二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理重點(diǎn)生通用版講義：第一部分 專題三 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用 Word版含解析

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1、 專題三專題三 | 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用 卷卷 卷卷 卷卷 2018 奇函數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)奇函數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)的 幾 何 意 義 求 切 線 方的 幾 何 意 義 求 切 線 方程程 T5 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程方程 T13 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)值求參數(shù)值 T14 利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性性 T21(1) 2017 利用導(dǎo)數(shù)討論利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)函數(shù)的單調(diào)性性 T21(1) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求函導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值數(shù)極值 T11 _ 利用導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)求參利用導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)求

2、參數(shù)數(shù) T21(1) 2016 _ 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與幾何意義、直導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與幾何意義、直線方程、斜率計(jì)算公式線方程、斜率計(jì)算公式 T16 函數(shù)的奇偶性、利用函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程線方程 T15 利用導(dǎo)數(shù)公式直接求利用導(dǎo)數(shù)公式直接求導(dǎo)導(dǎo) T21(1) 縱向縱向 把握把握 趨勢(shì)趨勢(shì) 卷卷3 年年 3 考，涉及導(dǎo)數(shù)考，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及討論函數(shù)的幾何意義以及討論函數(shù)的單調(diào)性，其中利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，其中利用導(dǎo)數(shù)求切線方程難度偏小，而求切線方程難度偏小，而用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性難度偏大 預(yù)計(jì)難度偏大 預(yù)計(jì) 2019 年仍年仍會(huì)以解答題的形式考查

3、函會(huì)以解答題的形式考查函數(shù)單調(diào)性的討論數(shù)單調(diào)性的討論 卷卷3 年年 4 考，涉及導(dǎo)數(shù)的考，涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、幾何意義以及利用導(dǎo)運(yùn)算、幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，題型為選數(shù)求函數(shù)的極值，題型為選擇、填空題，難度適中預(yù)擇、填空題，難度適中預(yù)計(jì)計(jì) 2019 年高考會(huì)考查利用年高考會(huì)考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，難導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，難度偏大度偏大 卷卷3 年年 3 考，涉及考，涉及導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)幾何導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，題型多意義的應(yīng)用，題型多為填空題預(yù)計(jì)為填空題預(yù)計(jì) 2019年仍會(huì)考查導(dǎo)數(shù)幾何年仍會(huì)考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，另外，意義的應(yīng)用，另外，要重點(diǎn)關(guān)注利用導(dǎo)數(shù)要重點(diǎn)關(guān)注利用導(dǎo)數(shù)研

4、究函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的單調(diào)性 橫向橫向 把握把握 重點(diǎn)重點(diǎn) 1.高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查，多在選擇題、填空題中出現(xiàn)，難度較小高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查，多在選擇題、填空題中出現(xiàn)，難度較小 2高考重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，即利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，高考重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，即利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，多在選擇、填空的后幾題中出現(xiàn)，難度中等，有時(shí)也出現(xiàn)在解答多在選擇、填空的后幾題中出現(xiàn)，難度中等，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題第一問題第一問 3近幾年全國卷對(duì)定積分及其應(yīng)用的考查極少，題目一般比較簡(jiǎn)單，但也不能近幾年全國卷對(duì)定積分及其應(yīng)用的考查極少，題目一般比較簡(jiǎn)單，但也不能忽略忽

5、略. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題組全練題組全練 1(2018 全國卷全國卷)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)x3(a1)x2ax，若，若 f (x)為奇函數(shù)，則曲線為奇函數(shù)，則曲線 yf (x)在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為處的切線方程為( ) Ay2x Byx Cy2x Dyx 解析：解析：選選 D f (x)x3(a1)x2ax， f (x)3x22(a1)xa. 又又f (x)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，f (x)f (x)恒成立，恒成立， 即即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax 恒成立，恒成立， a1，f (x)3x21，f (0)1， 曲線曲線 yf (x)在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處的切線方

6、程為處的切線方程為 yx. 2過點(diǎn)過點(diǎn)(0，1)的直線的直線 l 與曲線與曲線 yln x 相切，則原點(diǎn)到相切，則原點(diǎn)到 l 的距離為的距離為( ) A1 B.12 C.22 D. 2 解析：解析：選選 C 設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為(x0，ln x0) 由由 yln x，得，得 y1x， 所以直線所以直線 l 的斜率的斜率 ky|xx01x0， 所以切線方程為所以切線方程為 yln x01x0(xx0)， 即即 y1x0 xln x01. 因?yàn)榍芯€過點(diǎn)因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0，1)， 則則1ln x01， 即即 x01， 所以切線方程為所以切線方程為 yx1， 即即 xy10， 所以原點(diǎn)到所以原點(diǎn)到 l 的距

7、離的距離 d|1|222，故選，故選 C. 3(2018 唐山模擬唐山模擬)曲線曲線 yx1x1與其在點(diǎn)與其在點(diǎn)(0，1)處的切線及直線處的切線及直線 x1 所圍成的封閉所圍成的封閉圖形的面積為圖形的面積為( ) A1ln 2 B22ln 2 C2ln 21 Dln 2 解析：解析：選選 C 因?yàn)橐驗(yàn)?yx1x1，所以，所以 y x1x12 x1 2，則曲線，則曲線 yx1x1在在(0，1)處的切線的斜率處的切線的斜率 k2，切線方程為，切線方程為 y2x1，則曲線，則曲線 yx1x1與其在點(diǎn)與其在點(diǎn)(0，1)處的切線及處的切線及直線直線 x1 所圍成的封閉圖形的面積所圍成的封閉圖形的面積 S

8、012x1x1x1dx012x112x1dxx22x2ln(x1) 102ln 21. 4(2018 全國卷全國卷)曲線曲線 y(ax1)ex在點(diǎn)在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為處的切線的斜率為2，則，則 a_. 解析：解析：y(axa1)ex，當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)，ya1， a12，解得，解得 a3. 答案：答案：3 5已知曲線已知曲線 yxln x 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線處的切線與曲線 yax2(a2)x1 相切，則相切，則 a_. 解析：解析：由由 yxln x，得，得 y11x，則曲線，則曲線 yxln x 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為處的切線斜率為 2，故切線方程為故切線方

