2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練《直線方程》

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1、2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練《直線方程》 【題型一】：直線的傾斜角與斜率 型二】 :兩直線的位置關(guān)系 11 【題型三】：直線的方程 【題型四】：對(duì)稱問(wèn)題 型五】 :綜合應(yīng)用 C. 【思路點(diǎn)撥】已知條件中直線XCO八 ,3y 2=0中的角〉并不是這條直線的傾斜角 【題型一】：直線的傾斜角與斜率 【例1】.直線XC0S1 ?、、3y *2=0的傾斜角的范圍是 5■: 5■: 【答案】B 【解析】由直線xcoslr,3y ? 2 = 0 , 所以直線的斜率為

2、k二 C0S- cos： 設(shè)直線的傾斜角為 又因?yàn)?汽v，即一『…寸， 所以阮PA#") 【總結(jié)升華】本題要求正確理解直線傾斜角的概念以及傾斜角與斜率的關(guān)系 【變式訓(xùn)練】 1 【變式】已知?jiǎng)又本€y=kx - 2k - 1與直線I : y=，x - 2的交點(diǎn)在第一象限，求k的取 2 值范圍。 【答案】：由題意可知，動(dòng)直線I過(guò)定點(diǎn)C(—2,1), 直線I與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A (4,0), B(0,2), 由圖可知kAc ::: k ::: kBc時(shí)5動(dòng)直線與直線I交點(diǎn)在第一象限， ,0-1 1 2—1 1 Kac ,

3、Kbc - ac 4-(-2) 6 bc 0-(-2) 2 1 1 ―k為所求. 6 2 【題型二】：兩直線的位置關(guān)系 [例 2] ?四邊形 ABCD 的頂點(diǎn)為 A(2,2 2 2)，B(-2,2)，C(0,2-2 遼)，D(4,2)，試判 斷四邊形ABCD的形狀. 【思路點(diǎn)撥】證明一個(gè)四邊形為矩形，我們往往先證明這個(gè)四邊形為平行四邊形，然后再證 明平行四邊形的一個(gè)角為直角? 【解析】AB邊所在直線的斜率kAB CD邊所在直線的斜率CD二孑， BC邊所在直線的斜率kBc =7?, DA邊所在直線的斜率kD八--.2 . T kAB二心。，kBc=kDA，二 AB /

4、/ CD , BC // DA，即四邊形 ABCD 為平行四邊形. 又 kABLkBc - (-.2)=-1，二 AB_BC，即四邊形 ABCD 為矩形. 2 【總結(jié)升華】證明不重和的的兩直線平行，只需要他們的斜率相等，證明垂直，只需要 他們斜率的乘積為?1? 【變式訓(xùn)練】 【變式1】直線h:ax+(1-a)y=3與直線12： (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a的值。 【答案】方法一：當(dāng)a=1時(shí)，h:x=3, 12： y=2,.，*JL12 5 當(dāng)a =?3時(shí)，卜y x ? 6/2 : A二顯然兩直線不垂直 5 5 當(dāng) aAl 且 a—3 時(shí)，li

5、： 2 2a+3 y =-x 12： y 2 a—1 a—1 2a+ 3 ki = —a, k 2 ，由 ki k2=-1 得 a 1 ，解得 a=-3 2a+3 2a+3 ? ??當(dāng) a=1 或 a=-3 時(shí)，li _L I2。 方法二:???a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0 解得 a=1 或 a=-3 ? ??當(dāng) a=1 或 a=-3 時(shí) h iho 【題型三】：直線的方程 【例3】.過(guò)點(diǎn)P(2, 1)作直線I與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，求△ AOB面積的最 小值及此時(shí)直線I的方程? 【思路點(diǎn)撥】因直線I已經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(2, 1)，只缺斜率，可先設(shè)出直

6、線I的點(diǎn)斜式方程，且易 知kvO,再用k表示A、B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)及不等式知識(shí)求解. 【解析】解法一：設(shè)直線I的方程為：y-1=k(x.2)， 令 y=o，得:x= 2k—1 ； k 令 x=0 , 得 y=1-2k， V I與X軸、y軸的交點(diǎn)均在正半軸上, 坐二〉。且 1 -2K>0 K 故 k

