高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 列知識(shí)點(diǎn)梳理及數(shù)列通項(xiàng)公式的求法總結(jié)素材 新人教版

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1、第二章 數(shù) 列 §2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單的表示法 一、知識(shí)要點(diǎn)梳理 知識(shí)點(diǎn)一：數(shù)列的概念 　　按一定順序排列的一列數(shù)，如1，1，2，3，5，…，an，…，可簡(jiǎn)記為{an}。 　　注意：數(shù)列可以看作是定義在N*或其子集{1，2，3，…，n}上的函數(shù)，與以前常見(jiàn)函數(shù)的不同主要在于： (1)定義域是離散的因而其圖象也是離散的單點(diǎn)集；(2)有序。 知識(shí)點(diǎn)二：數(shù)列的表示 　(1)列舉法：如-2，-5，-8，… (2)圖象法：由點(diǎn)組成的圖象；是離散的點(diǎn)集。 　　(3)解析式法：類(lèi)似于函數(shù)的解析法，數(shù)列的解析法就是給出了數(shù)列的通項(xiàng)公 式an=f(n)，n∈

2、N*。 　　(4)遞推：利用數(shù)列的第n項(xiàng)與它前面若干項(xiàng)的關(guān)系及初始值確定。如an=an-1+an-2(n≥3)，且a1=1，a2=1. 注意： 　 ?、俨⒉皇敲總€(gè)數(shù)列都能寫(xiě)出它的數(shù)列通項(xiàng)公式；數(shù)列的通項(xiàng)如果存在，也不 一定唯一。 　　 ②數(shù)列的列舉法與集合的列舉法不一樣，主要就是有序與無(wú)序的差別。 　 ?、劾眠f推關(guān)系表示數(shù)列時(shí)，需要有相應(yīng)個(gè)數(shù)的初始值。 知識(shí)點(diǎn)三：數(shù)列的分類(lèi) 　?。?）按項(xiàng)數(shù)：有限數(shù)列和無(wú)限數(shù)列； 　?。?）按單調(diào)性：常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、單調(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)。 ①遞增數(shù)列:對(duì)于任何,均有. ②遞減數(shù)列:對(duì)于任何,均有. ③擺動(dòng)

3、數(shù)列:例如: ④常數(shù)數(shù)列:例如:6,6,6,6,……. 知識(shí)點(diǎn)四：數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式 　 任意數(shù)列的前n項(xiàng)和， 于是， 　 　所以有： 注意：由前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要分三步進(jìn)行： 　　 （1）求；（2）求出當(dāng)n≥2時(shí)的； （3）如果令n≥2時(shí)得出的中的n=1時(shí)有成立， 則最后的通項(xiàng)公式可以統(tǒng)一寫(xiě)成一個(gè)形式，否則就只能寫(xiě)成分段的形式。 §2.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 一、知識(shí)要點(diǎn)梳理 知識(shí)點(diǎn)一 等差數(shù)列的概念 （1）定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常

4、數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，常數(shù)稱(chēng)為等差數(shù)列的公差. （2）等差中項(xiàng)：如果成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng).即：是與的等差中項(xiàng)，，成等差數(shù)列. 知識(shí)點(diǎn)二 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 通項(xiàng)公式：＝，為首項(xiàng)，為公差. 知識(shí)點(diǎn)三 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： =（常數(shù)項(xiàng)為0的二次式） 知識(shí)點(diǎn)四 等差數(shù)列的常用性質(zhì) （1）若，那么 特殊地，若，則. （2）；(,是常數(shù))；(,是常數(shù)，) (3)若等差數(shù)列,則 仍成等差 （4）等差數(shù)列中，求使前n項(xiàng)和最大(小)的項(xiàng)數(shù)的方法： 遞減數(shù)列，求最大，令，求正數(shù)項(xiàng)；遞增數(shù)列，求最小，令，求負(fù)數(shù)項(xiàng).當(dāng)然，解決此類(lèi)型題目還可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)，但解一次不

5、等式的方法還是最快的方法. 知識(shí)點(diǎn)五 等差數(shù)列的判定方法 ⑴定義法：（，是常數(shù)）是等差數(shù)列； ⑵中項(xiàng)法：()是等差數(shù)列. §2.3等比數(shù)列及前n項(xiàng)和 一、知識(shí)要點(diǎn)梳理 1 、等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示． 注意:（1）q是指從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，順序不要錯(cuò)。 （2）由定義可知，等比數(shù)列的任意 一項(xiàng)都不為0，因而公比q也不為0. （3）公比q可為正數(shù)、

