專題46 整體代換誘導(dǎo)公式法求三角函數(shù)值(解析版)

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1、 專題46 整體代換誘導(dǎo)公式法求三角函數(shù)值 一、單選題 1．已知，且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由已知求得，再由誘導(dǎo)公式可求得選項(xiàng). 【詳解】 因?yàn)椋?，所以，所以? 又， 故選：D. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于三角函數(shù)給值求值型問(wèn)題，關(guān)鍵在于得出所求的角與已知角之間的特殊關(guān)系，求解時(shí)，注意盡可能縮小角的范圍，以便確定三角函數(shù)的值的符號(hào). 2．計(jì)算（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值. 【詳解】 利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值， ， 故選：B. 3．已知，則（ ）

2、 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用誘導(dǎo)公式將題干條件化簡(jiǎn)，即可得答案. 【詳解】 由題意得： 故選：B. 4．若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 將轉(zhuǎn)化成，在用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，代入求值即可. 【詳解】 由得. 故選：A 5．若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用，結(jié)合二倍角公式可求得結(jié)果. 【詳解】 由得：. 故選：A. 6．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系和二倍角公式可求得，利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.

3、 【詳解】 由得：， ，. 故選：. 7．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 設(shè)，則，然后利用誘導(dǎo)公式求解即可. 【詳解】 設(shè)，則， 故． 故選：B 8．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 依題意原式為，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得； 【詳解】 解：因?yàn)椋? 故選：B 9．設(shè)，.若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)的對(duì)數(shù)為（ ） A．1 B．2 C．9 D．12 【答案】B 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)恒成立，則對(duì)應(yīng)的圖象完全相同求得a、b即可． 【詳解】 ∵對(duì)于任

4、意實(shí)數(shù)都有， 則函數(shù)的周期相同，， 若，此時(shí)， 此時(shí)， 若，則方程 ， 則，則， 綜上滿足條件的有序?qū)崝?shù)組為，，共有2組. 故選：B 10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若存在，滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用圖象求得函數(shù)的解析式為，由結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性得出，且有，將代入結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得的值. 【詳解】 由圖象知函數(shù)的最小正周期為，， 又， 且， ，， 所以，，，， 當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)榇嬖?，滿足， 即，則，可得，且， 則. 故選：C. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式的方法： （

5、1）求、，； （2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出； （3）取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值. 11．已知，則（ ） A． B．-2 C． D． 【答案】B 【分析】 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，再根據(jù)已知代入求解即可. 【詳解】 解：由誘導(dǎo)公式得：， 因?yàn)椋? 所以. 故選：B. 12．若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用誘導(dǎo)公式可求得的值. 【詳解】 . 故選：C. 13．已知，則的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得，再利用誘導(dǎo)公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可. 【詳解】 解：由

6、題可知，， 由于， 所以. 故選：C. 14．（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 直接利用誘導(dǎo)公式得答案. 【詳解】 依題意. 故選：B 【點(diǎn)睛】 本小題主要考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題. 15．已知，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知利用誘導(dǎo)公式可求出的值，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計(jì)算求解. 【詳解】 由題意，，所以，則， 因?yàn)?，所以，即? 所以. 故選：B. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的運(yùn)

7、用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 16．式子的值為（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】 由正余弦的倍角公式、誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)求值. 【詳解】 由，， ∴， 故選：B 【點(diǎn)睛】 本題考查了利用三角恒等變換化簡(jiǎn)求值，屬于簡(jiǎn)單題. 17．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算得到，故，解得答案. 【詳解】 解：由誘導(dǎo)公式可知， 又得：， 所以， . 故選：C. 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，是中檔題. 18．如果，且，那么（ ） A

8、． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用先求得的值，由此求得的值. 【詳解】 依題意， 由于， 所以， 所以， 所以. 故選：C 【點(diǎn)睛】 本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題. 19．已知cos =，則=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接利用誘導(dǎo)公式求解即可 【詳解】 解：因?yàn)閏os =， 所以， 故選：A 【點(diǎn)睛】 此題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 20．已知是第二象限角，且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出的范圍，進(jìn)而可求出的值，再利用

9、誘導(dǎo)公式可求出和，結(jié)合，可求出答案. 【詳解】 因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以? 則， 因?yàn)?，所以? 則， 則， ， 所以. 故選：D. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題. 二、多選題 21．下列關(guān)于函數(shù)的圖像或性質(zhì)的說(shuō)法中，正確的為（ ） A．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 B．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位所得圖像的函數(shù)為 C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．若，則 【答案】AD 【分析】 令得到對(duì)稱軸，即可判斷A；根據(jù)平移變換知識(shí)可判斷B；求出其單調(diào)增區(qū)間即可判斷C；利用配角法即可判斷D

