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1、 精品資料
高考真題備選題庫(kù)
第3章 三角函數(shù)、解三角形
第8節(jié) 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用
考點(diǎn) 解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用
1．(2013江蘇，16分)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min，山路AC長(zhǎng)為1 260 m，經(jīng)測(cè)
2、量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的長(zhǎng)；
(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
解：本題考查正弦、余弦定理，二次函數(shù)的最值，兩角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生閱讀審題建模的能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．
(1)在△ABC中，因?yàn)閏os A＝，cos C＝，所以
sin A＝，sin C＝.
從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝.
由正弦定理＝，得AB＝sin C＝＝1 040(m)．
3、
所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m.
(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2130t(100＋50t)＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故當(dāng)t＝(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．
(3)由正弦定理＝，得BC＝sin A＝＝500(m)．
乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710 m才能到達(dá)C.
設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以為使兩位游客在C處互相等待的
4、時(shí)間不超過(guò)3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在，(單位：m/min)范圍內(nèi)．
2．(2010福建，12分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇．
(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由．
解：法一：(1)設(shè)相
5、遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則
S＝＝
＝ .
故當(dāng)t＝時(shí)，Smin＝10，此時(shí)v＝＝30.
即，小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最?。?
(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇．則
v2t2＝400＋900t2－22030tcos(90－30)，故v2＝900－＋.
∵0
6、小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向?yàn)檎狈较颍?
設(shè)小艇與輪船在C處相遇．在Rt△OAC中，OC＝20cos 30＝10，AC＝20sin 30＝10.
又AC＝30t，OC＝vt.
此時(shí)，輪船航行時(shí)間t＝＝，v＝＝30.
即，小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小．
(2)猜想v＝30時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船在D處相遇，此時(shí)AD＝DO＝30t.
又∠OAD＝60，所以AD＝DO＝OA＝20，解得t＝.
據(jù)此可設(shè)計(jì)航行方案如下：
航行方向?yàn)楸逼珫|30，航行速度的大小為30海里/小時(shí)，這樣，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇．
證明如下：
7、如圖，由(1)得OC＝10，AC＝10；故OC>AC，且對(duì)于線段AC上任意點(diǎn)P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，故小艇與輪船不可能在A，C之間(包含C)的任意位置相遇．
設(shè)∠COD＝θ(0<θ<90)，則在Rt△COD中，CD＝10tan θ，OD＝.
由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為
t＝和t＝，
所以，＝.
由此可得，v＝.
又v≤30，故sin(θ＋30)≥.
從而，30≤θ<90.
由于θ＝30時(shí)，tanθ取得最小值，且最小值為.
于是，當(dāng)θ＝30時(shí)，t＝取得最小值，且最小值為.
法三：(1)同法一或法二．
(2)設(shè)小
8、艇與輪船在B處相遇．依據(jù)題意得：
v2t2＝400＋900t2－22030tcos(90－30)，
(v2－900)t2＋600t－400＝0.
(ⅰ)若0.
(ⅱ)若v＝30，則t＝；
綜合(ⅰ)、(ⅱ)可知，當(dāng)v＝30時(shí)，t取最小值，且最小值等于.
此時(shí)，在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：
航行方向?yàn)楸逼珫|30，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇．
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