3－a2＝q，…，an－an－1＝qn－2(n≥2)． 將以上各式相加，得 an－a1＝1＋q＋q2＋…＋qn－2(n≥2)． 所以當n≥2時，有an＝ 上式對n＝1也成立， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝ (3)由(2)，得當q＝1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q≠1. 由a3是a6與a9的等差中項，即2a3＝a6＋a9， 可得2q2＝q5＋q8， 由q≠0，得q6＋q3－2＝0， 整理，得(

3、q3)2＋q3－2＝0， 解得q3＝－2或q3＝1(舍去)． 于是q＝－. 而an＝1＋，an＋3＝1＋，an＋6＝1＋， 所以an＋3＋an＋6＝＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2＝2an. 所以對任意的n∈N*，an是an＋3與an＋6的等差中項． 【方法規(guī)律】 解決等差、等比數(shù)列的綜合問題的方法 對于等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列的通項，前n項和以及等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系，往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法． 已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列{bn}的第2項、第3項、第4項． (1

4、)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列{cn}對n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 013. 解：(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d， ∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2(∵d>0)． ∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1. 又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9， ∴數(shù)列{bn}的公比為3，∴bn＝3·3n－2＝3n－1. (2)由＋＋…＋＝an＋1，得 當n≥2時，＋＋…＋＝an. 兩式相減得：n≥2時，＝an＋1－an＝2. ∴cn＝2bn＝2·3

5、n－1(n≥2)． 又當n＝1時，＝a2，∴c1＝3. ∴cn＝ ∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 013＝3＋＝3＋(－3＋32 013)＝32 013. 考點二 數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用 　 [例2]　某工業(yè)城市按照“十二五”(2011年至2015年)期間本地區(qū)主要污染物排放總量控制要求，進行減排治污．現(xiàn)以降低SO2的年排放量為例，原計劃“十二五”期間每年的排放量都比上一年減少0.3萬噸，已知該城市2011年SO2的年排放量約為9.3萬噸． (1)按原計劃，“十二五”期間該城市共排放SO2約多少萬噸？ (2)該城市為響應(yīng)“十八大”提出的建設(shè)“美麗中國”的號召，決定加大減排

6、力度．在2012年剛好按原計劃完成減排任務(wù)的條件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年減少的百分率為p，為使2020年這一年SO2的年排放量控制在6萬噸以內(nèi)，求p的取值范圍． [自主解答]　(1)設(shè)“十二五”期間，該城市共排放SO2約y萬噸， 依題意，2011年至2015年SO2的年排放量構(gòu)成首項為9.3，公差為－0.3的等差數(shù)列， 所以y＝5×9.3＋×(－0.3)＝43.5(萬噸)． 所以按原計劃“十二五”期間該城市共排放SO2約43.5萬噸． (2)由已知得， 2012年的SO2年排放量為9.3－0.3＝9(萬噸)， 所以2012年至2020

7、年SO2的年排放量構(gòu)成首項為9，公比為1－p的等比數(shù)列． 由題意得9×(1－p)8＜6，由于0<p<1， 所以1－p< ， 所以1－p<0.950 5，解得p>4.95%. 所以SO2的年排放量每年減少的百分率p的取值范圍為(4.95%,1)． 【方法規(guī)律】 解決數(shù)列應(yīng)用題應(yīng)注意的問題 解決數(shù)列應(yīng)用問題，要明確問題屬于哪一種類型，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題，是求an還是Sn，特別是要弄清項數(shù)． 某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50%.預(yù)計以

8、后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元． (1)用d表示a1，a2，并寫出an＋1與an的關(guān)系式； (2)若公司希望經(jīng)過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)． 解：(1)由題意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d， a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d. an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d. (2)由(1)得an＝an－1－d ＝－d ＝2an－2－d－d …

9、 ＝n－1a1－d. 整理得an＝n－1(3 000－d)－2d ＝n－1(3 000－3d)＋2d. 由題意，am＝4 000， 即m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000. 解得d＝＝.[來源:] 故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時，經(jīng)過m(m≥3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元. 高頻考點 考點三 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題　　 1．數(shù)列與函數(shù)、 不等式的綜合問題是每年高考的重點，多為解答題，難度偏大，屬中高檔題． 2．高考對數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的考查常有以下兩個命題角度：[來源:] (1)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題； (

10、2)考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題． [例3]　(2013·江西高考)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.證明：對于任意的n∈N*，都有Tn<. [自主解答]　(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正項數(shù)列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n. 于是a1＝S1＝2， n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 綜上，數(shù)列{

11、an}的通項公式為an＝2n. (2)證明：由于an＝2n，故 bn＝＝＝. Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＋－ ＝ <＝. 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的常見類型及解題策略 (1)數(shù)列與不等式的恒成立問題．此類問題常構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性等解決問題． (2)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題．解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等． [來源:] 1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項和為Sn，已知a1＋a4＝－，且對于任意的n∈N*，有Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)已知bn＝n(n

12、∈N*)，記Tn＝＋＋＋…＋，若(n－1)2≤m(Tn－n－1)對于n≥2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q. ∵S1，S3，S2成等差數(shù)列，[來源:] ∴2S3＝S1＋S2， ∴2a1(1＋q＋q2)＝a1(2＋q)，解得q＝－， 又a1＋a4＝a1(1＋q3)＝－， ∴a1＝－，∴an＝a1qn－1＝n. (2)∵bn＝n，an＝n， ∴＝n·2n， ∴Tn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，① 2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)

13、83;2n＋n·2n＋1，② ①－②，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， ∴Tn＝－＝(n－1)·2n＋1＋2. 若(n－1)2≤m(Tn－n－1)對于n≥2恒成立， 則(n－1)2≤m[(n－1)·2n＋1＋2－n－1]， (n－1)2≤m(n－1)·(2n＋1－1)， ∴m≥，[來源:] 令f(x)＝， 可判斷f(x)在x∈[2，＋∞)上是減函數(shù)． 則f(n)＝的最大值為f(2)＝， ∴m≥. 故實數(shù)m的取值范圍為. ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 2種思想——函數(shù)思想與轉(zhuǎn)化化歸思想 　(1)數(shù)列與函數(shù)方程相結(jié)合時主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(zhì)(多為單調(diào)性)． (2)轉(zhuǎn)化化歸思想，an與Sn轉(zhuǎn)化，一般數(shù)列與特殊數(shù)列的轉(zhuǎn)化等． 3個注意點——數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何相結(jié)合應(yīng)　注意的問題 　(1)數(shù)列與解析幾何結(jié)合時注意遞推． (2)數(shù)列與不等式相結(jié)合時注意對不等式進行放縮． (3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時，應(yīng)準確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化．