7、法二：設(shè)直線方程為x =1 , a b …A(a, 0), B(0, b),且 a>0, b>0, ，舄得ab.8,當(dāng)且僅當(dāng) 2 1 2 1 ? ??點(diǎn)P(2, 1)在直線I上，故一=1 ,由均值不等式：仁一 a b a b 3 即，=4, b=2時(shí)取等號(hào)，且$=恒4,此時(shí)1方程為vr〔,即沖一同 解法三：如圖，過(guò)P(2, 1)作x軸與y軸的垂線PM、PN, 垂足分別為M、N，設(shè)二=Z PAM= / BPN，貝AOB面積 S=S 矩形 ompn+Sapam+Sabpn c J1 coA 2 ta n& 2 1 =2 — 1 cot 二 2ta n 二 _ 2 2 1 1

8、=4,當(dāng)且僅當(dāng)一cot71 - 2ta n =，即 tan 71 -1 時(shí)，Saaob 2 2 有最小值4,故此時(shí)直線I的方程為y-1-1 (x-2)，即:x+2y-4=0. 2 【總結(jié)升華】解法一與解法二選取了直線方程的不同形式，解法三考慮到圖形的直觀性， 利用了形數(shù)結(jié)合的思想，體現(xiàn)了解題的靈活性” ?已知直線過(guò)一點(diǎn)時(shí)，常設(shè)其點(diǎn)斜式方程，但 需注意斜率不存在的直線不能用點(diǎn)斜式表示，從而使用點(diǎn)斜式或斜截式方程時(shí)，要考慮斜率 不存在的情況，以免丟解?而直線在坐標(biāo)軸上的截距，可正、可負(fù)，也可以為零，不能與距 離 混為一談，注意如何由直線方程求其在坐標(biāo)軸上的截距 ? 【變式訓(xùn)練】 【變式

9、1】求通過(guò)點(diǎn)（1,-2）,且與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形是等腰直角三角形的直線； 【答案】由題設(shè)，設(shè)所求直線方程為x?y=1，由已知條件得：a-b.1 a b |a|=|b| a = -1 a = 3 解之得： 或 ， [b = -1 \b = -3 故所求直線方程為：x+y+1=0或x-y-3=0. 【變式2]直線I過(guò)點(diǎn)P （-1,4），且在兩軸上的截距之和為零，求I的方程。 【答案】（1）若直線?過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線? ： y=kx, 因?yàn)橹本€I過(guò)點(diǎn)P（-1,4），代人上式得住，解得k=4 所以直線I的方程為；y=_4x. （2）若直線I在兩軸上截距不為零，設(shè)I的方程為：- =1

10、 a —a 將P （-1,4）代入上式得：一一=1，解得a =-5， a -a y_1，即 x_y5Z10, -5 5 由（1 ）、（ 2）知：直線I的方程為y = -4x或x-y ? 5 = 0. 【題型四】：對(duì)稱問(wèn)題 【例4】?求直線a:2x ? y-4 =0關(guān)于直線上3x 4y -A0對(duì)稱的直線b的方程。 【思路點(diǎn)撥】1 ,曲線的對(duì)稱通常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的中心對(duì)稱或軸對(duì)稱 （這里既可選特殊點(diǎn)，也可 選任意點(diǎn)實(shí)施轉(zhuǎn)化)。 2?由平面幾何知識(shí)可知，若a與b關(guān)于I對(duì)稱，則應(yīng)具有下列幾何性質(zhì)： (1)若點(diǎn)A在直線a上，則A點(diǎn)關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)B 一定在直線b上，即I為線段AB的垂