9、程為 y2x1，與，與 yax2(a2)x1 聯(lián)立，得聯(lián)立，得 ax2ax20，顯然，顯然 a0，所，所以由以由 a28a0a8. 答案：答案：8 系統(tǒng)方法系統(tǒng)方法 1求過切點(diǎn)切線問題的基本思路求過切點(diǎn)切線問題的基本思路 設(shè)曲線在設(shè)曲線在(x0，y0)處的切線為處的切線為 l，則根據(jù)，則根據(jù) k切切f x0 ，切點(diǎn)在切線切點(diǎn)在切線l上，建立方程組求解上，建立方程組求解切點(diǎn)在曲線上切點(diǎn)在曲線上 2過非切點(diǎn)的切線的求法過非切點(diǎn)的切線的求法 設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，f (x0)，先求出在，先求出在 xx0處的切線方程，然后把所過點(diǎn)的坐標(biāo)代入即處的切線方程，然后把所過點(diǎn)的坐標(biāo)代入即求出求出 x

10、0，從而得出切線方程，從而得出切線方程 3由曲線的切線求參數(shù)的方法由曲線的切線求參數(shù)的方法 已知曲線在某點(diǎn)處的切線求參數(shù)的關(guān)鍵是用已知曲線在某點(diǎn)處的切線求參數(shù)的關(guān)鍵是用“方程思想方程思想”來破解，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，來破解，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與已知條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程，從而求出在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與已知條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程， 通過解方程求出參數(shù)的值通過解方程求出參數(shù)的值 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 多維例析多維例析 角度一角度一 討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)單調(diào)區(qū)間討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)單調(diào)區(qū)間 例例1

11、已知函數(shù)已知函數(shù) f (x)x22cos x，g(x)ex (cos xsin x2x2)，其中，其中 e 是自然對(duì)數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)的底數(shù) (1)求函數(shù)求函數(shù) g(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2)討論函數(shù)討論函數(shù) h(x)g(x)af (x)(aR R)的單調(diào)性的單調(diào)性 解解 (1)g(x)(ex) (cos xsin x2x2)ex(cos xsin x2x2)ex(cos xsin x2x2sin xcos x2)2ex(xsin x) 記記 p(x)xsin x， 則則 p(x)1cos x. 因?yàn)橐驗(yàn)?cos x1,1，所以，所以 p(x)1cos x0，所以函數(shù)，所以函數(shù) p(

12、x)在在 R R 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 而而 p(0)0sin 00，所以當(dāng)，所以當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)，p(x)0，g(x)0 時(shí)，時(shí)，p(x)0，g(x)0，函數(shù)，函數(shù) g(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增 綜上，函數(shù)綜上，函數(shù) g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，) (2)因?yàn)橐驗(yàn)?h(x)g(x)af (x)ex(cos xsin x2x2)a(x22cos x)， 所以所以 h(x)2ex(xsin x)a(2x2sin x) 2(xsin x)(exa) 由由(1)知知，當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)時(shí)， p(x)xsin x0；當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)時(shí)，p(x)xsin

13、x0， 所以所以 x0 時(shí)，時(shí)，h(x)0，函數(shù)，函數(shù) h(x)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增； x0 時(shí)，時(shí)，h(x)0 時(shí)，令時(shí)，令 h(x)2(xsin x)(exa)0，解得，解得 x1ln a，x20. 若若 0a1，則，則 ln a0， 所以所以 x(，ln a)時(shí)，時(shí)，exa0，函數(shù)，函數(shù) h(x)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增； x(ln a,0)時(shí)，時(shí)，exa0，h(x)0，h(x)0，函數(shù)，函數(shù) h(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增 若若 a1，則，則 ln a0，所以，所以 xR R 時(shí)，時(shí)，h(x)0，函數(shù)，函數(shù) h(x)在在 R R 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 若若 a1，則，則 ln a0， 所以所以 x(

14、，0)時(shí)，時(shí)，exa0，函數(shù)，函數(shù) h(x)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增； x(0，ln a)時(shí)，時(shí)，exa0，h(x)0，h(x)0，函數(shù)，函數(shù) h(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增 綜上所述，綜上所述， 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) h(x)在在(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在(，0)上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞減； 當(dāng)當(dāng) 0a1 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) h(x)在在(，0)，(ln a，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在(0，ln a)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 類題通法類題通法 討論含參函數(shù)的單調(diào)性，其本質(zhì)討論含參函數(shù)的單調(diào)性，其本質(zhì)就是討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化情況，所以討就是討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化情況，所以討論的關(guān)鍵是抓住導(dǎo)函數(shù)解

15、析式中的符號(hào)變化部分討論時(shí)要考慮參數(shù)所在的位置及參數(shù)取論的關(guān)鍵是抓住導(dǎo)函數(shù)解析式中的符號(hào)變化部分討論時(shí)要考慮參數(shù)所在的位置及參數(shù)取值對(duì)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的影響，一般來說需要進(jìn)行四個(gè)層次的分類：值對(duì)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的影響，一般來說需要進(jìn)行四個(gè)層次的分類： (1)(1)最高次冪的系數(shù)是否為最高次冪的系數(shù)是否為 0 0； (2)(2)導(dǎo)函數(shù)是否有變號(hào)零點(diǎn)；導(dǎo)函數(shù)是否有變號(hào)零點(diǎn)； (3)(3)導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)是否在函數(shù)定義域或指定區(qū)間內(nèi)；導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)是否在函數(shù)定義域或指定區(qū)間內(nèi)； (4)(4)導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)之間的大小關(guān)系導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)之間的大小關(guān)系 角度二角度二 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍已知函數(shù)的單調(diào)性求

16、參數(shù)范圍 例例2 已知函數(shù)已知函數(shù) f (x)xexaxb(a，bR R) (1)若函數(shù)若函數(shù) f (x)在在 R R 上是增上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；的取值范圍； (2)若函數(shù)若函數(shù) f (x)在在(1,3)上單調(diào)，求實(shí)數(shù)上單調(diào)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍 解解 (1)f (x)ex ex x ex 2a1xaexex， 設(shè)設(shè) g(x)1xaex，由題意知由題意知 g(x)0 在在 R R 上恒成立上恒成立，即即 1xaex0 在在 R R 上恒成立上恒成立 由由 ex0，分離參數(shù)可得分離參數(shù)可得 ax1ex在在 R R 上恒成立上恒成立 設(shè)設(shè) h(x)x1ex，

