精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案:第二章 2 超幾何分布 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 2超幾何分布 超幾何分布 已知在8件產(chǎn)品中有3件次品,現(xiàn)從這8件產(chǎn)品中任取2件,用X表示取得的次品數(shù). 問題1:X可能取哪些值? 提示:0,1,2. 問題2:“X=1”表示的試驗(yàn)結(jié)果是什么?P(X=1)的值呢? 提示:任取2件產(chǎn)品中恰有1件次品. P(X=1)=. 問題3:如何求P(X=k)?(k=0,1,2) 提示:P(X=k)=. 超幾何分布 一般地,設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M(M≤N)件是次品.從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品,用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù),那么 P(X=k)=(其中k為非負(fù)整數(shù)).

2、如果一個(gè)隨機(jī)變量的分布列由上式確定,則稱X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布. (1)超幾何分布,實(shí)質(zhì)上就是有總數(shù)為N件的兩類物品,其中一類有M(M≤N)件,從所有物品中任取n件,這n件中所含這類物品的件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,它取值為k時(shí)的概率為P(X=k)=①(k≤l,l是n和M中較小的一個(gè)). (2)在超幾何分布中,只要知道N,M和n,就可以根據(jù)公式①求出X取不同值時(shí)的概率P,從而寫出X的分布列. 利用超幾何分布公式求概率 [例1] 高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計(jì)了一項(xiàng)游戲:在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球,20個(gè)白球,這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)一次從中摸出5

3、個(gè)球,若摸到4個(gè)紅球1個(gè)白球的就中一等獎(jiǎng),求中一等獎(jiǎng)的概率. [思路點(diǎn)撥] 若以30個(gè)球?yàn)橐慌a(chǎn)品,則球的總數(shù)30可與產(chǎn)品總數(shù)N對應(yīng),紅球數(shù)10可與產(chǎn)品中總的不合格產(chǎn)品數(shù)對應(yīng),一次從中摸出5個(gè)球,即n=5,這5個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,X服從超幾何分布. [精解詳析] 若以30個(gè)球?yàn)橐慌a(chǎn)品,其中紅球?yàn)椴缓细癞a(chǎn)品,隨機(jī)抽取5個(gè)球,X表示取到的紅球數(shù),則X服從超幾何分布. 由公式得P(X=4)==≈0.0295, 所以獲一等獎(jiǎng)的概率約為2.95%. [一點(diǎn)通] 解決此類問題的關(guān)鍵是先判斷所給問題是否屬于超幾何分布問題,若是,則可直接利用公式求解,要注意M,N,n,k的取值

4、. 1.一批產(chǎn)品共10件,次品率為20%,從中任取2件,則正好取到1件次品的概率是(  ) A.          B. C. D. 解析:由題意10件產(chǎn)品中有2件次品,故所求概率為P==. 答案:B 2.設(shè)10件產(chǎn)品中,有3件次品,現(xiàn)從中抽取5件,用X表示抽得次品的件數(shù),則X服從參數(shù)為________(即定義中的N,M,n)的超幾何分布. 答案:10,3,5 3.從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中隨機(jī)選出3名同學(xué)參加一項(xiàng)競技測試.試求出選3名同學(xué)中,至少有一名女同學(xué)的概率. 解:設(shè)選出的女同學(xué)人數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3,且X服從參數(shù)為N=10,M=4,n=3的

5、超幾何分布,于是選出的3名同學(xué)中,至少有一名女同學(xué)的概率為:P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=++=或P(X≥1)=1-P(X=0)=1-=. 超幾何分布的分布列 [例2] (10分)從5名男生和3名女生中任選3人參加某運(yùn)動(dòng)會火炬接力活動(dòng),若隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù),求X的分布列及P(X<2). [思路點(diǎn)撥] 可以將8人看作8件“產(chǎn)品”,3名女生看作3件“次品”,任選3人中女生的人數(shù)可看作是任取3件“產(chǎn)品”中所含的“次品”數(shù). [精解詳析] 由題意分析可知,隨機(jī)變量X服從超幾何分布.其中N=8,M=3,n=3, (2分) 所以P(X=0)==,

6、P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==. (8分) 從而隨機(jī)變量X的分布列為 X=k 0 1 2 3 P(X=k) 所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=. (10分) [一點(diǎn)通] 解答此類題目的關(guān)鍵在于先分析隨機(jī)變量是否服從超幾何分布,如果滿足超幾何分布的條件,則直接利用超幾何分布概率公式來解.當(dāng)然,本例也可通過古典概型解決. 4.(重慶高考改編)一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片. (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;