11、直平分線(AB _ I，AB的中點(diǎn)在I上)； (2)設(shè)P(x,y)是所求直線b上一點(diǎn)，貝U P關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)P (x ,y )的坐標(biāo)適合直線a的方 程； (3)若a與b相交，則I過(guò)a與b交點(diǎn)，只需求出交點(diǎn)和一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式就可以求出 答案；若a//l，則b//l//a，三條直線的斜率相等，只需再求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式可以求出答 案。 【解析】方法一：在直線a:2x T-4=0上取一點(diǎn)A (2.0)，設(shè)A點(diǎn)于I的對(duì)稱點(diǎn)B(Xo,y。)， X。2 4 y。0 |3 ——十 2 則《2 解得B(R) jy0 -0 =4 5 5 J Xo - 2- 3 gx川二y.d =。

12、由丫，解得交點(diǎn)D (3,-2)。 3x 4y -1 =0 由兩點(diǎn)式可求得直線b的方程：2x, 11yT6=0。 方法二：設(shè)P(x,y)是所求直線b上任一點(diǎn)；設(shè)P關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)P (x ,y)， 0 X、7 A 4A 則有： ，解得 9R y y1 4 —2a4(x-7y 8 x—x 3 25 V P (x ,y )在直線 a:2x y - 4 =0 上， …2抉乎，整理得2x11y16=0，故所求直線b的方程：2x11y?16 =0。 25 25 【總結(jié)升華】1 .對(duì)稱問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)之一，一般包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn) 關(guān)于直線對(duì)稱，直線關(guān)于直線對(duì)稱，要掌握通

13、解通法和記憶一些常用結(jié)論。 2.求一條直線關(guān)于已知直線的對(duì)稱直線，基本方法之一在直線上任取兩點(diǎn)求其對(duì)稱點(diǎn)，方法之 二是利用相關(guān)點(diǎn)一一伴隨曲線方法解決，其中方法2還可以推廣，如改變直線a為二次曲線C， 仍可用此方法解決。 【變式訓(xùn)練】 【變式】由點(diǎn)P(2, 3)發(fā)出的光線射到直線x?y—1上，反射后過(guò)點(diǎn)Q( 1，1)，則反射光線 所在直線的一般方程為. 【答案】：4x-5y仁。 【解析】：設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線x-y--1的對(duì)稱點(diǎn)P(xo, y。)，則P (xo, y。)滿足條件 X/也3 22 心二1， xo.2 解得P(-4, 3)…由直線方程的兩點(diǎn)式可求得反射光線所在直線方程為

14、 _3.1 ， y-1 = (x-1)，即 4x-5y 1=o . -4—1 【題型五】：綜合應(yīng)用 12 16 〔例5】,已知點(diǎn)A(1，1)，B (2, 2)，C (4, o)，D， ，點(diǎn)P在線段CD垂直 5 5 平分線上，求： (1)線段CD垂直平分線方程； (2) IPAf+IPBf取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo). 12 16 【解析】⑴由C (4，o)，D (一，—) 得線段CD的中點(diǎn)M( i6, 8), —-0 5 5 -5__ 12 .4 5 1 ? ? ?線段CD的垂直平分線的斜率為二 ? ? ?線段CD垂直平分線方程為：，即x?2y=0; 5 2 5

15、 (2)設(shè) P(2t, t), 則)|PAf+|PBf=(2t. 1) 2+ (t- 1) 2+ (2t-2) 2+ (t- 2) 2=10t2- 18t+10. 當(dāng)t=-時(shí)，|PAf+|PBf取得最小值，即P ( 9 ,.) 10 5 10 【變式訓(xùn)練】 【變式】已知三角形的頂點(diǎn)是A (- 5, 0)、B(3,? 3)、C(0, 2), (1)求直線AB的方程； (2)求A ABC的面積； (3)若過(guò)點(diǎn)C直線I與線段AB相交，求直線I的斜率k的范圍. 【解析】(1)依題意，作圖如下： 由兩點(diǎn)式得直線AB方程為 上紅耳 整理得：3x+8y+15=0, -3-0 3—(—5) (2)v 直線 AB 方程為 3x+8y+15=0, 2 ??? de-AB= 31 又 |AB|= .. 73 , V73 1 i _ 3i 3 —Saabc= |AB|?dcab= X 73 X 2 2 v73 2 2 (3) . kAe= , kBe=一 5 要使過(guò)點(diǎn)e直線I與線段AB相交，則k〉2或kv- 5 . 5 3 1