17、則則 h(x)2xex， 由由 h(x)0，得得 x2；由由 h(x)2， 所以所以 h(x)在在(，2)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增，在在(2，)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減， 所以所以 h(x)maxh(2)1e2，故，故 a1e2. 所以所以 a 的取值范圍為的取值范圍為 1e2， . (2)函數(shù)函數(shù) f (x)在在(1,3)上單調(diào)上單調(diào)，則函數(shù)則函數(shù) f (x)在在(1,3)上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減 若函數(shù)若函數(shù) f (x)在在(1,3)上單調(diào)遞增，則上單調(diào)遞增，則 f (x)1xaexex0 在在(1,3)上恒成立上恒成立，即即 1xaex0 在在(1,3)上恒成立上恒成立，所以所以

18、 ax1ex在在(1,3)上恒成立上恒成立 設(shè)設(shè) h(x)x1ex，則則 h(x)2xex，所以所以 h(x)在在(1,2)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減， 所以所以 h(x)maxh(2)1e2(x(1,3)，故故 a1e2. 所以所以 a 的取值范圍為的取值范圍為1e2，. 若函數(shù)若函數(shù) f (x)在在(1,3)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減，則則 f (x)1xaexex0 在在(1,3)上恒成立上恒成立，即即 1xaex0 在在(1,3)上恒成立上恒成立，所以所以 ax1ex在在(1,3)上恒成立上恒成立 設(shè)設(shè) h(x)x1ex，則則 h(x)2xex，所以所以 h(

19、x)在在(1,2)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 又又 h(1)11e12e，h(3)31e32e3. 顯然顯然2eh(1)2e(x(1,3)， 所以所以 a 的取值范圍為的取值范圍為(，2e 綜上，綜上，a 的取值范圍為的取值范圍為(，2e 1e2， . 類題通法類題通法 由含參函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍問題的由含參函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍問題的 2 個(gè)關(guān)注點(diǎn)個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)準(zhǔn)確把握函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系：若可導(dǎo)函數(shù)準(zhǔn)確把握函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系：若可導(dǎo)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間 M 上單調(diào)遞上單調(diào)遞增，則增，則 f (x)0 在區(qū)間在區(qū)間 M 上

20、恒成立； 若可導(dǎo)函數(shù)上恒成立； 若可導(dǎo)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間 M 上單調(diào)遞減， 則上單調(diào)遞減， 則 f (x)0在區(qū)間在區(qū)間 M 上恒成立上恒成立 (2)注意參數(shù)在導(dǎo)函數(shù)解析式中的位置，先嘗試分離參數(shù)，將問題的求解轉(zhuǎn)化為求解對(duì)注意參數(shù)在導(dǎo)函數(shù)解析式中的位置，先嘗試分離參數(shù)，將問題的求解轉(zhuǎn)化為求解對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值問題；若不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性無法利用導(dǎo)數(shù)解決，應(yīng)函數(shù)的最值問題；若不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性無法利用導(dǎo)數(shù)解決，則可以直接轉(zhuǎn)化為求解含參函數(shù)的最值問題則可以直接轉(zhuǎn)化為求解含參函數(shù)的最值問題 綜合訓(xùn)練綜合訓(xùn)練 1已知已知 aR R，函數(shù)，函數(shù) f (x)

21、(x2ax)ex(xR R，e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) (1)當(dāng)當(dāng) a2 時(shí)，求函數(shù)時(shí)，求函數(shù) f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間；的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若函數(shù)若函數(shù) f (x)在在(1,1)上單調(diào)遞增，求上單調(diào)遞增，求 a 的取值范圍；的取值范圍； (3)函數(shù)函數(shù) f (x)是否為是否為 R R 上的單調(diào)減函數(shù)？若是，求出上的單調(diào)減函數(shù)？若是，求出 a 的取值范圍？若不是，請(qǐng)說明理的取值范圍？若不是，請(qǐng)說明理由由 解解：(1)當(dāng)當(dāng) a2 時(shí)，時(shí)，f (x)(x22x)ex， 所以所以 f (x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex. 令令 f (x)0，即，即(x22)ex0，

22、因?yàn)橐驗(yàn)?ex0，所以，所以x220， 解得解得 2x0，所以，所以x2(a2)xa0， 則則 ax22xx1 x1 21x1(x1)1x1對(duì)對(duì) x(1,1)都成立都成立 令令 g(x)(x1)1x1， 則則 g(x)11 x1 20. 所以所以 g(x)(x1)1x1在在(1,1)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 所以所以 g(x)0，所以，所以 x2(a2)xa0 對(duì)對(duì) xR R 都成立都成立 所以所以 (a2)24a0，即，即 a240，這是不，這是不可能的可能的 故函數(shù)故函數(shù) f (x)不可能在不可能在 R R 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 2(2018 合肥質(zhì)檢合肥質(zhì)檢)已知已知 f (x)ln(2x1

23、)ax(aR R) (1)討論討論 f (x)的單調(diào)性；的單調(diào)性； (2)若若 f (x)ax 恒成立，求恒成立，求 a 的值的值 解：解：(1)f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?12， ， f (x)22x1ax22x22axa 2x1 x2. 令令 g(x)2x22axa， 若若 2x22axa0 的根的判別式的根的判別式 4a28a0， 即當(dāng)即當(dāng) 0a2 時(shí)，對(duì)任意時(shí)，對(duì)任意 x 12， ，g(x)0 恒成立，恒成立， 即當(dāng)即當(dāng) x 12， 時(shí)，時(shí)，f (x)0 恒成立，恒成立， f (x)在在 12， 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 若若 2x22axa0 的根的判別式的根的判別式 0，即當(dāng)，即當(dāng)

