高考數(shù)學總復習 第2單元 第5節(jié) 函數(shù)的奇偶性和周期性課件 文 蘇教版

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1、第五節(jié)函數(shù)的奇偶性和周期性第五節(jié)函數(shù)的奇偶性和周期性基礎梳理1.定義：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為A，如果對于任意xA，都有_，則稱函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)；如果對于任意xA，都有_，則稱函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)2. 圖象的對稱性質：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象_；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象_3. 一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足_，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)_叫做這個函數(shù)的周期，所有周期中存在最小的一個正數(shù)叫做f(x)的最小正周期f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)關于原點對稱關于y軸對稱Tf(

2、x+T)=f(x)4. 奇(偶)函數(shù)有關定義的等價形式：f(-x)=f(x)f(-x)f(x)=_ =_(f(x)0)5. 奇(偶)函數(shù)有關的結論(1)若一個奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=_.(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域關于原點對稱，則f(x)+f(-x)為_函數(shù)；f(x)-f(-x)為_函數(shù)；f(x)f(-x)為_函數(shù)fxf x 010偶奇偶6. 函數(shù)周期性的相關結論(1)設a是非零常數(shù)，若對f(x)定義域內(nèi)的任意x，恒有下列條件之一成立：f(x+a)=-f(x)；f(x+a)= ；f(x+a)=- ；f(x+a)=f(x-a)，則f(x)是周期函數(shù)，2|a|是它的一個周期

3、(以上各式中分母均不為零)(2)函數(shù)圖象的對稱性：若f(x+a)=f(b-x)(a、b為常數(shù))在定義域上恒成立，則f(x)的圖象關于直線_對稱特別地，若f(a+x)=f(a-x)，則函數(shù)f(x)關于直線_對稱，_時，f(x)為偶函數(shù) 1f x 1f x a=0 x=a2abx基礎達標1. (必修1P39例6改編)有以下函數(shù)：f(x)=x2-1；f(x)=x3-2x；f(x)=2|x|-1；f(x)=(x-1)2；f(x)=x4，x-2,2)；f(x)= .其中，奇函數(shù)有_，偶函數(shù)有_(填序號) 2x解析：驗證f(-x)與f(x)的關系，可知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，的定義域不關于原點對稱，不滿足奇、

4、偶函數(shù)定義，故為非奇非偶函數(shù) 2. (2010泰州調研)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(3)+f(-2)=2，則f(2)-f(3)=_.3. 已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數(shù)，那么a+b=_.解析：f(x)為R上的奇函數(shù)，f(2)-f(3)=-f(2)+f(3)=-f(-2)+f(3)=-2.-213解析：定義域關于原點對稱，故a-1+2a=0，則a= ，又f(x)為偶函數(shù)，故b=0，a+b= 13134. 下面四個命題：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定通過原點；偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(xR)其中正確的

5、命題序號為_4.解析：錯誤，比如f(x)= ；錯誤，比如f(x)= ；錯誤，如f(x)=0，x-1,1 21x1x5. 已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x+4)=f(x)，當x(0,2)時，f(x)=2x2，則f(2 011)=_.解析：f(x+4)=f(x)，f(x)的最小正周期為4，又f(x)為奇函數(shù)，f(2 011)=f(-1+2 012)=f(-1)=-f(1)=-2.-2經(jīng)典例題題型一判斷函數(shù)的奇偶性【例1】判斷下列各函數(shù)的奇偶性1(1) ( )(1)1xf xxx221(2) ( )|2| 2lgxf xx 2,1(3) ( )0,| 12,1.xxf xxxx 分析：(1)

6、考慮定義域；(2)利用定義域先化簡函數(shù)；(3)分段討論解：(1)由 0，得定義域為-1,1)，不關于原點對稱，f(x)為非奇非偶函數(shù)(2)由 得定義域為(-1,0)(0,1)這時 ， ，f(x)為偶函數(shù)11xx2210|2| 20 xx 222211( )22lgxlgxf xxx 222211()( )lgxlgxfxf xxx (3)當x1，f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x)當x1時，f(x)=-x+2，-x-1，f(-x)=-x+2=f(x)當-1x1時，f(x)=0，又-1-x1，f(-x)=f(x)=0.對定義域內(nèi)的每個x都有f(-x)=f(x)，f(x)是偶函數(shù)判斷下列函

