《【學霸優(yōu)課】數(shù)學理一輪對點訓練：1011 橢圓的標準方程 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【學霸優(yōu)課】數(shù)學理一輪對點訓練：1011 橢圓的標準方程 Word版含解析（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點．若△AF1B的周長為4，則C的方程為( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 ∵＋＝1(a>b>0)的離心率為，
∴＝.又∵過F2的直線l交橢圓于A，B兩點，△AF1B的周長為4，
∴4a＝4，∴a＝.∴b＝，
∴橢圓方程為＋＝1，選A.
2．設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0
2、
答案 x2＋y2＝1
解析 不妨設點A在第一象限，∵AF2⊥x軸，∴A(c，b2)，又|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，得B將其代入橢圓方程化簡得＋＝1，又c2＝1－b2，得b2＝，故橢圓E的方程為x2＋y2＝1.
3．已知橢圓C：＋＝1，點M與C的焦點不重合．若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|＋|BN|＝________.
答案 12
解析 如圖，設MN的中點為P，則由F1是AM的中點，可知|AN|＝2|PF1|.
同理可得可知|BN|＝2|PF2|.
∴|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)．
根據(jù)橢圓定義得|PF1|＋|
3、PF2|＝2a＝6，∴|AN|＋|BN|＝12.
4.已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F(－c,0)，離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2＋y2＝截得的線段的長為c，|FM|＝.
(1)求直線FM的斜率；
(2)求橢圓的方程；
(3)設動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP(O為原點)的斜率的取值范圍．
解 (1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
設直線FM的斜率為k(k>0)，則直線FM的方程為y＝k(x＋c)．由已知，有2＋2＝2，解得k＝.
(2)由(1)得橢圓方程為＋＝1，直線FM的方程為y＝(x＋c)，
4、兩個方程聯(lián)立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.因為點M在第一象限，可得M的坐標為.
由|FM|＝＝，解得c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1.
(3)設點P的坐標為(x，y)，直線FP的斜率為t，得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，與橢圓方程聯(lián)立消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由已知，得t＝ >，解得－0，于是m＝，得m∈.
②當x∈(－1,0)時，有y＝t(x＋1)>0，因此m<
5、0，于是m＝－，得m∈.
綜上，直線OP的斜率的取值范圍是∪.
5．平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設橢圓E：＋＝1，P為橢圓C上任意一點．過點P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求△ABQ面積的最大值．
解 (1)由題意知2a＝4，則a＝2.
又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)由(1)知橢圓E的方程為＋＝1
6、.
(ⅰ)設P(x0，y0)，＝λ，
由題意知Q(－λx0，－λy0)．
因為＋y＝1，
又＋＝1，即＝1，
所以λ＝2，即＝2.
(ⅱ)設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
將y＝kx＋m代入橢圓E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
由Δ>0，可得m2<4＋16k2.①
則有x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|x1－x2|＝.
因為直線y＝kx＋m與y軸交點的坐標為(0，m)，
所以△OAB的面積S＝|m||x1－x2|
＝＝
＝2 .
設＝t.將y＝kx＋m代入橢圓C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
7、
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②
由①②可知0b>0)的離心率為，且右焦點F到左準線l的距離為3.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC＝2AB，求直線AB的方程．
解 (1)由題意，得＝且c＋＝3，解得a＝，c＝1，則b＝1，所以橢圓的標準方程為＋y2＝1.
(2)當AB⊥x軸時，AB＝，又CP＝3，不合題意．
當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將AB的方程代入橢圓方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，則x1,2＝，C的坐標為，
且AB＝＝＝.
若k＝0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準線平行，不合題意．
從而k≠0，故直線PC的方程為y＋＝－，則P點的坐標為，
從而PC＝.
因為PC＝2AB，所以＝，
解得k＝1.此時直線AB方程為y＝x－1或y＝－x＋1.
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