24、 a2 或或 a0 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) g(x)圖象的對(duì)稱軸為圖象的對(duì)稱軸為直線直線 xa2. 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，a20. 對(duì)任意對(duì)任意 x 12， ，g(x)0 恒成立，恒成立， 即對(duì)任意即對(duì)任意 x 12， ，f (x)0 恒成立，恒成立， f (x)在在 12， 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 當(dāng)當(dāng) a2 時(shí)，時(shí)，a21，且，且 g 12120. 記記 g(x)0 的兩根分別為的兩根分別為 x1，x2，且，且 x112(a a22a)12，x212(a a22a) 當(dāng)當(dāng) x 12，x1(x2，)時(shí)，時(shí)，g(x)0，當(dāng)，當(dāng) x(x1，x2)時(shí)，時(shí)，g(x)0，當(dāng)，當(dāng) x(x1，x2)時(shí)，時(shí)，f (x

25、)2 時(shí)，時(shí)，f (x)在在 12，12 a a22a 和和 12(a a22a) ，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在 12(a a22a)，12(a a22a) 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 (2)f (x)ax 恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立等價(jià)于對(duì)任意 x 12， ，f (x)ax0 恒成立恒成立 令令 h(x)f (x)axln(2x1)axax， 則則 h(x)0h(1)恒成立，恒成立， 即即 h(x)在在 x1 處取得最大值處取得最大值 h(x)2ax3 2a x22axax2 2x1 . 由由 h(1)0，得得 a1. 當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)，時(shí)，h(x) 1x 2x2x1 x2 2x1 ， 當(dāng)當(dāng) x 1

26、2，1 時(shí)，時(shí)，h(x)0； 當(dāng)當(dāng) x(1，)時(shí)，時(shí)，h(x)0，求函數(shù)，求函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間m,2m上的最大值上的最大值 解解 (1)因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù) f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0，)，且且 f (x)1ln xx2， 由由 f x 0，0，得得 0 xe；由由 f x 0，得得 xe. 所以函數(shù)所以函數(shù) f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為(0， e)， 單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為(e， ， )，且且 f (x)極大值極大值f (e)1e1，無極小值無極小值 (2)當(dāng)當(dāng) 2me，0，即即 0me2時(shí)時(shí)，函數(shù)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間m,2m上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增，

27、所以所以 f (x)maxf (2m)ln 2m2m1； 當(dāng)當(dāng) me2m，即即e2me 時(shí)時(shí)， 函數(shù)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間(m，e)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增，在在(e,2m)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減，所以所以 f (x)maxf (e)ln ee11e 1； 當(dāng)當(dāng) me 時(shí)時(shí)，函數(shù)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間m,2m上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減， 所以所以 f (x)maxf (m)ln mm1. 綜上所述綜上所述， 當(dāng)當(dāng) 0me2時(shí)時(shí)， f (x)maxln 2m2m1； 當(dāng)當(dāng)e2m0 時(shí)，若時(shí)，若 f (x)在區(qū)間在區(qū)間1，e上的最小值為上的最小值為2，求，求 a 的取值范圍的取值范圍 解解 (1)

28、當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)，時(shí)，f (x)x23xln x(x0)， 所以所以 f (x)2x31x2x23x1x， 所以所以 f (1)2，f (1)0. 所以切線方程為所以切線方程為 y20. (2)函數(shù)函數(shù) f (x)ax2(a2)xln x 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0，)， 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，f (x)2ax(a2)1x2ax2 a2 x1x 2x1 ax1 x， 令令 f (x)0，解得，解得 x12或或 x1a. 當(dāng)當(dāng) 01a1，即，即 a1 時(shí)，時(shí)， f (x)在在1，e上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 所以所以 f (x)在在1，e上的最小值為上的最小值為 f (1)2，符合題意；，符合題意； 當(dāng)當(dāng)

29、11ae，即，即1ea1 時(shí)，時(shí)，f (x)在在 1，1a上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在 1a，e 上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， 所以所以 f (x)在在1，e上的最小值為上的最小值為 f 1af (1)2，不合題意；，不合題意； 當(dāng)當(dāng)1ae，即，即 0a1e時(shí)，時(shí)，f (x)在在1，e上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減， 所以所以 f (x)在在1，e上的最小值為上的最小值為 f (e)1)在在1,2上的值域?yàn)樯系闹涤驗(yàn)閜(a)，q(a)，求，求 (a)q(a)p(a)的最小值的最小值 解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)?f (x)x33x2，所以，所以 f (x)3x26x， 所以曲線所以曲線 yf (x)在點(diǎn)在點(diǎn) P

30、(1，2)處的切線的斜率為處的切線的斜率為 f (1)3， 所以切線方程為所以切線方程為 y(2)3(x1)， 即即 3xy10. (2)因?yàn)橐驗(yàn)?g(x)2x33(a1)x26ax， 所以所以 g(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa) 令令 g(x)0，得，得 x1 或或 xa， 若若 1a2， 當(dāng)當(dāng) x(1，a)時(shí)，時(shí)，g(x)0，所以，所以 g(x)在在(a,2)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 若若 g(1)g(2)，即，即 1a53，此時(shí)，此時(shí) q(a)g(2)4，p(a)g(a)a33a2， 所以所以 (a)4(a33a2)a33a24 1a53， 因?yàn)橐驗(yàn)?(a)3a26a3a(a2

31、)g(2)，即即53a2， 此時(shí)此時(shí) q(a)g(1)3a1，p(a)g(a)a33a2， 所以所以 (a)3a1(a33a2) a33a23a1 53a827. 若若 a2， 當(dāng)當(dāng) x1,2時(shí)，時(shí)，g(x)0，所以，所以 g(x)在在1,2上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減， 所以所以 q(a)g(1)3a1，p(a)g(2)4， 所以所以 (a)3a143a5(a2)， 所以所以 (a)在在2，)上的最小值為上的最小值為 (2)1. 綜上，綜上，(a)的最小值為的最小值為827. 2已知函數(shù)已知函數(shù) f (x)x23xax. (1)若若 a4，討論，討論 f (x)的單調(diào)性；的單調(diào)性； (2)若若 f