7、數(shù)的奇偶性變式1-122,0(1) ( ),0 xx xf xxx x22(2) ( )33f xxx(3)f(x)=x2-|x-a|+2.解析:(1)當x0，則f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)；當x0時，-x0，則f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x)對任意x(-，0)(0，+)都有f(-x)=f(x)，故f(x)為偶函數(shù)(2)由 得x= 或x= ，函數(shù)f(x)的定義域為 ， 又對任意的x ， ，f(x)=0，f(-x)=f(x)=-f(x)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)223030 xx 333333(3)函數(shù)f(x)的定義域為R.當a=0時，f(x)=f(

8、-x)，f(x)是偶函數(shù)；當a0時，f(a)=a2+2，f(-a)=a2-2|a|+2，f(a) f(-a)，且f(a)+f(-a)=2(a2-|a|+2) ，f(x)是非奇非偶函數(shù) 2172 |022a題型二奇偶性的應用【例2】(1)已知函數(shù)f(x)= (a，b，cZ)是奇函數(shù)，又f(1)=2，f(2)f(2x)，求x的取值范圍 21axbxc分析：第(1)小題關鍵是f(-x)=-f(x)恒成立的應用，即 對定義域中任何x都成立，所以-bx+c=-bx-c恒成立，可得c=0；第(2)小題關鍵是利用偶函數(shù)的性質f(x)=f(|x|)，將f(3x-1)f(2x)轉化為f(|3x-1|)f(|2x

9、|)，這樣就避免了討論2211axaxbxcbxc 解：(1)由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx+c)，c=0.又f(1)=2，得a+1=2b，而f(2)3，得 3，解得-1af(2x)，得f(|3x-1|)f(|2x|)，因而有|3x-1|2x|，化簡得5x2-6x+10，解得x1.則x的取值范圍為 (1，+) 151,5已知函數(shù)f(x)對一切x、yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)試判斷f(x)的奇偶性；(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)變式2-1解析：(1)顯然f(x)的定義域是R，關于原點對稱函數(shù)f(x)對一切x、yR都有f(x+y)=f(x)+f(y

10、)，令x=y=0，得f(0)=2f(0)，f(0)=0.再令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，f(-x)=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)(2)f(-3)=a且f(x)為奇函數(shù)，f(3)=-f(-3)=-a.又f(x+y)=f(x)+f(y)，x、yR，f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=-4a.【例3】設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x+2)=-f(x)當x0,2時，f(x)=2x-x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當x2,4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 011

11、)題型三函數(shù)周期性及其應用分析：技巧在于通過換元進行轉化，求函數(shù)f(x)的解析式要利用函數(shù)的周期性進行轉化，轉化到已知區(qū)間上，因為只有此時才有函數(shù)解析式解：(1)證明：f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)當x-2,0時，-x0,2，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2，又f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)=-2x-x2，f(x)=x2+2x.又當x2,4時，x-4-2,0，f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+

12、8.從而求得x2,4時，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0，f(2)=0，f(1)=1，f(3)=-1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(2 011)=0.變式3-1已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x+2)=-f(x)，當0 x1時，f(x)= x，求使f(x)=- 的所有x的值 1313解析：f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，f(x)的周期為4，當0 x1時，f(x)= x，f(

13、1)= ，f(-1)=- ，當x=4k-1，kZ時，f(x)=- 13131313【例】判斷函數(shù)f(x)= 的奇偶性錯解當x0時，f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-(x2+2x+3)=-f(x)；當x0時，f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2x-3)=-f(x)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)2223,02,023,0 xxxxxxx正解：f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)易錯警示鏈接高考1.(2010江蘇)設f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù)，則a=_.知識準備：1. 理解函數(shù)奇偶性的定義；2. 會用賦值法求解函數(shù)問題解析：方法一：由f(-x)=f(x)-x(e-x

14、+aex)=x(ex+ae-x)，a=-1.方法二：f(x)為R上的偶函數(shù)，可以賦特殊值，故f(-1)=f(1)a=-1.方法三：f(x)=x(ex+ae-x)是由兩個函數(shù)h(x)=x與g(x)=ex+ae-x相乘而得，又h(x)=x為奇函數(shù)，且f(x)為偶函數(shù)，則g(x)在R上為奇函數(shù)，故g(0)=0a=-1. -12. (2010山東改編)設f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)=2x+2x+b(b為常數(shù))，則f(-1)=_.知識準備：1. 知道奇函數(shù)的定義及奇函數(shù)在原點處有定義時f(0)=0；2. 知道要求f(-1)時轉化為求f(1)解析：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(-x)+f(x)=0，當x=0時，f(0)=0，可得b=-1，此時f(x)=2x+2x-1(x0)，f(-1)=-f(1)=-(21+2-1)=-3.-3