10、. 【詳解】 對(duì)于A，令 ，解得，當(dāng)時(shí)，得，故A正確； 對(duì)于B，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C，令，故C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，若，則，故D正確. 故選：AD 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)： (1) . (2)周期 (3)由 求對(duì)稱軸 (4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間. 22．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 根據(jù)最小值求得，根據(jù)周期求得，根據(jù)點(diǎn)求得，由此求得的解析式，結(jié)合誘導(dǎo)公式確定正確選項(xiàng). 【詳解】 由圖象可得，，解得，所以，所以，又的圖象過(guò)點(diǎn)，則，解得，又，所以，即 . 故選

11、BD 【點(diǎn)睛】 本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，考查誘導(dǎo)公式，屬于中檔題. 第II卷（非選擇題） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明 三、雙空題 23．（1）一個(gè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)是半徑的倍，則扇形的面積等于________． （2）（a，b為常數(shù)，），若，則_______． 【答案】 【分析】 （1）首先利用扇形的弧長(zhǎng)公式求出扇形的圓心角，再利用扇形的面積公式即可求解. （2）利用誘導(dǎo)公式即可求解. 【詳解】 （1）根據(jù)題意可知，弧長(zhǎng)， 設(shè)扇形的圓心角為，所以，解得， 所以扇形的面積； （2）由， 所以， 所以 所以

12、 . 故答案為：； 24．已知函數(shù)，若方程的解為，則______，_______． 【答案】 【分析】 由已知求出的范圍，根據(jù)方程的解的對(duì)稱性可求得；再利用表示，即可表示為，再根據(jù)已知條件結(jié)合三角函數(shù)求值即可得到答案. 【詳解】 ，， 又方程的解為，， 解得．， 由，可得，． 又，可得， . 故答案為：；． 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性，及利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)并求值，解題的關(guān)鍵是要注意到是的兩個(gè)根，由三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性得到兩個(gè)根的對(duì)稱性，從而得解，考查了學(xué)生的分析解題能力與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題. 25．已知，則

13、_________，_______． 【答案】 【分析】 利用誘導(dǎo)公式可求得的值，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值. 【詳解】 ，則， . 故答案為：；. 【點(diǎn)睛】 本題考查利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 四、填空題 26．若，且，則__________. 【答案】 【分析】 利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行整體代換，并利用同角三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求值. 【詳解】 由誘導(dǎo)公式得， ， ， ， 又， ， 故答案為：. 27．已知，則________. 【答案】 【分析】 由，再結(jié)合誘導(dǎo)公式

14、可得結(jié)果. 【詳解】 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：利用誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，常用拼湊角,，常見(jiàn)的互余關(guān)系有：與，與，與等；常見(jiàn)的互補(bǔ)關(guān)系有： 與，與等； 28．設(shè)，，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則滿足條件的的所有取值的和為_(kāi)_____． 【答案】 【分析】 結(jié)合進(jìn)行分類討論，由此求得的所有可能取值，進(jìn)而求得滿足條件的的所有取值的和. 【詳解】 因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)都有，所以． 當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，則兩函數(shù)的周期相同，即．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)． 當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于．當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．綜上，的所有取值為，，，，和為． 故答案為： 29．關(guān)于函數(shù)有如下命題，其中正確的有______

15、 ①的表達(dá)式可改寫(xiě)為 ②是以為最小正周期的周期函數(shù)； ③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱； ④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱. 【答案】①③ 【分析】 ①利用誘導(dǎo)公式變形，判斷選項(xiàng)；②利用周期公式，判斷選項(xiàng)；③代入函數(shù)判斷是否為0，判斷選項(xiàng)；④代入選項(xiàng)，是否取得最值，判斷選項(xiàng). 【詳解】 ①，故①正確； ②的最小正周期，故②不正確； ③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)值為0，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故③正確； ④當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)值是0，不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故④不正確. 故答案為：①③ 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗(yàn)證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對(duì)于函數(shù)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖

16、象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此判斷直線或點(diǎn)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心時(shí)，可通過(guò)驗(yàn)證的值進(jìn)行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也可以求的范圍，驗(yàn)證次區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間. 30．已知，則_________． 【答案】 【分析】 由，利用誘導(dǎo)公式、二倍角余弦可得即可求值. 【詳解】 由題意知：，而， ∴， 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先由整體代換法得到的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式得到含有已知三角函數(shù)值的函數(shù)式求值. 31．______． 【答案】 【分析】 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值 【詳解】 解：， 故答案

17、為： 32．已知，則______. 【答案】 【分析】 根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解出的值. 【詳解】 設(shè)，則， 故. 故答案為：. 33．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的值為_(kāi)_____. 【答案】 【分析】 由已知可得，，解得，代入，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值. 【詳解】 由點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，得，解得 所以 故答案為： 34．在平面直角坐標(biāo)系中，角和角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.若，則______. 【答案】 【分析】 由題意可得，由此能求出結(jié)果. 【詳解】 ∵在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱， ∴， 故答案為：