7、 (2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列.(注:若三個(gè)數(shù)a,b,c滿足a≤b≤c,則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù).) 解:(1)由古典概型中的概率計(jì)算公式知所求概率為p==. (2)X的所有可能值為1,2,3,且P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==, 故X的分布列為 X 1 2 3 P 5.某飲料公司招聘了一名員工,現(xiàn)對其進(jìn)行一項(xiàng)測試,以便確定工資級別.公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯,其顏色完全相同,并且其中4杯為A飲料,另外4杯為B飲料,公司要求其員工一一品嘗后,從8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對,則月工資定為3 500

8、元;若4杯選對3杯,則月工資定為2 800元;否則月工資定為2 100元.令X表示此人選對A飲料的杯數(shù).假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力. (1)求X的分布列; (2)用Y表示新錄用員工的月工資,求Y的分布列. 解:(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4. P(X=k)=(k=0,1,2,3,4). 則X的分布列為 X=k 0 1 2 3 4 P(X=k) (2)令Y表示新錄用員工的月工資,則Y的所有可能取值為2 100,2 800,3 500. 則P(Y=3 500)=P(X=4)=, P(Y=2 800)=P(X=3)=, P

9、(Y=2 100)=P(X≤2)=, 則Y的分布列為 Y=k 2 100 2 800 3 500 P(Y=k) 1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,從形式上看超幾何分布的模型,其產(chǎn)品有較明顯的兩部分組成. 2.在超幾何分布中,只要知道N,M和n,就可以根據(jù)公式求出隨機(jī)變量X取k時(shí)的概率P(X=k),從而列出隨機(jī)變量X的分布列. 1.一個(gè)小組有6人,任選2名代表,求其中甲當(dāng)選的概率是(  ) A.       B. C. D. 解析:設(shè)X表示2名代表中有甲的個(gè)數(shù),X的可能取值為0,1, 由題意知X服從超幾何分布,其中參數(shù)為N=

10、6,M=1,n=2, 則P(X=1)==. 答案:B 2.在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同,從中摸出3個(gè)球,至少摸到2個(gè)黑球的概率等于(  ) A.            B. C. D. 解析:黑球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布,則至少摸到2個(gè)黑球的概率P(X ≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=. 答案:A 3.某12人的興趣小組中,有5名“三好生”,現(xiàn)從中任意選6人參加競賽,用X表示這6人中“三好生”的人數(shù),則是表示的概率是(  ) A.P(X=2) B.P(X=3) C.P(X≤2) D.P(X≤3) 解析:6人中“三好生”的人數(shù)

11、X服從超幾何分布,其中參數(shù)為N=12,M=5,n=6,所以P(X=3)=. 答案:B 4.從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出5張,則至少有3張A的概率為(  ) A. B. C.1- D. 解析:設(shè)X為抽出的5張撲克牌中含A的張數(shù). 則P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+. 答案:D 5.某小組共有10名學(xué)生,其中女生3名,現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女生當(dāng)選的概率為________. 解析:至少有1名女生當(dāng)選包括1男1女,2女兩種情況,概率為=. 答案: 6.知識競答,共有10個(gè)不同的題目,其中選擇題6個(gè),判斷題4個(gè),小張抽4題,則小張抽到選擇題至

12、少2道的概率為________. 解析:由題意知小張抽到選擇題數(shù)X服從超幾何分布(N=10,M=6,n=4), 小張抽到選擇題至少2道的概率為: P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=++=. 答案: 7.一盒中有12個(gè)乒乓球,其中9個(gè)新的,3個(gè)舊的,從盒中任取3個(gè)球來用,用完后裝回盒中,此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,求X的分布列. 解:由題意知,舊球個(gè)數(shù)X的所有可能取值為3,4,5,6. 則P(X=3)==,P(X=4)==, P(X=5)===,P(X=6)===. 所以X的分布列為 X=i 3 4 5 6 P(X=i)

13、 8.在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張,可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品,有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張,每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品,其余6張沒有獎(jiǎng)品. (1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張,求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列. (2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張. ①求顧客乙中獎(jiǎng)的概率; ②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值Y元,求Y的分布列. 解:(1)抽獎(jiǎng)一次,只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況,故X的取值只有0和1兩種情況. P(X=1)===, 則P(X=0)=1-P(X=1)=1-=. 因此X的分布列為 X=k 0 1 P(X=k) (2)①顧客乙中獎(jiǎng)可分為互斥的兩類:所抽取的2張獎(jiǎng)券中有1張中獎(jiǎng)或2張都中獎(jiǎng). 故所求概率P===. ②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60,且 P(Y=0)===, P(Y=10)===, P(Y=20)===, P(Y=50)===, P(Y=60)===. 因此隨機(jī)變量Y的分布列為 Y=k 0 10 20 50 60 P(Y=k)

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