32、 (x)有有 3 個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)?a4 時(shí)，時(shí)，f (x)x23x4x， 所以所以 f (x)2x34x22x33x24x22x34x2x24x2 x2 2x2x2 x2(x0)， 令令 f (x)0，得，得 x2；令；令 f (x)0，得，得 x0 或或 0 x0，得，得 x1 或或 x0；由；由 g(x)0，得，得 0 x0，得得 a0， 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)， a0，g( a)2( a)33(a)a2a( a1)0， 故故 a0 時(shí)，時(shí)，g(x)在在(，0)上有唯一零點(diǎn)；上有唯一零點(diǎn)； 令令 g(1)1a1， 故故1a0

33、時(shí)，時(shí)，g(x)在在(0,1)上有唯一零點(diǎn)；上有唯一零點(diǎn)； 又又1a0，所以，所以 g(x)在在(1，)上有唯一零點(diǎn)上有唯一零點(diǎn) 綜上可知，實(shí)數(shù)綜上可知，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是(1,0) 重難增分重難增分 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 典例細(xì)解典例細(xì)解 例例1 (2015 全國卷全國卷)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)ex(2x1)axa，其中，其中 a1，若存在唯一的，若存在唯一的整數(shù)整數(shù) x0使得使得 f (x0)0，則，則 a 的取值范圍是的取值范圍是( ) A. 32e，1 B. 32e，34 C. 32e，34 D. 32e，1 學(xué)解題學(xué)解題 法一：直接法法一：直接法

34、(學(xué)生用書不提供解題過程學(xué)生用書不提供解題過程) 若若 a0，則，則對(duì)任意負(fù)整數(shù)對(duì)任意負(fù)整數(shù) m，有，有 f (m)em(2m1)a(m1)0，不符合題中唯一要求，不符合題中唯一要求，故必有故必有 0a1.由于由于 f (x)ex(2x1)a，易知當(dāng)，易知當(dāng) x1 時(shí)時(shí) f (x)e1a0，故，故 f (x)在在(，1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 注意到注意到 f (1)e0，所以在，所以在(1，)內(nèi)不存在正整數(shù)內(nèi)不存在正整數(shù) x0使得使得 f (x0)0. 又又 f (0)1a0，這樣我們就找到了，那個(gè)唯一的整數(shù)，這樣我們就找到了，那個(gè)唯一的整數(shù) x0就是就是

35、0.則滿足題意的充要?jiǎng)t滿足題意的充要條件是條件是 f (1)0，即，即 a32e，故，故 a 的取值范圍是的取值范圍是 32e，1 . 法二：分離參數(shù)法法二：分離參數(shù)法(學(xué)生用書不提供解題過程學(xué)生用書不提供解題過程) f (x)ex(2x1) 當(dāng)當(dāng) x1 時(shí)，有時(shí)，有 aex 2x1 x11，這與題設(shè)矛盾，舍去；，這與題設(shè)矛盾，舍去； 當(dāng)當(dāng) x1 時(shí)，有時(shí)，有 aex 2x1 x1. 記記 g(x)ex 2x1 x1， 則則 g(x)ex 2x1 x1 ex 2x1 x1 2 xex 2x3 x1 2(x1) 當(dāng)當(dāng) x0；當(dāng)；當(dāng) 0 x1 時(shí)，時(shí)，g(x)0， 故故 g(x)在在(，0)上單調(diào)

36、遞增，在上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，作出函數(shù)上單調(diào)遞減，作出函數(shù) yg(x)的大致圖象如圖的大致圖象如圖所示所示 由題意知，存在唯一的整數(shù)由題意知，存在唯一的整數(shù) x0使得使得 f (x0)0，即，即 ag(x0)，由圖易知，由圖易知 a 的取值范圍是的取值范圍是32eg(1)a1，選，選 D. 法三：幾何直觀法法三：幾何直觀法(學(xué)生用書提供解題過程學(xué)生用書提供解題過程) 設(shè)設(shè) g(x)ex(2x1)，yaxa，由題意知存在唯一的整數(shù)，由題意知存在唯一的整數(shù) x0，使得，使得 g(x0)在直線在直線 yaxa 的下方的下方 因?yàn)橐驗(yàn)?g(x)ex(2x1)，所以當(dāng)，所以當(dāng) x12時(shí)，時(shí)

37、，g(x)12時(shí)，時(shí)，g(x)0，所以當(dāng)，所以當(dāng) x12時(shí)，時(shí)，g(x)min2e12， 因?yàn)橐驗(yàn)?g(0)10，直線，直線 yaxa 恒過點(diǎn)恒過點(diǎn)(1,0)，且斜率為，且斜率為 a，畫出函數(shù)的大，畫出函數(shù)的大致圖象如圖所示，致圖象如圖所示， 故故ag(0)1，g(1)3e1aa，解得，解得32ea1. 法四：特殊值探路法四：特殊值探路(學(xué)生用書提供解題過程學(xué)生用書提供解題過程) 注意到注意到f (0)a10， 故， 故x00.又又x0唯一， 故唯一， 故 f 1 0，f 1 0，解得解得a32e， 所以， 所以32ea1(*) 這是這是 a 需滿足的必要條件需滿足的必要條件 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 f

38、 (x)ex(2x1)a.當(dāng)當(dāng) x1 時(shí)，時(shí)，f (x)a0，f (x)在在1，)上單調(diào)遞增，有上單調(diào)遞增，有f (x)f (1)0.可見可見(*)式也是充分的式也是充分的 于是，于是，a 的取值范圍的取值范圍就是就是32ea0 時(shí)，時(shí)，xf (x)f (x)0 成立的成立的 x 的取值范圍是的取值范圍是( ) A(，1)(0,1) B(1,0)(1，) C(，1)(1,0) D(0,1)(1，) 解析解析 令令 g(x)f x x(x0)，則，則 g(x)xf x f x x2，當(dāng)，當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)，xf (x)f (x)0，g(x)0 時(shí)，由時(shí)，由 f (x)0，得，得 g(x)0，由圖知

39、，由圖知 0 x1， 當(dāng)當(dāng) x0，得，得 g(x)0，由圖知，由圖知 x0 成立的成立的 x 的取值范圍是的取值范圍是(，1)(0,1) 答案答案 A 啟思維啟思維 本題考查了導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，通過本題考查了導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，通過 xf (x)f (x)0(或或0(或或0(或或0(或或0)，構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造函數(shù) F(x)f x ex. 增分訓(xùn)練增分訓(xùn)練 1已知函數(shù)已知函數(shù) f (x)，對(duì)，對(duì)xR R，都有，都有 f (x)f (x)x2，在，在(0，)上，上，f (x)0 時(shí)，時(shí)，g(x)f (x)x0，則不等式，則不等式 f (x)0， g(x)0，即，即 g(x)為為 R R 上的減函數(shù)上的