6、負(fù)數(shù)，特別當(dāng)q=1時(shí)，為常數(shù)列a1,a1,……； q=－1時(shí)，數(shù)列為a1,－a1,a1,－a1,……. 2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 ：＝ 3、等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即G 2= a b 4、等比數(shù)列的判定方法 （1）、an=an－1·q（n≥2），q是不為零的常數(shù)，an－1≠0{an}是等比數(shù)列. （2）、an2=an－1·an＋

7、1（n≥2, an－1,an,an＋1≠0）{an}是等比數(shù)列. （3）、an=c·qn（c，q均是不為零的常數(shù)）{an}是等比數(shù)列. （4）、若某數(shù)列前n項(xiàng)和公式為Sn=an－1(a≠0,±1)，則{an}成等比數(shù)列. 5、等比數(shù)列的性質(zhì) :設(shè){an}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q. （1）an=a1·qn－m（m、n∈N*）. （2）、當(dāng)m＋n=p＋q（m、n、q、p∈N*）時(shí)，有am·an=ap·aq.

8、 特殊地，若，則 （3） 等比數(shù)列 ： 仍成等比數(shù)列 （q≠－1或k為奇數(shù)） 6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 §2.4 數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和 一．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式的求法 （一）、觀察法 數(shù)列從定義角度看，是按一定順序排列的一列數(shù)，因而它不是雜亂無(wú)章的，它是有規(guī)律可循的。所以，我們可以根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察每一項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，從而寫(xiě)出數(shù)列的同項(xiàng)公式。 例：根據(jù)數(shù)列前四項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式 (1) (2)7，77，777，7777，··· (3) ，·

9、3;· (4)，··· 解：(1) (2) (3) ( 4) ★關(guān)鍵：把握第n項(xiàng)與的關(guān)系，把每一項(xiàng)用項(xiàng)數(shù)表示。 （二）、公式法（也稱(chēng)待定系數(shù)法） 若數(shù)列為特殊數(shù)列如是等差數(shù)列或等比數(shù)列，只需求出與d或與q，可直接寫(xiě)出通項(xiàng)公式。 例：①已知等差數(shù)列中，，求通項(xiàng)公式 ②已知等比數(shù)列中，，求通項(xiàng)公式 解：①設(shè)，從而可解。 ②可設(shè) q=1(舍去) ★關(guān)鍵：設(shè)出通項(xiàng)公式，解方程即得 （三）、構(gòu)造法 原數(shù)列不是等差或等比數(shù)列，但對(duì)已知

10、的等式進(jìn)行適當(dāng)變形，可得新數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式。 例1、數(shù)列中，，求 點(diǎn)撥，可用倒數(shù)變換，將其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列。 解：取倒數(shù)得：，令，則 ， 例2、已知數(shù)列，，求 ◆點(diǎn)撥：用配湊法，配湊常數(shù)“”，使構(gòu)成等比數(shù)列，從而，從而求出。 解：，則 令，∴為等比數(shù)列， ∴，從而 ★關(guān)鍵：通過(guò)變換地推關(guān)系，將非等差或等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為與等差等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式的方法是由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法。常用轉(zhuǎn)化過(guò)程有：配湊、消項(xiàng)變換、倒數(shù)變換、取對(duì)數(shù)變換、換元變換等。 練習(xí)：1.已知數(shù)列中，，求 2. 已知數(shù)列中，，求。 （四）、疊

11、加法 例：已知求，求 解：當(dāng)時(shí)，可得n-1個(gè)等式。 共有n-1個(gè)等式，將其相加，得，∴ ★關(guān)鍵：對(duì)形如的遞推公式求通項(xiàng)公式，只要可求和，便可利用累加的方法。 練習(xí)：已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 （五）、疊乘法 例：已知，求 解：，得，當(dāng)時(shí)，可得n-1個(gè)等式：，左邊相乘，右邊相乘 ∴ ∴ ★關(guān)鍵：對(duì)于形如的遞推公式，只要可求積，便可利用累乘的方法。 練習(xí)：已知數(shù)列中，，求 （六）、含與類(lèi)型 例1．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式。 分析：由已知條件，可知與的關(guān)系，可借助于，可將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的遞推公式，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：∵，∴

