高考數(shù)學(xué) 三輪講練測(cè)核心熱點(diǎn)總動(dòng)員新課標(biāo)版 專題11 平面向量的運(yùn)算 Word版含解析

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1、 【名師精講指南篇】【高考真題再現(xiàn)】1.【20xx新課標(biāo)全國(guó)】已知兩個(gè)單位向量,的夾角為,若,則_.【答案】2；【解析】,故,故.2.【20xx全國(guó)卷1理】已知為圓上的三點(diǎn),若,則與的夾角為_(kāi)【答案】3.【20xx全國(guó)卷1卷文】設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn),則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根據(jù)平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算可得：在中,同理,則4【20xx全國(guó)卷1】設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn),則（ ）.A BC D【答案】A【解析】由題可得,所以,所以故選A5【20xx全國(guó)卷2】設(shè)向量不平行,向量與平行,則實(shí)數(shù) 【答案】 【解析】根據(jù)向量平行的條件,因?yàn)橄蛄颗c平行,所以,則有解得,所以6.【

2、20xx全國(guó)卷1】已知是雙曲線上的一點(diǎn),是的兩個(gè)焦點(diǎn),若,則的取值范圍是（ ）.A B C D【答案】A【熱點(diǎn)深度剖析】從近幾年的高考試題來(lái)看,向量的運(yùn)算,向量的幾何意義,平面向量基本定理,向量的數(shù)量積,向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線的坐標(biāo)表示,及向量的數(shù)量積及運(yùn)算律,向量垂直的充要條件是高考的熱點(diǎn),題型既有選擇題、填空題,有時(shí)也涉及解答題,往往和解析幾何結(jié)合出題,函數(shù)等結(jié)合出題,與三角結(jié)合出大題在新課標(biāo)卷中還沒(méi)涉及,而對(duì)向量的數(shù)量積及運(yùn)算律的考查多為一個(gè)小題；另外作為工具在考查三角函數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容時(shí)經(jīng)常用到整個(gè)命題過(guò)程緊扣課本,重點(diǎn)突出,有時(shí)考查單一知識(shí)點(diǎn)；有時(shí)通過(guò)知識(shí)的交匯與鏈

3、接,全面考查向量的數(shù)量積及運(yùn)算律等內(nèi)容20xx年文理為同一道題目,求向量的模,考查向量的數(shù)量積公式,難度較低；20xx年新課標(biāo)高考理對(duì)向量的考查平面向量基本定理,難度中等,文科則考查向量的幾何運(yùn)算,較為簡(jiǎn)單；20xx年全國(guó)卷兩套試卷各有一題考查向量的線性運(yùn)算,難度較低,全國(guó)卷1還有一道與圓錐曲線的綜合題,難度中等.向量試題屬于中、低檔題目,常與向量的數(shù)量積運(yùn)算等交匯命題,主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線條件的應(yīng)用同時(shí)又注重對(duì)函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化、化歸等思想方法的考查預(yù)測(cè)20xx年高考將以向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的坐標(biāo)表示,向量的數(shù)量積,向量的平行,垂直為主要考點(diǎn).另外還有注意向量與平面幾何、三角、

4、解析幾何知識(shí)交匯問(wèn)題【重點(diǎn)知識(shí)整合】（1）兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量,作,稱為向量,的夾角,當(dāng)0時(shí),同向,當(dāng)時(shí),反向,當(dāng)時(shí),垂直.（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積）,記作：,即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不再是一個(gè)向量.（3）在上的投影為,它是一個(gè)實(shí)數(shù),但不一定大于0.（4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積.（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量,其夾角為,則：；當(dāng),同向時(shí),特別地,；當(dāng)與反向時(shí),；當(dāng)為銳角時(shí),0,且不同向,是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí),0,且不反向,是為鈍角的必要

5、非充分條件；非零向量,夾角的計(jì)算公式：；.2、向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行,但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量,如此之外,向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè),那么向量叫做與的和,即；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè),由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同.（2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè),則：向量的加減法運(yùn)算：,.實(shí)數(shù)與向量的積：.若,則,即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).平面向量數(shù)量積：.向量的模：.3、向量的運(yùn)算律：（1）交換律：,；(2)結(jié)合律：,；（3）分配律：,.提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算

6、有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式,可以移項(xiàng),兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù),兩邊同時(shí)取模,兩邊同乘以一個(gè)向量,但不能兩邊同除以一個(gè)向量,即兩邊不能約去一個(gè)向量,切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律,即,為什么？4、向量平行(共線)的充要條件：0.如(13)設(shè),則k_時(shí),A,B,C共線.5、向量垂直的充要條件： .特別地.【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】1.如何利用向量的幾何表示三角形的各種心向量的幾何表示是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,特別是用三角形的各種心的向量表示經(jīng)常是命題的素材,常見(jiàn)的結(jié)論如下：為的重心,特別地為的重心；是BC邊上的中線AD上的任意向量,過(guò)重心；等于已知AD是中BC邊的中線