40、減函數(shù) g(1)f 1 e1e2， 由不等式由不等式 f (x)ex2， 得得f x exe21e2，即，即 g(x)1，不等式不等式 f (x)0，解得，解得 0 x2，故函數(shù)，故函數(shù) f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 0，12和和(2，) 3(2018 石家莊模擬石家莊模擬)已知已知 f (x)ln xx，其中，其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則( ) Af (2)f (e)f (3) Bf (3)f (e)f (2) Cf (e)f (2)f (3) Df (e)f (3)f (2) 解析：解析：選選 D 由由 f (x)ln xx，得，得 f (x)1ln x

41、x2，令，令 f (x)0，解得，解得 xe，當(dāng)，當(dāng) x(0，e)時(shí)，時(shí)，f (x)0，函數(shù)，函數(shù) f (x)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng) x(e，)時(shí)，時(shí)，f (x)0，函數(shù)，函數(shù) f (x)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，故故 f (x)在在 xe 處取得最大值處取得最大值 f (e)，f (2)f (3)ln 22ln 333ln 22ln 36ln 8ln 960， f (2)f (3)f (2)，故選，故選 D. 4(2019 屆高三屆高三 廣州調(diào)研廣州調(diào)研)已知直線已知直線 ykx2 與曲線與曲線 yxln x 相切，則實(shí)數(shù)相切，則實(shí)數(shù) k 的值為的值為( ) Aln 2 B1 C1ln 2 D1

42、ln 2 解析：解析： 選選 D 由由 yxln x 知知 yln x1， 設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為(x0， x0ln x0)， 則切線方程為， 則切線方程為 yx0ln x0(ln x01)(xx0)，因?yàn)榍芯€，因?yàn)榍芯€ ykx2 過定點(diǎn)過定點(diǎn)(0，2)，所以，所以2x0ln x0(ln x01)(0 x0)，解得，解得 x02，故，故 k1ln 2，選，選 D. 5已知定義在已知定義在 R R 上的可導(dǎo)函數(shù)上的可導(dǎo)函數(shù) f (x)的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為 f (x)，滿足，滿足 f (x)f (x)，且，且 f (x3)為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，f (6)1，則不等式，則不等式 f (x)ex的解集為的解集

43、為( ) A(2，) B(0，) C(1，) D(4，) 解析：解析：選選 B 因因?yàn)闉?f (x3)為偶函數(shù)，為偶函數(shù)， 所以所以 f (3x)f (x3)， 因此因此 f (0)f (6)1. 設(shè)設(shè) h(x)f x ex，則原不等式即，則原不等式即 h(x)h(0) 又又 h(x)f x exf x ex ex 2f x f x ex， 依題意依題意 f (x)f (x)，故，故 h(x)0， 因此函數(shù)因此函數(shù) h(x)在在 R R 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)， 所以由所以由 h(x)h(0)，得，得 x0.故選故選 B. 6已知定義在已知定義在 R R 上的函數(shù)上的函數(shù) yf (x)滿足滿足

44、 f (x)f (x)，當(dāng)，當(dāng) x(0,2時(shí)，時(shí)，f (x)ln xax a12，當(dāng)，當(dāng) x2,0)時(shí)，時(shí)，f (x)的最小值為的最小值為 3，則，則 a 的值等于的值等于( ) Ae2 Be C2 D1 解析：解析：選選 A 因?yàn)槎x在因?yàn)槎x在 R R 上的函數(shù)上的函數(shù) yf (x)滿足滿足 f (x)f (x)， 所以所以 yf (x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) x2,0)時(shí)，時(shí)，f (x)的最小值為的最小值為 3， 所以當(dāng)所以當(dāng) x(0,2時(shí)，時(shí)，f (x)ln xax a12的最大值為的最大值為3. 又又 f (x)1axx(0 x2)

45、， 所以當(dāng)所以當(dāng) 0 x0； 當(dāng)當(dāng)1ax2 時(shí)，時(shí)，f (x)0； 所以函數(shù)所以函數(shù) f (x)ln xax 在區(qū)間在區(qū)間 0，1a上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間 1a，2 上單上單調(diào)遞減，調(diào)遞減， 故故 f (x)maxf 1aln1aa1a3，解得，解得 ae2. 7若函數(shù)若函數(shù) f (x)ln x12ax22x 存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析：f (x)1xax21ax22xx，由題意知，由題意知 f (x)0，ax22x10 有實(shí)數(shù)解當(dāng)有實(shí)數(shù)解當(dāng) a0 時(shí)，顯然滿足；當(dāng)時(shí)，顯然滿足；當(dāng) a0，1a1. 答案：答案：(1

46、，) 8已知函數(shù)已知函數(shù) f (x)exmx1 的圖象為曲線的圖象為曲線 C，若曲線，若曲線 C 存在與直線存在與直線 yex 垂直的切垂直的切線，則實(shí)數(shù)線，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析：函數(shù)函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) f(x)exm，設(shè)切點(diǎn)為，設(shè)切點(diǎn)為(x0，ex0mx01)，即切線斜率，即切線斜率 k e x0m，若曲線，若曲線 C 存在與直線存在與直線 yex 垂直的切線，則滿足垂直的切線，則滿足(e x0m)e1， 即即 e x0m1e有解，有解， 即即 me x01e有解，有解， e x01e1e，m1e. 答案：答案： 1e， 9已知已知 x0為函數(shù)為函數(shù) f

