高考數(shù)學(xué)浙江專用總復(fù)習(xí)教師用書：第2章 第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性 Word版含解析

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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5第第 3 講講函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性最新考綱1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性.知 識(shí) 梳 理1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f(x)f(x)，那么函數(shù) f(x)是偶函數(shù)關(guān)于 y 軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f(x)f(x)，那么函數(shù) f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù) yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)

2、 T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有 f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù) yf(x)為周期函數(shù)，稱 T 為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期.診 斷 自 測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)函數(shù) yx2在 x(0，)時(shí)是偶函數(shù).()(2)若函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，則一定有 f(0)0.()(3)若函數(shù) yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù) yf(x)的圖象關(guān)于直線 xa 對(duì)稱.()(4)若函數(shù) yf(xb)是奇函數(shù)， 則函數(shù) yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b， 0)中心對(duì)稱.()解析(1)由于偶

3、函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 故 yx2在(0， )上不是偶函數(shù)，(1)錯(cuò).(2)由奇函數(shù)定義可知，若 f(x)為奇函數(shù)，其在 x0 處有意義時(shí)才滿足 f(0)0，(2)錯(cuò).答案(1)(2)(3)(4)2.(20 xx西安鐵中月考)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A.y xB.yexC.ycos xD.yexex解析A，B 中顯然為非奇非偶函數(shù)；C 中 ycos x 為偶函數(shù).D 中函數(shù)定義域?yàn)?R，又 f(x)exex(exex)f(x)，yexex為奇函數(shù).答案D3.已知 f(x)ax2bx 是定義在a1，2a上的偶函數(shù)，那么 ab 的值是()A.13B.13C.12D.12解析依題意 b0，且 2

4、a(a1)，a13，則 ab13.答案B4. 設(shè) f(x)是定 義在 R 上的周期為 2 的函數(shù)，當(dāng) x1，1)時(shí)，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，則 f32 _.解析f(x)的周期為 2，f32 f12 ，又當(dāng)1x0 且 a1，函數(shù) f(x)ax12，x0，g（x） ，x0為奇函數(shù)，則 a_，g(f(2)_.解析f(x)是 R 上的奇函數(shù)，f(0)0，即 a0120，a2；當(dāng) x0 時(shí)，x0，f(2)2221212320，g(f(2)g32 223212212222.答案2222考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷【例 1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x) 3x2 x23；(2)f(x)lg

5、（1x2）|x2|2；(3)f(x)x2x，x0.解(1)由3x20，x230，得 x23，解得 x 3，即函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?3， 3，從而 f(x) 3x2 x230.因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)，函數(shù) f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(2)由1x20，|x2|2，得定義域?yàn)?1，0)(0，1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.x20，|x2|2x，f(x)lg（1x2）x.又f(x)lg1（x）2xlg（1x2）xf(x)，函數(shù) f(x)為奇函數(shù).(3)顯然函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng) x0，則 f(x)(x)2xx2xf(x)；當(dāng) x0 時(shí)，x3 成立的

6、x的取值范圍為()A.(，1)B.(1，0)C.(0，1)D.(1，)(2)已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x24x，則 f(x)_.解析(1)易知 f(x)2x12xa2x11a2x，由 f(x)f(x)，得2x11a2x2x12xa，即 1a2x2xa，化簡(jiǎn)得 a(12x)12x，所以 a1，f(x)2x12x1，由 f(x)3，得 0 x1.(2)f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，f(0)0.又當(dāng) x0，f(x)x24x.又 f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，則 f(x)x24x(x0，0，x0，x24x，x0，0，x0，x24x，x0考點(diǎn)三函數(shù)的周期性及

7、其應(yīng)用【例 3】 (20 xx四川卷)若函數(shù) f(x)是定義在 R 上的周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng) 0 x1時(shí)，f(x)4x，則 f52 f(2)_.解析f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，f(0)0，又 f(x)在 R 上的周期為 2，f(2)f(0)0.又 f52 f12 f12 4122，f52 f(2)2.答案2規(guī)律方法(1)根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數(shù)值或解析式時(shí)，應(yīng)根據(jù)周期性或奇偶性，由待求區(qū)間轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間.(2)若 f(xa)f(x)(a 是常數(shù)，且 a0)，則 2a 為函數(shù) f(x)的一個(gè)周期.【訓(xùn)練 3】 已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且 f(x2)1f