7、.為的垂心；是ABC的邊BC的高AD上的任意向量,過(guò)垂心. 的內(nèi)心；向量所在直線過(guò)的內(nèi)心(是的角平分線所在直線).為的外心.2.向量與平行四邊形相關(guān)的結(jié)論向量的加法的幾何意義是通過(guò)平行四邊形法則得到,其應(yīng)用非常廣泛.在平行四邊形中,設(shè),則有以下的結(jié)論：通過(guò)這個(gè)公式可以把共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量進(jìn)行合并；若,可判斷四邊形為平行四邊形；若對(duì)角線相等或鄰邊垂直,則平行四邊形為矩形；對(duì)角線垂直.則平行四邊形為菱形；說(shuō)明平行四邊形的四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和；,特別地,當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).3. 向量平行和垂直的重要應(yīng)用向量平行和垂直的重要應(yīng)用,是高考的熱點(diǎn).命題方向有兩

8、點(diǎn)：一是利用已知條件去判斷垂直或平行；二是利用平行或垂直的條件去確定參數(shù)的值.需牢固掌握判斷的充要條件.（1）向量平行(共線)的充要條件：0;（2）向量垂直的充要條件：. 4.一個(gè)共線結(jié)論：是平面內(nèi)不同4點(diǎn),則共線,且.5.向量運(yùn)算問(wèn)題的兩大處理思路向量運(yùn)算包括幾何運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算.利用幾何運(yùn)算就是充分利用加法和減法的幾何含義,以及一些具有幾何含義的式子,進(jìn)行化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化向量的計(jì)算.利用坐標(biāo)運(yùn)算,實(shí)際上就是轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,即向量問(wèn)題坐標(biāo)化.樹(shù)立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn),以數(shù)代形,以形觀數(shù),用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問(wèn)題,特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系時(shí),要正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理,去計(jì)算向量的模、

9、兩點(diǎn)的距離等.由于向量作為工具,它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何等結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合考查,是知識(shí)的交匯點(diǎn).5.如何恰當(dāng)?shù)倪x擇向量的數(shù)量積的公式求向量的數(shù)量積的公式有兩個(gè)：一是定義式；二是坐標(biāo)式.定義式的特點(diǎn)是具有強(qiáng)烈的幾何含義,需要明確兩個(gè)向量的模及夾角,夾角的求解方法靈活多樣,一般通過(guò)具體的圖形可確定,因此采用數(shù)形結(jié)合思想是利用定義法求數(shù)量積的一個(gè)重要途徑.坐標(biāo)式的特點(diǎn)具有明顯的代數(shù)特征,解題時(shí)需要引入直角坐標(biāo)系,明確向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解.即向量問(wèn)題“坐標(biāo)化”,使得問(wèn)題操作起來(lái)容易、方便.6.如何判斷三角形形狀給出三角形邊相關(guān)的向量關(guān)系式,判斷三角形的形狀是一個(gè)熱點(diǎn)題型.此類題的關(guān)鍵是

10、對(duì)給定的關(guān)系式恰當(dāng)?shù)娜セ?jiǎn),變形,整理.最終能夠說(shuō)明三角形的形狀.常用的技巧有：（1）利用向量加減法的運(yùn)算可以合并或分解.（2）利用拆、添、減項(xiàng)等技巧,對(duì)式子進(jìn)行變形化簡(jiǎn).（3）利用一些常見(jiàn)的結(jié)論進(jìn)行判斷. 【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】1求向量的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角關(guān)系是鈍角2.如果高考單獨(dú)考查向量的運(yùn)算,如代數(shù)或幾何運(yùn)算,一般試題難度較低,位置較為靠前,一般為選擇題的前8題,或填空題的前2題,此時(shí)應(yīng)為的全分題,如果向量和其它知識(shí)相結(jié)合,考查最值等問(wèn)題,一

11、般會(huì)出現(xiàn)在后幾道選擇題中,難度較大,此時(shí)應(yīng)充分考慮向量的幾何意義,或坐標(biāo)法表示進(jìn)行解決,在利用坐標(biāo)法解決問(wèn)題時(shí),可考慮一般問(wèn)題特殊化,即恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,如果探求一些范圍問(wèn)題,適當(dāng)?shù)拇凋?yàn)證是一個(gè)良策.【名題精選練兵篇】1【20xx屆陜西省西安一中等八校高三下聯(lián)考】已知為正三角形內(nèi)一點(diǎn),且滿足,若的面積與的面積比值為3,則的值為（ ）A3 B C1 D2【答案】B2【20xx屆遼寧省沈陽(yáng)東北育才學(xué)校高三上二模】已知非零向量滿足 ,若函數(shù) 在R 上存在極值,則和夾角的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,設(shè)和夾角為,因?yàn)橛袠O值,所以,即,即,所以3【2