47、 (x)(ea)x3x 的極值點(diǎn)，若的極值點(diǎn)，若 x0 e3，13e(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析： f(x)aeax3， 則， 則 f(x0)3aeax00， 由， 由于于 eax00， 則， 則 a0，則，則 x0t3ln t，構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造函數(shù) g(t)t3ln t(t0)，g(t)13ln t1313(ln t1)，當(dāng)，當(dāng) 0t0，g(t)為增函數(shù)，且為增函數(shù)，且 g(t)0 恒成立，恒成立，當(dāng)當(dāng) t1e時(shí)，時(shí)，g(t)0，g(t)為為減函數(shù)，減函數(shù)，g(t)maxg 1e13e，且，且 g(e)e3，因此當(dāng)，因此當(dāng)

48、x0 e3，13e時(shí)，時(shí)，0te，即，即 00，g 2 0，2m0，解得解得6m2. 所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù) m 的取值的取值范圍為范圍為(6,2) 11(2018 成都模擬成都模擬)已知函數(shù)已知函數(shù) f (x)(ax1)ln xx22. (1)若若 a2，求曲線，求曲線 yf (x)在點(diǎn)在點(diǎn)(1，f (1)處的切線處的切線 l 的方程；的方程； (2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) g(x)f (x)有兩個(gè)極值點(diǎn)有兩個(gè)極值點(diǎn) x1，x2，其中，其中 x1(0，e，求，求 g(x1)g(x2)的最小值的最小值 解：解：(1)當(dāng)當(dāng) a2 時(shí)，時(shí)，f (x)(2x1)ln xx22， 則則 f (x)2ln xx1x2，

49、 f (1)2，f (1)12， 切線切線 l 的方程為的方程為 y122(x1)，即，即 4x2y30. (2)函數(shù)函數(shù) g(x)aln xx1xa，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?0，)， 則則 g(x)1ax1x2x2ax1x2，令，令 g(x)0，得，得 x2ax10，其兩根為，其兩根為 x1，x2， 且且 x1x2a，x1x21， 故故 x21x1，a x11x1. g(x1)g(x2)g(x1)g 1x1aln x1x11x1a aln1x11x1x1a 2 x11x12aln x12 x11x12 x11x1ln x1， 令令 h(x)2 x1x2 x1xln x. 則則g(x1)g(x2)

50、minh(x)min， 又又 h(x)2 1x 1x ln xx2， 當(dāng)當(dāng) x(0,1時(shí)，時(shí)，h(x)0， 當(dāng)當(dāng) x(1，e時(shí)，時(shí)，h(x)0， 即當(dāng)即當(dāng) x(0，e時(shí)，時(shí)，h(x)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減， h(x)minh(e)4e， 故故g(x1)g(x2)min4e. 12(2018 鄭州模擬鄭州模擬)已知函數(shù)已知函數(shù) f (x)ln xx，g(x)13mx3mx(m0) (1)求曲線求曲線 yf (x)在點(diǎn)在點(diǎn)(1，f (1)處的切線方程；處的切線方程； (2)若對(duì)任意的若對(duì)任意的 x1(1,2)，總存在，總存在 x2(1,2)，使得，使得 f (x1)g(x2)，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù) m 的取

51、值范圍的取值范圍 解：解：(1)易知切點(diǎn)為易知切點(diǎn)為(1，1)，f (x)1x1，切線的斜率，切線的斜率 kf (1)0，故切線方程為，故切線方程為y1. (2)設(shè)設(shè) f (x)在區(qū)間在區(qū)間(1,2)上的值域?yàn)樯系闹涤驗(yàn)?A，g(x)在區(qū)間在區(qū)間(1,2)上的值域?yàn)樯系闹涤驗(yàn)?B，則由題意可得，則由題意可得 AB. f (x)ln xx， f (x)1x11xx0 時(shí)，時(shí)，g(x)0 在在 x(1,2)上恒成立，上恒成立， 則則 g(x)在在(1,2)上是增函數(shù)，此時(shí)上是增函數(shù)，此時(shí) g(x)在區(qū)間在區(qū)間(1,2)上的值域上的值域 B 為為 23m，23m ， 則則 m0，23m1，23mln

52、 22， 解得解得 m32(ln 22)332ln 2. 當(dāng)當(dāng) m0 時(shí)，時(shí)，g(x)0 在在 x(1,2)上恒成立，上恒成立， 則則 g(x)在在(1,2)上是減函數(shù)，此時(shí)上是減函數(shù)，此時(shí) g(x)在區(qū)間在區(qū)間(1,2)上的值域上的值域 B 為為 23m，23m ， 則則 m0 恒成立， 函數(shù)恒成立， 函數(shù) f (x)在在(0， ， )上單調(diào)遞增， 則函數(shù)上單調(diào)遞增， 則函數(shù) f (x)不存在兩個(gè)不同的零點(diǎn) 當(dāng)不存在兩個(gè)不同的零點(diǎn) 當(dāng)a0 時(shí)，由時(shí)，由 f (x)0，得，得 x12a，當(dāng)，當(dāng) 0 x0，函數(shù)，函數(shù) f (x)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)x12a時(shí)，時(shí)，f (x)0，即即 ln 2

53、a1，所以，所以 02a1e，即，即 0a0 對(duì)任意的對(duì)任意的 x1 恒成立，則恒成立，則m 的最大值為的最大值為( ) A2 B3 C4 D5 解析：解析：選選 B 法一：法一：因?yàn)橐驗(yàn)?f (x)xxln x，且，且 f (x)m(x1)0 對(duì)任意的對(duì)任意的 x1 恒成立，恒成立，等價(jià)于等價(jià)于 mxxln xx1在在(1，)上恒成立，上恒成立， 等價(jià)于等價(jià)于 m1) 令令 g(x)xxln xx1(x1)，所以，所以 g(x)x2ln x x1 2.易知易知 g(x)0 必有實(shí)根，設(shè)為必有實(shí)根，設(shè)為 x0，則則 x02ln x00，且，且 g(x)在在(1，x0)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，

54、在(x0，)上單調(diào)遞增，此時(shí)上單調(diào)遞增，此時(shí) g(x)ming(x0)x0 x0ln x0 x01x0 x0 x02 x01x0， 因此， 因此 mx0， 令， 令 h(x)x2ln x， 可得， 可得 h(3)0，又又 mZ，故，故 m 的最大值為的最大值為 3.故選故選 B. 法二：法二：f (x)m(x1)在在(1，)上恒成立，上恒成立， 而而 f (x)2ln x，得，得 f (x)在在(0，e2)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， 由圖象可知，過點(diǎn)由圖象可知，過點(diǎn)(1,0)的的直線直線 ym(x1)必在必在 f (x)的圖象下方，設(shè)過點(diǎn)的圖象下方，設(shè)過點(diǎn)(