18、【點(diǎn)睛】 本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題. 35．已知，則的值為_(kāi)_______. 【答案】 【分析】 先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，得，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，從而可得結(jié)果 【詳解】 解：由，得， 所以， 故答案為： 【點(diǎn)睛】 此題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 36．化簡(jiǎn)_____________. 【答案】-1 【分析】 直接由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可. 【詳解】 . 故答案為：-1 【點(diǎn)睛】 本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題. 37．若，且，則______. 【答案】 【分析】 利用誘導(dǎo)公式可得，，從而根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)

19、系求解即可. 【詳解】 ∵，且， ∴， ∴. 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 本題考查了誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 38．若，則______． 【答案】 【分析】 由，可得出答案. 【詳解】 因?yàn)椋? 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 39．已知，則___________. 【答案】 【分析】 由已知函數(shù)值，根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求的值. 【詳解】 ， 故答案為： 【點(diǎn)睛】 本題考查了利用誘導(dǎo)公式求函數(shù)值，利用已知函數(shù)值，應(yīng)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成含有目標(biāo)函數(shù)中

20、代數(shù)式形式的函數(shù)求函數(shù)值； 40．已知，則______. 【答案】 【分析】 先由二倍角公式求出，再由誘導(dǎo)公式知，代入計(jì)算即可得答案. 【詳解】 因?yàn)? 所以, 所以, 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 本題考查了二倍角公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 41．若，則________. 【答案】 【分析】 利用結(jié)合余弦的誘導(dǎo)公式求解即可. 【詳解】 因?yàn)?，所? 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 本題考查利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值，屬于簡(jiǎn)單題，整體代入是關(guān)鍵. 五、解答題 42．已知，且，求的值. 【答案】. 【分析】 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值，再結(jié)

21、合誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值. 【詳解】 ，， 又，，. , . . 43．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為單位圓上一點(diǎn)，射線OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)B，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y關(guān)于的函數(shù)為. （1）求函數(shù)的解析式，并求； （2）若，求的值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）由三角函數(shù)的定義得到，進(jìn)而代入計(jì)算； （2）由已知得，將所求利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化即得. 【詳解】 解：（1）因?yàn)椋? 所以， 由三角函數(shù)定義，得. 所以. （2）因?yàn)?，所以? 所以 . 【點(diǎn)睛】 本題考査三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)性質(zhì)，誘導(dǎo)公式.考查運(yùn)算求解能力

22、，推理論證能力.考查轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想. 已知求時(shí)要將已知中的角作為整體不分離，觀察所求中的角與已知中的角的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式直接轉(zhuǎn)化是化簡(jiǎn)求值的常見(jiàn)類型. 44．已知 （1）化簡(jiǎn)； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，將原式直接化簡(jiǎn)整理即可； （2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可求出結(jié)果. 【詳解】 （1） ； （2）因?yàn)?，由?）得， 所以. 45．（1）已知角的終邊上有一點(diǎn)，求的值. （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)題意先確定角的三角函

23、數(shù)值，然后利用誘導(dǎo)公式將原式化簡(jiǎn)，然后求值； （2）將化為，根據(jù)題目條件可求得，再利用可求得，然后求解的值. 【詳解】 解：（1）原式 因?yàn)橹堑慕K邊上有一點(diǎn)，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義可知：， 故原式. （2）由，可得 ， ， 又 . 【點(diǎn)睛】 本題考查任意角三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式，考查兩角和與差的正余弦公式，難度一般. 46．已知， （1）化簡(jiǎn)； （2）若，且，求的值； （3）證明：，并求滿足的的取值集合. 【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析；. 【分析】 （1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果； （2）根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系可求得結(jié)果； （

24、3）利用向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算，可證得兩角差的余弦公式，代換角可得兩角和的正弦公式，令可證得結(jié)論；結(jié)合可將不等式化為，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果. 【詳解】 （1）； （2）， ，，， 當(dāng)時(shí)，，； （3）證明：設(shè)為單位圓上兩點(diǎn)， 則， 將換為，則， 令，則； 由得：，即， ，解得：， 即滿足的的取值集合為 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)部分知識(shí)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求值、二倍角正弦公式的證明、利用正弦型函數(shù)的值域求解定義域的問(wèn)題；本題綜合性較強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算求解能力有較高要求. 47．已知角α為第一象限角，且． （1

25、）求的值； （2）求的值． 【答案】(1);(2)7 【分析】 （1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系，即可得答案； （2）利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到關(guān)于，的式子，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的式子，即可得答案； 【詳解】 （1）角α為第一象限角，且， ， . （2）原式. 【點(diǎn)睛】 本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力. 48．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn). （1）求，； （2）求的值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）先求出，再由三角函數(shù)定義可得，； （2）由（1）可知，，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求得. 【詳解】 解：（1）由題意可得：， 由角的終邊上的點(diǎn)的性質(zhì)可得，； （2）由（1）可知，，再結(jié)合誘導(dǎo)公式得： ， 所以 【點(diǎn)睛】 本題考查根據(jù)角的終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，是基礎(chǔ)題.