12、0xx屆四川省成都市七中高三考試】在中,且,點(diǎn)滿足,則（ ）A2 B3 C4 D6【答案】B【解析】如下圖所示,過(guò)點(diǎn)作于,則,所以,故選B.4【20xx屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期一模】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量,且平面內(nèi)的任一向量都可以唯一的表示成（為實(shí)數(shù)）,則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】D5【20xx屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬】向量且,則（ ）A B C D【答案】A【解析】由題意得,因?yàn)?則,即,又,故選A6【20xx屆重慶市巴蜀中學(xué)高三3月月考】已知是單位圓上的兩點(diǎn),為圓心,且,是圓的一條直徑,點(diǎn)在圓內(nèi),且滿足,則的最小值為（ ）A B C D【答案】C【解析】因?yàn)?

13、所以,即,又,所以點(diǎn)在線段上,且,所以,又因?yàn)?所以,所以的最小值為,故選C.7【20xx屆福建省漳州市高三下學(xué)期第二次模擬】已知兩個(gè)單位向量,的夾角為,則下列結(jié)論不正確的是（ ）（A）在方向上的投影為 （B）（C） （D）【答案】8【20xx屆河南省八市重點(diǎn)高中高三4月質(zhì)檢】已知平面向量滿足,則的取值范圍為（ ）A B C D【答案】D【解析】如圖,設(shè)由題意由 ,可知即,即,即,設(shè),由可知即,由知,則,在和中,可知,又,則,將,代入,當(dāng)且僅當(dāng)故,故選D9【20xx屆廣東省肇慶市高三上期末】設(shè)向量=（1,2）,=（3,2）,若表示向量3,2,的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形,則=（ ）A4 B4

14、 C8 D8【答案】B10【20xx屆四川省成都七中高三下學(xué)第三次周練】已知拋物線（）的焦點(diǎn)為,直線與該拋物線交于、兩點(diǎn),是線段的中點(diǎn),過(guò)作軸的垂線,垂足為,若,則的值為（ ）A B C1 D2【答案】B【解析】如圖所示,設(shè),則,聯(lián)立與消可得,而,由,可推得,聯(lián)立,可解得,故選B.11【20xx屆四川省成都七中高三下學(xué)第三次測(cè)試】已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正方形的內(nèi)切圓內(nèi)（含邊界）一動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C12【20xx屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】設(shè)向量是相互垂直的單位向量,向量與垂直,則實(shí)數(shù)_【答案】【解析】由于向量與垂直,所以,又因?yàn)橄蛄渴窍嗷ゴ怪钡膯挝幌蛄?所以,

15、進(jìn)而可得,故答案填.13【20xx屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研二】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,則實(shí)數(shù)的最大值是 【答案】【解析】由題意得：,對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,因此,即對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,即,對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,即,即,實(shí)數(shù)的最大值是 14 【20xx屆青海省平安一中高三4月月考】設(shè)為單位向量,若為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則；若與平行,則；若與平行且,則.上述命題中,假命題個(gè)數(shù)是 【答案】15【20xx屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期一?？荚嚒吭谥苯亲鴺?biāo)系中,已知點(diǎn)和點(diǎn),若點(diǎn)在的平分線上,且,則 .【答案】【解析】由題意得,設(shè)與交于點(diǎn),則,即分有向線段所成的比為,所以,即,因?yàn)?

16、所以,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.16【20xx屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬】已知向量是單位向量,向量,若,則,的夾角為_(kāi).【答案】【名師原創(chuàng)測(cè)試篇】1. 已知是以為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn),且,則（ ）A B C D【答案】B【解析】由已知,所以,故選2.已知、為平面向量,若與的夾角為,與的夾角為,則A B C D 【答案】D【解析】如圖所示,在三角形中,由下正弦定理得,故選D3. 的外接圓半徑為1,圓心為,且,則的值為（ ）A B C D【答案】A4. 若,均為單位向量,且,則,的夾角大小為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因?yàn)?均為單位向量,所以,所以,所以,因?yàn)榕c共線,所以,的夾角大小為.選C.5如圖,在中,則_.【答案】【解析】在中,又正弦定理可得,可得,又因?yàn)? 如圖,在同一平面內(nèi),點(diǎn)位于兩平行直線的同側(cè),且到的距離分別為1,3點(diǎn)分別在,則的最大值是 【答案】【解析】