8、（x），當(dāng) 2x3時(shí)，f(x)x，則 f(105.5)_.解析f(x4)f(x2)21f（x2）f(x).故函數(shù)的周期為 4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5).22.53，由題意，得 f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.答案2.5考點(diǎn)四函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【例 4】 (1)(20 xx山東卷)已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R.當(dāng) x12時(shí)，fx12 fx12 .則 f(6)()A.2B.1C.0D.2(2)已知函數(shù) f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a 滿足 f(log2a)f(log12a)2f(1)，則 a 的取值范圍是()A

9、.1，2B.0，12C.12，2D.(0，2解析(1)當(dāng) x12時(shí)，由 f(x12)f(x12)，得 f(x)f(x1)，f(6)f(1)，又由題意知 f(1)f(1)，且 f(1)(1)312.因此 f(6)f(1)2.(2)由 yf(x)為偶函數(shù)，且 f(log2a)f(log12a)2f(1).f(log2a)f(log2a)2f(1)f(log2a)f(1)，又 f(log2a)f(|log2a|)且 f(x)在0，)上遞增，|log2a|11log2a1.解得12a2.答案(1)D(2)C規(guī)律方法(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性.

10、(2)周期性與奇偶性的綜合.此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.【訓(xùn)練 4】 (1)已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，g(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且g(x)f(x1)，則 f(2 017)f(2 019)的值為()A.1B.1C.0D.2(2)設(shè)函數(shù) f(x)（x1）2sin xx21的最大值為 M，最小值為 m.則 Mm_.解析(1)由題意，得 g(x)f(x1)，又f(x)是定義在 R 上的偶

11、函數(shù)， g(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)， g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，即 f(x1)f(x1)0.f(2 017)f(2 019)f(2 0181)f(2 0181)0.(2)f(x)x22x1sin xx2112xsin xx21，令 g(x)2xsin xx21，則 g(x)g(x)，g(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知 g(x)maxg(x)min0，故 Mm2.答案(1)C(2)2思想方法1.判斷函數(shù)的奇偶性， 首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件.2.利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題：(1)求函數(shù)值

12、；(2)求解析式；(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；(4)畫函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性.3.在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論“若 T 是函數(shù)的周期，則 kT(kZ 且 k0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用.易錯(cuò)防范1.f(0)0 既不是 f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件.2.函數(shù) f(x)滿足的關(guān)系 f(ax)f(bx)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性， 函數(shù) f(x)滿足的關(guān)系 f(ax)f(bx)(ab)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40 分鐘)一、選擇題1.(20 xx肇慶三模)在函數(shù) yxcos x，yexx2，ylg x22，yxsin x 中，偶函數(shù)的個(gè)

13、數(shù)是()A.3B.2C.1D.0解析yxcos x 為奇函數(shù)，yexx2為非奇非偶函數(shù)，ylgx22與 yxsin x為偶函數(shù).答案B2.(20 xx湖南卷)設(shè)函數(shù) f(x)ln(1x)ln(1x)，則 f(x)是()A.奇函數(shù)，且在(0，1)內(nèi)是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在(0，1)內(nèi)是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在(0，1)內(nèi)是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在(0，1)內(nèi)是減函數(shù)解析易知 f(x)的定義域?yàn)?1，1)，且 f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，則 yf(x)為奇函數(shù)，又 yln(1x)與 yln(1x)在(0，1)上是增函數(shù)，所以 f(x)ln(1x)ln(1x)在(0，1)上是增函數(shù).答案A

14、3.已知函數(shù) f(x)xex1ex，若 f(x1)x2B.x1x20C.x1x2D.x210 時(shí)，f(x)0，f(x)在0，)上為增函數(shù)，由 f(x1)f(x2)，得 f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，x21x22.答案D4.已知 f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且 f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則 g(1)等于()A.4B.3C.2D.1解析由已知得 f(1)f(1)，g(1)g(1)，則有f（1）g（1）2，f（1）g（1）4，解得 g(1)3.答案B5.(20 xx杭州一模)奇函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R，若 f(x1)為偶函數(shù)，且 f(1)2，則f(4)f(5