55、1,0)且與且與 f (x)的圖象相切的直線的斜率為的圖象相切的直線的斜率為 k，則，則 mk. 此時(shí)設(shè)切點(diǎn)為此時(shí)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x0 x0ln x0)， 則有則有 k2ln x0 x0 x0ln x0 x01， 可得可得 x0ln x020，令，令 g(x)xln x2， 顯然顯然 g(e)0，所以，所以 ex0e2，所以，所以 1ln x02,3k4，又，又 m0，aR R 恒成立，則實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)m 的最大值為的最大值為( ) A. e B2 Ce D3 解析：解析：選選 B b(a2)2ln b(a1)2等價(jià)于點(diǎn)等價(jià)于點(diǎn) P(b，ln b)與點(diǎn)與點(diǎn) Q(a2，a1)距離距離的平方，

56、易知點(diǎn)的平方，易知點(diǎn) P，Q 分別在曲線分別在曲線 C：yln x 及直線及直線 l：yx1 上上 令令 f (x)ln x，則，則 f (x)1x，令，令 f (x)1，得，得 x1，故與直線，故與直線 l 平行且與曲線平行且與曲線 C 相切相切的直線的直線 l與曲線與曲線 C 的切點(diǎn)為的切點(diǎn)為(1,0)， 所以， 所以|PQ|min22 2， 所以， 所以 m2m2， 解得， 解得1m2，所以所以 m 的最大值為的最大值為 2.故選故選 B. 5設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)exax，g(x)ln(x3)4exa，其中，其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若存在為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) x0，使

57、得，使得 f (x0)g(x0)2 成立，則實(shí)數(shù)成立，則實(shí)數(shù) a 的值為的值為( ) A2ln 2 B1ln 2 C1ln 2 D2ln 2 解析：解析：選選 D 由已知得由已知得 f (x)g(x)exaxln(x3)4exa， 設(shè)設(shè) h(x)exa4exa，u(x)xln(x3)， 所以所以 h(x)exa4exa2 exa 4exa4，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng) exa2 時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立 u(x)11x3x2x3(x3)， 令令 u(x)0，得，得 x2； 令令 u(x)0，得，得3x0，若直線，若直線 MNx 軸，則軸，則 M，N 兩點(diǎn)間的距離的最小值為兩點(diǎn)間的距離的最小值為( ) A1

58、 B2 C3 D4 解析：解析：選選 A 設(shè)設(shè) h(x1)|MN|，由題意知，由題意知 h(x1)x2x1，x11， 由由 MNx 軸可得軸可得 g(x2)f (x1)， 即即 x2ex1112(x11)21， 所以所以 h(x1)x2x1ex1112(x11)2x11，h(x1)e x11x1，h(x1)e x111， 因?yàn)橐驗(yàn)?h(x1)h(1)0， 所以所以 h(x1)在在1，)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)， 所以所以 h(x1)h(1)0， 因此因此 h(x1)在在1，)上是增函數(shù)，所以上是增函數(shù)，所以 h(x1)h(1)1，故選，故選 A. 7若對(duì)任意的若對(duì)任意的 x 1e，1 ，e 為自

59、然對(duì)數(shù)的底數(shù)，總存在唯一的為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，總存在唯一的 y1,1，使得，使得 ln xx1ay2ey成立，則實(shí)數(shù)成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為的取值范圍為( ) A. 1e，e B. 2e，e C. 2e， D. 2e，e1e 解析：解析：選選 B 設(shè)設(shè) f (x)ln xx1a， 則則 f (x)1x11xx. 因?yàn)橐驗(yàn)?x 1e，1 ，所以，所以 f (x)0，f (x)在在 1e，1 上單調(diào)遞增，所以上單調(diào)遞增，所以 f (x) a1e，a . 設(shè)設(shè) g(y)y2ey，y1,1， 則則 g(y)y(y2)ey. 由由 g(y)0，得，得1y0，得，得 0y1. 所以函數(shù)所以函數(shù) g(y

60、)在在1,0上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，且上單調(diào)遞增，且 g(1)1eg(1)e. 對(duì)任意的對(duì)任意的 x 1e，1 ，總存在唯一的，總存在唯一的 y1,1，使得，使得 ln xx1ay2ey成立，等價(jià)成立，等價(jià)于于 f (x)的值域是的值域是 g(y)的不含極值點(diǎn)的單值區(qū)間的子集，的不含極值點(diǎn)的單值區(qū)間的子集， 故故 a1e，a 1e，e ，所以，所以2e0 時(shí)，時(shí)， f (x)f (x3)0； 當(dāng)； 當(dāng) x(0,3)時(shí)，時(shí)，f (x)eln xx，其中，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且 e2.72，則方程，則方程 6f (x)x0 在在9,9上的上的解的個(gè)

61、數(shù)為解的個(gè)數(shù)為( ) A4 B5 C6 D7 解析：解析：選選 D 依題意，當(dāng)依題意，當(dāng) x(0,3)時(shí)，時(shí)，f (x)e 1ln x x2，令，令 f (x)0 得得 xe，故函，故函數(shù)數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間(0，e)上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間(e,3)上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間(0,3)上，上，f (x)maxf (e)1.又函數(shù)又函數(shù) f (x)是定義在是定義在R R上的奇函數(shù)， 且當(dāng)上的奇函數(shù)， 且當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， f (x)f (x3)0， 即， 即 f (x3)f (x)，f (0)0.由由 6f (x)x0，得，得 f (x)x6.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù) yf (x)與與 yx6在區(qū)間在區(qū)間9,9 上的圖象如圖所示由圖可知，函數(shù)上的圖象如圖所示由圖可知，函數(shù) yf (x)與與 yx6的圖象有的圖象有 7 個(gè)交點(diǎn)，即方程個(gè)交點(diǎn)，即方程 6f (x)x0 的解的個(gè)數(shù)為的解的個(gè)數(shù)為 7.故選故選 D.