12、， ∵， ∴即 ∴，∴， ∴；又∵n=1時(shí)適合上式，則 ★關(guān)鍵：若和在一個(gè)等式中，一般可利用與關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于或的遞推公式，再進(jìn)一步確定或。 練習(xí)：已知數(shù)列中，，且，求 二、數(shù)列的求和方法 （一）、 公式法： 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式： 3、 4、 5、 [例1] 已知，求的前n項(xiàng)和. 解：由 由等比數(shù)列求和公式得 （利用常用公式） ＝＝＝1－

13、 [例2] 設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值. 解：由等差數(shù)列求和公式得 ， （利用常用公式） ∴ ＝ ＝＝ ∴ 當(dāng) ，即n＝8時(shí)， （二）、錯(cuò)位相減法求和 這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·　bn}的前n項(xiàng)和，其中{ an }、{ bn }分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. [例3] 求和：。 解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積。 ……………………① ……………………② ①－②得 （錯(cuò)位

14、相減） 再利用等比數(shù)列的求和公式得： ∴ [例4] 求數(shù)列前n項(xiàng)的和. 解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積 設(shè)……………………① ………………② （設(shè)制錯(cuò)位） ① －②得 ∴ 練習(xí)：求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 （三）、反序相加法求和 這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)

15、來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè). [例5] 求證： 證明： 設(shè)………. ① 把①式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得 （反序） 又由可得 ………… ② ①+②得 （反序相加） ∴ [例6] 求的值 解：設(shè)…. ① 將①式右邊反序得 ………② （反序） 又因?yàn)? ①+②得 （反序相加） ＝89 ∴ S＝44.5 練習(xí)：已知lg(xy)=a，求S，其中 解: 將和式S中各項(xiàng)反序排列，得 將此和式與原和式兩邊對(duì)應(yīng)相加，得

16、 2S=++ · · · + (n+1)項(xiàng) =n(n+1)lg(xy) ∵ lg(xy)=a ∴ S=n(n+1)a （四）、分組法求和 有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可. [例7] 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，… 解：設(shè) 將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得 （分組） 當(dāng)a＝1時(shí)，＝ （分組求和） 當(dāng)時(shí)，＝ [例8] 求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項(xiàng)和.

17、 解：設(shè) ∴＝將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得 ＝ （分組） ＝ ＝ （分組求和） ＝ 練習(xí)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和。 解： (五)、裂項(xiàng)法求和 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如： （1） （2） （3） （4） （5） [例9] 求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 解：設(shè) （裂項(xiàng)） （裂項(xiàng)求和）

18、 ＝ ＝ [例10] 在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和. 解： 　 ∵ 　 ∴ （裂項(xiàng)） ∴ 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和 （裂項(xiàng)求和） ＝ ＝ [例11] 求證： 解：設(shè) ∵ ＝ ＝＝＝ ∴　原等式成立 練習(xí)：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。 解： (六)、合

19、并法求和 針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn. [例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 解：設(shè)Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵ （找特殊性質(zhì)項(xiàng)） ∴Sn＝（cos1°+ cos179°

20、;）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+··· +（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） ＝ 0 [例13] 數(shù)列{an}：，求S2002. 解：設(shè)S2002＝ 由可得 …… ∵ （找特殊性質(zhì)項(xiàng)） ∴　S2002 ＝ （合并求和） ＝ ＝ ＝ ＝5 [例14] 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值. 解：設(shè) 由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項(xiàng)

21、） 和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得 ＝ ＝ ＝10 (七)、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和 先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法. [例15] 求之和. 解：由于（找通項(xiàng)及特征） ∴ ＝（分組求和） ＝ ＝ ＝ [例16] 已知數(shù)列{an}：的值. 解：∵ （找通項(xiàng)及特征） ＝ （設(shè)制分組） ＝（裂項(xiàng)） ∴ （分組、裂項(xiàng)求和） ＝ ＝ 練習(xí)：求5，55，555，…，的前n項(xiàng)和。 解：∵an= 5 9(10n-1) ∴Sn = 5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + … + 5 9(10n-1) = 5 9[（10+102+103+……+10n）-n] = （10n＋1-9n-10） 以上一個(gè)7種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來(lái)解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化.