15、)的值為()A.2B.1C.1D.2解析f(x1)為偶函數(shù)，f(x1)f(x1)，則 f(x)f(x2)，又 yf(x)為奇函數(shù)，則 f(x)f(x)f(x2)，且 f(0)0.從而 f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期為 4.f(4)f(5)f(0)f(1)022.答案A二、填空題6.若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函數(shù)，則 a_.解析由于 f(x)f(x)，ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化簡(jiǎn)得 2ax3x0(xR)，則 2a30，a32.答案327.(20 xx湖州質(zhì)檢)若函數(shù) f(x)(xR)是周期為 4 的奇函數(shù)，且在0，2上的解析式為 f(x)x（1x）

16、，0 x1，sin x，10，a，x0，g（2x） ，x0為奇函數(shù)，則 a_，f(g(2)_.解析由題意，af(0)0.設(shè) x0，f(x)x22x1f(x)，g(2x)x22x1，g(2)4，f(g(2)f(4)f(4)(1681)25.答案025三、解答題9.設(shè) f(x)是定義域?yàn)?R 的周期函數(shù)，最小正周期為 2，且 f(1x)f(1x)，當(dāng)1x0 時(shí)，f(x)x.(1)判定 f(x)的奇偶性；(2)試求出函數(shù) f(x)在區(qū)間1，2上的表達(dá)式.解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x).又 f(x2)f(x)，f(x)f(x).又 f(x)的定義域?yàn)?R，f(x)是偶函數(shù).(2)當(dāng)

17、x0，1時(shí)，x1，0，則 f(x)f(x)x；進(jìn)而當(dāng) 1x2 時(shí)，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故 f(x)x，x1，0，x，x（0，1） ，x2，x1，2.10.已知函數(shù) f(x)x22x，x0，0，x0，x2mx，x0是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù) m 的值；(2)若函數(shù) f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解(1)設(shè) x0，所以 f(x)(x)22(x)x22x.又 f(x)為奇函數(shù)，所以 f(x)f(x).于是 x1，a21，所以 1a3，故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(1，3.能力提升題組(建議用時(shí)：25 分鐘)11.(20 xx麗水一模)已知 f(x)是定義在

18、R 上的以 3 為周期的偶函數(shù)， 若 f(1)1， f(5)2a3a1，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為()A.(1，4)B.(2，0)C.(1，0)D.(1，2)解析f(x)是定義在 R 上的周期為 3 的偶函數(shù)，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)2a3a1，2a3a11，即a4a10，解得1a4.答案A12.對(duì)任意的實(shí)數(shù) x 都有 f(x2)f(x)2f(1)， 若 yf(x1)的圖象關(guān)于 x1 對(duì)稱，且 f(0)2，則 f(2 015)f(2 016)()A.0B.2C.3D.4解析yf(x1)的圖象關(guān)于 x1 對(duì)稱，則函數(shù) yf(x)的圖象關(guān)于 x0 對(duì)稱，即函數(shù) f(x

19、)是偶函數(shù)，令 x1，則 f(12)f(1)2f(1)，f(1)f(1)2f(1)0，即 f(1)0，則 f(x2)f(x)2f(1)0，即 f(x2)f(x)，則函數(shù)的周期是 2，又 f(0)2，則 f(2 015)f(2 016)f(1)f(0)022.答案B13.(20 xx東北四市聯(lián)考)已知 f(x)是 R 上最小正周期為 2的周期函數(shù)， 且當(dāng) 0 x2時(shí)，f(x)x3x，則函數(shù) yf(x)的圖象在區(qū)間0，6上與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_.解析因?yàn)楫?dāng) 0 xff(x)對(duì)所有的 x2，2恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.解(1)當(dāng) a1 時(shí)，f(x)(1x)|x|（1x）x，x0，（x1）x，x0，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)(1x)xx12214，所以 f(x)在0，12 內(nèi)是增函數(shù)，在12，內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng) xff(x)x3|x|，即 mx3|x|x21對(duì)所有的 x2，2恒成立，又 x2，2，所以 x211，5，所以x3|x|x21x4x21x411x21x211x212165.所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍是165，.