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1、數(shù)學必修2知識點總結一、直線與方程(1)直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時我們規(guī)定它的傾斜角為。度。因此，傾斜角的取值范圍是 0 ax B2y C20相交交點坐標即方程組 AlX Biy Cl 0的一組解。 A2X B2y C20方程組無解li /I2 ；方程組有無數(shù)解ll與重合(8)兩點間距離公式： 設A(xi,y1)，B X2, y2)是平面直角坐標系中的兩個點，則 |AB| .(X2 Xi)2 (y2 yi)2(9)點到直線距離公式：一點P X0,y0到直線11 ： Ax By C 0的距離d lAx0 By c| d22
2、A B(i0)兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。、圓的方程1、圓的定義:平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心,定長為圓的半徑。2、圓的方程(1)標準方程,圓心a,b ,半徑為r；(2) 一般方程Dx Ey當 D2 E24F0時，方程表示圓,此時圓心為半徑為當 D2 E24F0時，表示一個點;當D2E24F。時,方程不表不任何圖形。(3)求圓方程的方法:若利用圓的標準方程,般都采用待定系數(shù)法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件,需求出a, b, r;若利用一般方程，需要求出D, E, F;另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經(jīng)過原
3、點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關系：直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷:(1)設直線l:Ax By C 0,圓C：x a 2y b 2 r2 ,圓心C a,b到l的距離為d 1Aa Bb則有d r l與C相離；d r l與C相切；d r l與C相交,A2 B2222設直線l : Ax By C 0,圓C: x a y b r ,先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有0l與C相離；0l與C相切；0l與C相交注：如果圓心的位置在原點，可使用公式2 一，xx0 vy r去解直線與圓相切的問題，其中x, y0表不切點坐標，r
4、表小半徑。(3)過圓上一點的切線方程：圓x2+y2=r2,圓上一點為(xO, y0),則過此點的切線方程為 xx0打02 (課本命題).圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點為(x, y。)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b尸r（課本命題的推廣）.4、圓與圓的位置關系： 通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。222.2.22設圓 Ci : x ai ybir , C2 : x a? yb2R兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和（差）,與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當d R r時兩圓外離，此時有公切線四條；當d R r時兩圓外切，連
5、心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；當R r d R r時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線;當d R r時，兩圓內切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當d |R r|時，兩圓內含；當d 0時，為同心圓。三、立體幾何初步（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表不：用各頂點字母，如五棱枉 ABCDE A B C D E或用對角線的端點字母，如五棱柱） AD幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行
6、且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。棱錐定義：有一個面是多邊形， 其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐 p abcde幾何特征：側面、對角面都是三角形； 平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點字母，如五棱臺 p abcde幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側面是梯形側棱交于原棱錐的頂點
7、(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉 ，其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側面展開圖是一個矩形。(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側面展開圖是一個扇形。(6)圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個圓；側面母線交于原圓錐的頂點； 側面展開圖是一個弓形。(7)球體：定義： 以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離
8、等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影)；側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法斜二測畫法特點：原來與x軸平行的線段仍然與原來與y軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；y平行，長度為原來的一半。側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積(1)幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。(2)特殊幾何體表面積公式c為底面周長,h為高,h為
9、斜高,l為母線)S直棱柱側面積chS圓柱側2 rhSE棱錐側面積-ch 2S圓錐側面積rlS正棱臺側面積C2)hS圓臺側面積(rR)Sa柱表2SH錐表S圓臺表rlRlR2(3)柱體、錐體、臺體的體積公式Sh%柱Shr2h、， iV錐-ShV圓錐r 2h1(S S S3S)hV圓臺-(S bs S)h 3(r23E血/小I上旗雄示1上憂|V n-7R2)hrR(4)球體的表面積和體積公式：V球=4 R3 ； S球面=4 R234、空間點、直線、平面的位置關系(1)平面 平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母a、3、丫表示，如平面a (通常寫在一個銳角內)；
10、也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。點與平面的關系： 點A在平面 內，記作A ；點A不在平面 內，記作A 點與直線的關系： 點A的直線l上，記作：AC l；點A在直線l外，記作A l；直線與平面的關系：直線l在平面a內，記作l a；直線l不在平面a內，記作l a。(2)公理1 :如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面 內。(即直線在平面內，或者平面經(jīng)過直線) 應用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內 用符號語言表示公理 1: A l,B l,A ,B l(3)公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交
11、直線確定一平面；兩平行直線確定平面。公理2及其推論作用：它是空間內確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù)(4)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面”和3相交，交線是 a,記作a A3= a。符號語言：P AI B AI B l,P l公理3的作用：它是判定兩個平面相交的方法。它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。(5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行(6)空間直線與直線之間的位置關系異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線異面直線性質：既不平行，又不相交。
12、異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O,分別引直線a/a, b/b,則把直線a和b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0。，90。,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：(1)判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理(2)在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點 O的位置無關。求異面直線所成角步驟：A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。
13、B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角(7)等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。(8)空間直線與平面之間的位置關系直線在平面內 有無數(shù)個公共點.直線不在平面內J相交一一只有一個公共點.(或直線在平面外) (平行一一沒有公共點.三種位置關系的符號表不 ：a aaid a = A a / a(9)平面與平面之間的位置關系：平行一一沒有公共點；a / 3相交有一條公共直線。a n 3 = b5、空間中的平行問題（ 1）直線與平面平行的判定及其性質線面平行的判定定理 ：平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行線面平行的性
14、質定理： 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行（ 2）平面與平面平行的判定及其性質兩個平面平行的判定定理（ 1 ）如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（線面平行f面面平行），（ 2 ）如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。（線線平行面面平行），（ 3 ）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質定理（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內的直線與另一個平面平行。（面面平行f線面平行）（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行f線線平行）
15、7、空間中的垂直問題（ 1）線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直： 如果兩條異面直線所成的角是直角， 就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直： 如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直， 就說這條直線和這個平面垂直。平面和平面垂直： 如果兩個平面相交， 所成的二面角 （從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角） ，就說這兩個平面垂直。（ 2）垂直關系的判定和性質定理線面垂直判定定理和性質定理判定定理： 如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直， 那么這條直線垂直這個平面。性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。面面垂直的判定定理和性質定理
16、 判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另 個平面。9、空間角問題(1)直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為 0。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O,分別作與兩條異面直線a, b平行的直線a, b ,形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。(2)直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。平面的斜線與平面所成的角
17、：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角， 叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。在“作角”時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：(1)斜線上一點到面的垂線；(2)過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質易得垂線。(3)二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射 線，這兩條射線
18、所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角 求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關點，過這個點分別在兩個面內作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時,二面角的平面角過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為7、空間直角坐標系(1)定義：如圖，OBCD D, ABC是單位正方體.以A為原點，分別以OD,OA,ob的方向為正方向，建立三條數(shù)軸 x軸.y軸.z軸。這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.1) O叫做坐標原點 2 ) x軸，y軸，z軸叫做坐標軸.3 )過每兩個坐標軸的平面叫做坐 標面。(2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間 的相位置。(3)任意點坐標表示：空間一點 M的坐標可以用有序實數(shù)組 (x,y,z)來表示，有序實數(shù)組(x,y,z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作 M(x,y,z) (x叫做點M的橫坐標, y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標)(4)空間兩點距離坐標公式：d m xi)2 (y2 yi)2% 乙)2
數(shù)學必修 2 知識點總結
